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Dinámica compleja

La dinámica compleja , o dinámica holomorfa , estudia los sistemas dinámicos obtenidos mediante la iteración de una función analítica compleja . Este artículo se centra en el ca...

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La dinámica compleja , o dinámica holomorfa , estudia los sistemas dinámicos obtenidos mediante la iteración de una función analítica compleja . Este artículo se centra en el caso de la dinámica algebraica , donde se itera una función polinómica o racional . En términos geométricos, esto equivale a iterar una función de una variedad algebraica sobre sí misma. La teoría relacionada de la dinámica aritmética estudia la iteración sobre los números racionales o los números p-ádicos en lugar de los números complejos .

Dinámica en dimensión compleja 1

Un ejemplo sencillo que muestra algunos de los principales problemas en la dinámica compleja es el mapeo.F(z)=z2{\displaystyle f(z)=z^{2}}de los números complejos C a sí mismo. Es útil ver esto como un mapa desde la línea proyectiva compleja.doPAG1{\displaystyle \mathbf {CP} ^{1}}a sí mismo, añadiendo un punto∞{\displaystyle \infty }a los números complejos. (doPAG1{\displaystyle \mathbf {CP} ^{1}}tiene la ventaja de ser compacto .) La pregunta básica es: dado un puntoz{\displaystyle z}endoPAG1{\displaystyle \mathbf {CP} ^{1}}¿Cómo es su órbita (o órbita frontal )?

z,F(z)=z2,F(F(z))=z4,F(F(F(z)))=z8,…{\displaystyle z,\;f(z)=z^{2},\;f(f(z))=z^{4},f(f(f(z)))=z^{8},\;\ldots }

¿Cómo se comportan, cualitativamente? La respuesta es: si el valor absoluto | z | es menor que 1, entonces la órbita converge a 0, de hecho más que exponencialmente rápido. Si | z | es mayor que 1, entonces la órbita converge al punto∞{\displaystyle \infty }endoPAG1{\displaystyle \mathbf {CP} ^{1}}, de nuevo más que exponencialmente rápido. (Aquí 0 y∞{\displaystyle \infty }son puntos fijos superatractores de f , lo que significa que la derivada de f es cero en esos puntos. Un punto fijo atractor es aquel donde el valor absoluto de la derivada de f es menor que 1.

Por otro lado, supongamos que|z|=1{\displaystyle |z|=1}, lo que significa que z está en el círculo unitario en C . En estos puntos, la dinámica de f es caótica, de diversas maneras. Por ejemplo, para casi todos los puntos z en el círculo en términos de la teoría de la medida , la órbita hacia adelante de z es densa en el círculo y, de hecho, uniformemente distribuida en el círculo. También hay infinitos puntos periódicos en el círculo, es decir, puntos conFr(z)=z{\displaystyle f^{r}(z)=z}para algún entero positivo r . (AquíFr(z){\displaystyle f^{r}(z)}significa el resultado de aplicar f a z r veces,F(F(⋯(F(z))⋯)){\displaystyle f(f(\cdots (f(z))\cdots ))}.) Incluso en los puntos periódicos z en el círculo, la dinámica de f puede considerarse caótica, ya que los puntos cercanos a z divergen exponencialmente rápido de z al iterar f . (Los puntos periódicos de f en el círculo unitario son repulsivos : siFr(z)=z{\displaystyle f^{r}(z)=z}, el derivado deFr{\displaystyle f^{r}}en z tiene un valor absoluto mayor que 1.)

Pierre Fatou y Gaston Julia demostraron a finales de la década de 1910 que gran parte de esta historia se extiende a cualquier mapa algebraico complejo desdedoPAG1{\displaystyle \mathbf {CP} ^{1}}a sí mismo de grado mayor que 1. (Tal mapeo puede estar dado por un polinomioF(z){\displaystyle f(z)}con coeficientes complejos, o más generalmente mediante una función racional.) Es decir, siempre hay un subconjunto compacto dedoPAG1{\displaystyle \mathbf {CP} ^{1}}, el conjunto de Julia , en el que la dinámica de f es caótica. Para el mapeoF(z)=z2{\displaystyle f(z)=z^{2}}, el conjunto de Julia es el círculo unitario. Para otras aplicaciones polinómicas, el conjunto de Julia suele ser muy irregular, por ejemplo, un fractal en el sentido de que su dimensión de Hausdorff no es un número entero. Esto ocurre incluso para aplicaciones tan simples comoF(z)=z2+do{\displaystyle f(z)=z^{2}+c}por una constantedo∈do{\displaystyle c\in \mathbf {C} }. El conjunto de Mandelbrot es el conjunto de números complejos c tales que el conjunto de Julia deF(z)=z2+do{\displaystyle f(z)=z^{2}+c}está conectado .

