Polinomio cuadrático complejo

Un polinomio cuadrático complejo es un polinomio cuadrático cuyos coeficientes y variable son números complejos .

Los polinomios cuadráticos tienen las siguientes propiedades, independientemente de la forma:

• Es un polinomio unícritico, es decir, tiene un punto crítico finito en el plano complejo. El plano dinámico consta de un máximo de 2 cuencas: cuenca del infinito y cuenca del punto crítico finito (si el punto crítico finito no escapa).
• Puede ser postcríticamente finito , es decir, la órbita del punto crítico puede ser finita, porque el punto crítico es periódico o preperiódico. ^[1]
• Es una función unimodal ,
• Es una función racional ,
• Es una función completa .

Cuando el polinomio cuadrático tiene una sola variable ( univariado ), se pueden distinguir sus cuatro formas principales:

• La forma general: donde${\displaystyle f(x)=a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}}$${\displaystyle a_{2}\neq 0}$
• La forma factorizada utilizada para el mapa logístico :${\displaystyle f_{r}(x)=rx(1-x)}$
• ${\displaystyle f_{\theta}(x)=x^{2}+\lambda x}$que tiene un punto fijo indiferente con multiplicador en el origen ^[2]${\displaystyle \lambda =e^{2\pi \theta i}}$
• La forma monótona y centrada,${\displaystyle f_{c}(x)=x^{2}+c}$

La forma mónica y centrada ha sido ampliamente estudiada y tiene las siguientes propiedades:

• Es la forma más simple de una función no lineal con un coeficiente ( parámetro ),
• Es un polinomio centrado (la suma de sus puntos críticos es cero). ^[3]
• es un binomio

La forma lambda es: ${\displaystyle f_{\lambda }(z)=z^{2}+\lambda z}$

• La perturbación no trivial más simple de un sistema no perturbado.${\displaystyle z\mapsto \lambda z}$
• "la primera familia de sistemas dinámicos en la que se conocen condiciones explícitas necesarias y suficientes para cuando un problema de divisor pequeño es estable" ^[4]

Dado que es conjugado afín de la forma general del polinomio cuadrático, a menudo se utiliza para estudiar dinámicas complejas y crear imágenes de los conjuntos de Mandelbrot , Julia y Fatou . ${\displaystyle f_{c}(x)}$

Cuando uno quiere cambiar de a : ^[2]${\displaystyle \theta }$${\displaystyle c}$

${\displaystyle c=c(\theta )={\frac {e^{2\pi \theta i}}{2}}\left(1-{\frac {e^{2\pi \theta i}}{2}}\right).}$

Cuando se desea cambiar de a , la transformación de parámetros es ^[5]${\displaystyle r}$${\displaystyle c}$

${\displaystyle c=c(r)={\frac {1-(r-1)^{2}}{4}}=-{\frac {r}{2}}\left({\frac {r-2}{2}}\right)}$

y la transformación entre las variables en y es ${\displaystyle z_{t+1}=z_{t}^{2}+c}$${\displaystyle x_{t+1}=rx_{t}(1-x_{t})}$

${\displaystyle z=r\left({\frac {1}{2}}-x\right).}$

Existe una semiconjugación entre la transformación diádica (el mapa de duplicación) y el caso polinomial cuadrático de c = –2.

Aquí se denota la n - ésima iteración de la función : ${\displaystyle f^{n}}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle f_{c}^{n}(z)=f_{c}^{1}(f_{c}^{n-1}(z))}$

entonces

${\displaystyle z_{n}=f_{c}^{n}(z_{0}).}$

Debido a la posible confusión con la exponenciación, algunos autores escriben para el n -ésimo iterado de . ${\displaystyle f^{\circ n}}$${\displaystyle f}$

La forma mónica y centrada se puede marcar mediante: ${\displaystyle f_{c}(x)=x^{2}+c}$

• El parámetro${\displaystyle c}$
• el ángulo externo del rayo que incide: ${\displaystyle \theta }$
  • en c en el conjunto de Mandelbrot en el plano de parámetros
  • sobre el valor crítico: z = c en el conjunto de Julia en el plano dinámico

entonces :

${\displaystyle f_{c}=f_{\theta }}$

${\displaystyle c=c({\theta })}$

Ejemplos:

• c es el punto de aterrizaje del rayo externo 1/6 del conjunto de Mandelbrot , y es (donde i^2=-1)${\displaystyle z\to z^{2}+i}$
• c es el punto de aterrizaje del rayo externo 5/14 y está con${\displaystyle z\to z^{2}+c}$${\displaystyle c=-1.23922555538957+0.412602181602004*i}$

• 
  1/4
• 
  1/6
• 
  9/56
• 
  129/16256

La forma mónica y centrada, a veces llamada familia Douady-Hubbard de polinomios cuadráticos , ^[6] se utiliza normalmente con variable y parámetro : ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle c}$

${\displaystyle f_{c}(z)=z^{2}+c.}$

Cuando se utiliza como función de evolución del sistema dinámico no lineal discreto

${\displaystyle z_{n+1}=f_{c}(z_{n})}$

Se llama mapa cuadrático : ^[7]

${\displaystyle f_{c}:z\to z^{2}+c.}$

El conjunto de Mandelbrot es el conjunto de valores del parámetro c para los cuales la condición inicial z ₀ = 0 no hace que las iteraciones diverjan hasta el infinito.

Un punto crítico de es un punto en el plano dinámico tal que la derivada se desvanece: ${\displaystyle f_{c}}$${\displaystyle z_{cr}}$

${\displaystyle f_{c}'(z_{cr})=0.}$

Desde

${\displaystyle f_{c}'(z)={\frac {d}{dz}}f_{c}(z)=2z}$

implica

${\displaystyle z_{cr}=0,}$

vemos que el único punto crítico (finito) de es el punto . ${\displaystyle f_{c}}$${\displaystyle z_{cr}=0}$

${\displaystyle z_{0}}$es un punto inicial para la iteración del conjunto de Mandelbrot . ^[8]

Para la familia cuadrática el punto crítico z = 0 es el centro de simetría del conjunto de Julia Jc, por lo que es una combinación convexa de dos puntos en Jc. ^[9]${\displaystyle f_{c}(z)=z^{2}+c}$

En la esfera de Riemann, el polinomio tiene 2d-2 puntos críticos. Aquí, cero e infinito son puntos críticos.

Un valor crítico de es la imagen de un punto crítico: ${\displaystyle z_{cv}}$${\displaystyle f_{c}}$

${\displaystyle z_{cv}=f_{c}(z_{cr})}$

Desde

${\displaystyle z_{cr}=0}$

tenemos

${\displaystyle z_{cv}=c}$

Entonces el parámetro es el valor crítico de . ${\displaystyle c}$${\displaystyle f_{c}(z)}$

Una curva de nivel crítica es la curva de nivel que contiene el punto crítico. Actúa como una especie de esqueleto ^[10] del plano dinámico .

Ejemplo: las curvas de nivel se cruzan en el punto de silla , que es un tipo especial de punto crítico.

• 
  Atrayendo
• 
  Atrayendo
• 
  Atrayendo
• 
  parabólico
• Vídeo para c a lo largo del rayo interno 0

El conjunto límite crítico es el conjunto de órbitas hacia adelante de todos los puntos críticos.

La órbita hacia delante de un punto crítico se denomina órbita crítica . Las órbitas críticas son muy importantes porque cada órbita periódica de atracción atrae un punto crítico, por lo que estudiar las órbitas críticas nos ayuda a comprender la dinámica en el conjunto de Fatou . ^{[11] [12] [13]}

${\displaystyle z_{0}=z_{cr}=0}$

${\displaystyle z_{1}=f_{c}(z_{0})=c}$

${\displaystyle z_{2}=f_{c}(z_{1})=c^{2}+c}$

${\displaystyle z_{3}=f_{c}(z_{2})=(c^{2}+c)^{2}+c}$

${\displaystyle \ \vdots }$

Esta órbita cae en un ciclo periódico de atracción, si existe alguno.