El conjunto de Julia del polinomioF(z)=z2+az{\displaystyle f(z)=z^{2}+az}cona≐−0,5+0,866i{\displaystyle a\doteq -0.5+0.866i}
El conjunto de Julia del polinomioF(z)=z2+do{\displaystyle f(z)=z^{2}+c}condo≐0,383−0,0745i{\displaystyle c\doteq 0.383-0.0745i}Este es un juego de Cantor .

Existe una clasificación bastante completa de las posibles dinámicas de una función racional.F:doPAG1→doPAG1{\displaystyle f\colon \mathbf {CP} ^{1}\to \mathbf {CP} ^{1}}en el conjunto de Fatou , el complemento del conjunto de Julia, donde la dinámica es "mansa". Es decir, Dennis Sullivan demostró que cada componente conexa U del conjunto de Fatou es preperiódica, lo que significa que hay números naturalesa<b{\displaystyle a<b}de tal manera queFa(U)=Fb(U){\displaystyle f^{a}(U)=f^{b}(U)}Por lo tanto, para analizar la dinámica en un componente U , se puede suponer después de reemplazar f por una iteración queF(U)=U{\displaystyle f(U)=U}. Entonces, o bien (1) U contiene un punto fijo atractor para f ; (2) U es parabólico en el sentido de que todos los puntos en U se aproximan a un punto fijo en el límite de U ; (3) U es un disco de Siegel , lo que significa que la acción de f sobre U es conjugada a una rotación irracional del disco unitario abierto; o bien (4) U es un anillo de Herman , lo que significa que la acción de f sobre U es conjugada a una rotación irracional de un anillo abierto . [ 1 ] (Nótese que la "órbita hacia atrás" de un punto z en U , el conjunto de puntos endoPAG1{\displaystyle \mathbf {CP} ^{1}}ese mapeo a z bajo alguna iteración de f , no tiene por qué estar contenido en U. )

La medida de equilibrio de un endomorfismo

La dinámica compleja se ha desarrollado eficazmente en cualquier dimensión. Esta sección se centra en los mapeos desde el espacio proyectivo complejo.doPAGnorte{\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}a sí misma, la fuente más rica de ejemplos. Los principales resultados paradoPAGnorte{\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}se han extendido a una clase de aplicaciones racionales de cualquier variedad proyectiva a sí misma. [ 2 ] Sin embargo, cabe señalar que muchas variedades no tienen aplicaciones interesantes sobre sí mismas.

Sea f un endomorfismo dedoPAGnorte{\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}, lo que significa un morfismo de variedades algebraicas dedoPAGnorte{\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}a sí mismo, para un entero positivo n . Dicha aplicación viene dada en coordenadas homogéneas por

F([z0,…,znorte])=[F0(z0,…,znorte),…,Fnorte(z0,…,znorte)]{\displaystyle f([z_{0},\ldots ,z_{n}])=[f_{0}(z_{0},\ldots ,z_{n}),\ldots ,f_{n}(z_{0},\ldots ,z_{n})]}

para algunos polinomios homogéneosF0,…,Fnorte{\displaystyle f_{0},\ldots ,f_{n}}del mismo grado d que no tienen ceros comunes endoPAGnorte{\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}. (Según el teorema de Chow , esto es lo mismo que una aplicación holomorfa dedoPAGnorte{\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}a sí mismo.) Supongamos que d es mayor que 1; entonces el grado de la aplicación f esdnorte{\displaystyle d^{n}}, que también es mayor que 1.

Entonces hay una medida de probabilidad únicaμF{\displaystyle \mu _{f}}endoPAGnorte{\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}, la medida de equilibrio de f , que describe la parte más caótica de la dinámica de f . (También se la ha llamado medida de Green o medida de entropía máxima ). Esta medida fue definida por Hans Brolin (1965) para polinomios en una variable, por Alexandre Freire, Artur Lopes , Ricardo Mañé y Mikhail Lyubich paranorte=1{\displaystyle n=1}(alrededor de 1983), y por John Hubbard , Peter Papadopol, John Fornaess y Nessim Sibony en cualquier dimensión (alrededor de 1994). [ 3 ] El pequeño conjunto de JuliaJ∗(F){\displaystyle J^{*}(f)}es el soporte de la medida de equilibrio endoPAGnorte{\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}; este es simplemente el conjunto de Julia cuandonorte=1{\displaystyle n=1}.