El sector crítico es un sector del plano dinámico que contiene el punto crítico.

El conjunto crítico es un conjunto de puntos críticos.

${\displaystyle P_{n}(c)=f_{c}^{n}(z_{cr})=f_{c}^{n}(0)}$

entonces

${\displaystyle P_{0}(c)=0}$

${\displaystyle P_{1}(c)=c}$

${\displaystyle P_{2}(c)=c^{2}+c}$

${\displaystyle P_{3}(c)=(c^{2}+c)^{2}+c}$

Estos polinomios se utilizan para:

• Encontrar los centros de estos componentes del conjunto de Mandelbrot de período n . Los centros son raíces de los n -ésimos polinomios críticos.

${\displaystyle {\text{centers}}=\{c:P_{n}(c)=0\}}$

• Encontrar raíces de los componentes del conjunto de Mandelbrot de período n ( mínimo local de )${\displaystyle P_{n}(c)}$
• Puntos de Misiurewicz

${\displaystyle M_{n,k}=\{c:P_{k}(c)=P_{k+n}(c)\}}$

Los diagramas de polinomios críticos se denominan curvas críticas . ^[14]

Estas curvas crean el esqueleto (las líneas oscuras) de un diagrama de bifurcación . ^{[15] [16]}

Se puede utilizar el espacio de 4 dimensiones (4D) de Julia-Mandelbrot para un análisis global de este sistema dinámico. ^[17]

En este espacio existen dos tipos básicos de planos 2D:

• el plano dinámico (dinámico), -plano o c -plano${\displaystyle f_{c}}$
• el plano de parámetros o plano z

También existe otro plano utilizado para analizar dichos sistemas dinámicos : el plano w :

• el plano de conjugación ^[18]
• avión modelo ^[19]

• Tipos de planos de parámetros
• 
  plano de parámetros r (mapa logístico)
• 
  plano de parámetros c

El espacio de fase de una función cuadrática se denomina plano de parámetros . Aquí:

${\displaystyle z_{0}=z_{cr}}$es constante y es variable. ${\displaystyle c}$

Aquí no hay dinámica. Es solo un conjunto de valores de parámetros. No hay órbitas en el plano de parámetros.

El plano de parámetros consta de:

• El conjunto de Mandelbrot
  • El lugar de bifurcación = límite del conjunto de Mandelbrot con
    • puntos de raíz
  • Componentes hiperbólicos acotados del conjunto de Mandelbrot = interior del conjunto de Mandelbrot ^[20] con rayos internos
• Exterior del conjunto de Mandelbrot con
  • rayos externos
  • líneas equipotenciales

Existen muchos subtipos diferentes del plano de parámetros. ^{[21] [22]}

Ver también:

• Mapa de Boettcher que asigna el exterior del conjunto de Mandelbrot al exterior del disco unitario
• Mapa multiplicador que asigna el interior del componente hiperbólico del conjunto de Mandelbrot al interior del disco unitario.

"El polinomio Pc asigna cada rayo dinámico a otro rayo que duplica el ángulo (que medimos en vueltas completas, es decir, 0 = 1 = 2π rad = 360°), y los rayos dinámicos de cualquier polinomio "parecen rayos rectos" cerca del infinito. Esto nos permite estudiar los conjuntos de Mandelbrot y Julia de manera combinatoria, reemplazando el plano dinámico por el círculo unitario, los rayos por los ángulos y el polinomio cuadrático por el mapa de duplicación módulo uno". Virpi Kauko ^[23]

En el plano dinámico se pueden encontrar:

• El conjunto Julia
• El conjunto Julia rellena
• El conjunto Fatou
• Órbitas

El plano dinámico consta de:

• Conjunto fatou
• Conjunto de Julia

Aquí, es una constante y es una variable. ${\displaystyle c}$${\displaystyle z}$

El plano dinámico bidimensional puede tratarse como una sección transversal de Poincaré del espacio tridimensional de un sistema dinámico continuo. ^{[24] [25]}

Los planos z dinámicos se pueden dividir en dos grupos:

• ${\displaystyle f_{0}}$plano para (ver mapa de cuadratura complejo )${\displaystyle c=0}$
• ${\displaystyle f_{c}}$aviones (todos los demás aviones para )${\displaystyle c\neq 0}$

El plano complejo extendido más un punto en el infinito

• La esfera de Riemann

En el plano de parámetros:

• ${\displaystyle c}$es una variable
• ${\displaystyle z_{0}=0}$es constante

La primera derivada de con respecto a c es ${\displaystyle f_{c}^{n}(z_{0})}$

${\displaystyle z_{n}'={\frac {d}{dc}}f_{c}^{n}(z_{0}).}$

Esta derivada se puede encontrar mediante iteración comenzando con

${\displaystyle z_{0}'={\frac {d}{dc}}f_{c}^{0}(z_{0})=1}$

y luego reemplazarlo en cada paso consecutivo

${\displaystyle z_{n+1}'={\frac {d}{dc}}f_{c}^{n+1}(z_{0})=2\cdot {}f_{c}^{n}(z)\cdot {\frac {d}{dc}}f_{c}^{n}(z_{0})+1=2\cdot z_{n}\cdot z_{n}'+1.}$

Esto se puede verificar fácilmente utilizando la regla de la cadena para la derivada.

Esta derivada se utiliza en el método de estimación de distancia para dibujar un conjunto de Mandelbrot .

En el plano dinámico:

• ${\displaystyle z}$es una variable;
• ${\displaystyle c}$es una constante

En un punto fijo , ${\displaystyle z_{0}}$

${\displaystyle f_{c}'(z_{0})={\frac {d}{dz}}f_{c}(z_{0})=2z_{0}.}$

En un punto periódico z ₀ del periodo p la primera derivada de una función

${\displaystyle (f_{c}^{p})'(z_{0})={\frac {d}{dz}}f_{c}^{p}(z_{0})=\prod _{i=0}^{p-1}f_{c}'(z_{i})=2^{p}\prod _{i=0}^{p-1}z_{i}=\lambda }$

A menudo se representa mediante el multiplicador o número característico de Lyapunov y se lo denomina así. Su logaritmo se conoce como exponente de Lyapunov. El valor absoluto del multiplicador se utiliza para comprobar la estabilidad de puntos periódicos (también fijos) . ${\displaystyle \lambda }$

En un punto no periódico , la derivada, denotada por , se puede encontrar mediante iteración comenzando con ${\displaystyle z'_{n}}$

${\displaystyle z'_{0}=1,}$

y luego usando

${\displaystyle z'_{n}=2*z_{n-1}*z'_{n-1}.}$

Esta derivada se utiliza para calcular la distancia externa al conjunto de Julia.

La derivada schwarziana (SD para abreviar) de f es: ^[26]

${\displaystyle (Sf)(z)={\frac {f'''(z)}{f'(z)}}-{\frac {3}{2}}\left({\frac {f''(z)}{f'(z)}}\right)^{2}.}$

• Punto de Misiurewicz
• Puntos periódicos de aplicaciones cuadráticas complejas
• Conjunto de Mandelbrot
• Conjunto de Julia
• Teoría del amasado de Milnor-Thurston
• Mapa de tiendas de campaña
• Mapa logístico

• Monica Nevins y Thomas D. Rogers, "Mapas cuadráticos como sistemas dinámicos en los números p-ádicos ^{[ enlace muerto permanente ]} "
• Wolf Jung: Homeomorfismos en las aristas del conjunto de Mandelbrot. Tesis doctoral de 2002
• Más sobre mapas cuadráticos: Mapa cuadrático