Ejemplos

  • Para el mapeoF(z)=z2{\displaystyle f(z)=z^{2}}endoPAG1{\displaystyle \mathbf {CP} ^{1}}la medida de equilibrioμF{\displaystyle \mu _{f}}es la medida de Haar (la medida estándar, escalada para tener una medida total de 1) en el círculo unitario|z|=1{\displaystyle |z|=1}.
  • De forma más general, para un número enterod>1{\displaystyle d>1}, dejarF:doPAGnorte→doPAGnorte{\displaystyle f\colon \mathbf {CP} ^{n}\to \mathbf {CP} ^{n}}ser el mapeo
F([z0,…,znorte])=[z0d,…,znorted].{\displaystyle f([z_{0},\ldots ,z_{n}])=[z_{0}^{d},\ldots ,z_{n}^{d}].}
Luego, la medida de equilibrioμF{\displaystyle \mu _{f}}es la medida de Haar en el toro n -dimensional{[1,z1,…,znorte]:|z1|=⋯=|znorte|=1}.{\displaystyle \{[1,z_{1},\ldots ,z_{n}]:|z_{1}|=\cdots =|z_{n}|=1\}.}Para mapeos holomorfos más generales dedoPAGnorte{\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}La medida de equilibrio en sí misma puede ser mucho más complicada, como ya se observa en la dimensión compleja 1 a partir de imágenes de conjuntos de Julia.

Caracterizaciones de la medida de equilibrio

Una propiedad básica de la medida de equilibrio es que es invariante bajo f , en el sentido de que la medida de avanceF∗μF{\displaystyle f_{*}\mu _{f}}es igual aμF{\displaystyle \mu _{f}}. Debido a que f es un morfismo finito , la medida de retrocesoF∗μF{\displaystyle f^{*}\mu _{f}}También se define, yμF{\displaystyle \mu _{f}}es totalmente invariante en el sentido de queF∗μF=grados⁡(F)μF{\displaystyle f^{*}\mu _{f}=\deg(f)\mu _{f}}.

Una característica llamativa de la medida de equilibrio es que describe la asintótica de casi todos los puntos endoPAGnorte{\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}cuando se siguió hacia atrás en el tiempo, por Jean-Yves Briend, Julien Duval, Tien-Cuong Dinh y Sibony. Es decir, para un punto z endoPAGnorte{\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}y un entero positivo r , considere la medida de probabilidad(1/drnorte)(Fr)∗(δz){\displaystyle (1/d^{rn})(f^{r})^{*}(\delta _{z})}que se distribuye uniformemente en eldrnorte{\displaystyle d^{rn}}puntos w conFr(w)=z{\displaystyle f^{r}(w)=z}Luego existe un subconjunto cerrado de Zariski .mi⊊doPAGnorte{\displaystyle E\subsetneq \mathbf {CP} ^{n}}de tal manera que para todos los puntos z que no pertenecen a E , las medidas recién definidas convergen débilmente a la medida de equilibrio.μF{\displaystyle \mu _{f}}cuando r tiende a infinito. En más detalle: solo un número finito de subespacios complejos cerrados dedoPAGnorte{\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}son totalmente invariantes bajo f (lo que significa queF−1(S)=S{\displaystyle f^{-1}(S)=S}), y se puede tomar el conjunto excepcional E como el único subespacio complejo cerrado totalmente invariante más grande que no es igual adoPAGnorte{\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}. [ 4 ]

Otra caracterización de la medida de equilibrio (debido a Briend y Duval) es la siguiente. Para cada entero positivo r , el número de puntos periódicos de período r (lo que significa queFr(z)=z{\displaystyle f^{r}(z)=z}), contado con multiplicidad, es(dr(norte+1)−1)/(dr−1){\displaystyle (d^{r(n+1)}-1)/(d^{r}-1)}, que es aproximadamentedrnorte{\displaystyle d^{rn}}Consideremos la medida de probabilidad que se distribuye uniformemente en los puntos del período r . Entonces, estas medidas también convergen a la medida de equilibrio.μF{\displaystyle \mu _{f}}a medida que r tiende a infinito. Además, la mayoría de los puntos periódicos son repelentes y se encuentran enJ∗(F){\displaystyle J^{*}(f)}y así se obtiene la misma medida límite promediando solo sobre los puntos periódicos repelentes enJ∗(F){\displaystyle J^{*}(f)}. [ 5 ] También puede haber puntos periódicos repelentes fueraJ∗(F){\displaystyle J^{*}(f)}. [ 6 ]

La medida de equilibrio da masa cero a cualquier subespacio complejo cerrado dedoPAGnorte{\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}ese no es todo el espacio. [ 7 ] Dado que los puntos periódicos enJ∗(F){\displaystyle J^{*}(f)}son densos enJ∗(F){\displaystyle J^{*}(f)}, de ello se deduce que los puntos periódicos de f son densos de Zariski endoPAGnorte{\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}. Najmuddin Fakhruddin dio una demostración más algebraica de esta densidad de Zariski. [ 8 ] Otra consecuencia deμF{\displaystyle \mu _{f}}dar masa cero a subespacios complejos cerrados que no sean iguales adoPAGnorte{\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}es que cada punto tiene masa cero. Como resultado, el soporteJ∗(F){\displaystyle J^{*}(f)}deμF{\displaystyle \mu _{f}}no tiene puntos aislados, por lo que es un conjunto perfecto .

El apoyoJ∗(F){\displaystyle J^{*}(f)}de la medida de equilibrio no es demasiado pequeña, en el sentido de que su dimensión de Hausdorff siempre es mayor que cero. [ 7 ] En ese sentido, un endomorfismo de espacio proyectivo complejo con grado mayor que 1 siempre se comporta caóticamente al menos en parte del espacio. (Hay ejemplos dondeJ∗(F){\displaystyle J^{*}(f)}es todo dedoPAGnorte{\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}. [ 9 ] ) Otra forma de precisar que f tiene algún comportamiento caótico es que la entropía topológica de f siempre es mayor que cero, de hecho igual anorteregistro⁡d{\displaystyle n\log d}, de Mikhail Gromov , Michał Misiurewicz y Feliks Przytycki. [ 10 ]

Para cualquier endomorfismo continuo f de un espacio métrico compacto X , la entropía topológica de f es igual al máximo de la entropía teórica de la medida (o "entropía métrica") de todas las medidas f -invariantes en X. Para un endomorfismo holomorfo f dedoPAGnorte{\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}la medida de equilibrioμF{\displaystyle \mu _{f}}es la medida invariante única de entropía máxima, por Briend y Duval. [ 3 ] Esta es otra forma de decir que el comportamiento más caótico de f se concentra en el soporte de la medida de equilibrio.

Finalmente, se puede decir más sobre la dinámica de f en el soporte de la medida de equilibrio: f es ergódica y, más fuertemente, mezcladora con respecto a esa medida, según Fornaess y Sibony. [ 11 ] Se deduce, por ejemplo, que para casi todos los puntos con respecto aμF{\displaystyle \mu _{f}}, su órbita hacia adelante está uniformemente distribuida con respecto aμF{\displaystyle \mu _{f}}.

Mapas de Lattès

Un mapa de Lattès es un endomorfismo f dedoPAGnorte{\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}obtenido a partir de un endomorfismo de una variedad abeliana dividiendo por un grupo finito . En este caso, la medida de equilibrio de f es absolutamente continua con respecto a la medida de Lebesgue endoPAGnorte{\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}. Por el contrario, por Anna Zdunik , François Berteloot y Christophe Dupont, los únicos endomorfismos dedoPAGnorte{\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}cuya medida de equilibrio es absolutamente continua con respecto a la medida de Lebesgue son los ejemplos de Lattès. [ 12 ] Es decir, para todos los endomorfismos que no son de Lattès,μF{\displaystyle \mu _{f}}asigna su masa total 1 a algún conjunto de Borel de medida de Lebesgue 0.

Una muestra aleatoria de la medida de equilibrio del mapa de LattèsF(z)=(z−2)2/z2{\displaystyle f(z)=(z-2)^{2}/z^{2}}. El conjunto Julia es tododoPAG1{\displaystyle \mathbf {CP} ^{1}}.
Una muestra aleatoria de la medida de equilibrio del mapa no-LattèsF(z)=(z−2)4/z4{\displaystyle f(z)=(z-2)^{4}/z^{4}}. El conjunto Julia es tododoPAG1{\displaystyle \mathbf {CP} ^{1}}, [ 13 ] pero la medida de equilibrio es altamente irregular.

En la dimensión 1, se sabe más sobre la "irregularidad" de la medida de equilibrio. Es decir, se define la dimensión de Hausdorff de una medida de probabilidad.μ{\displaystyle \mu }endoPAG1{\displaystyle \mathbf {CP} ^{1}}(o más generalmente en un colector liso) por

oscuro⁡(μ)=inf{oscuroH⁡(Y):μ(Y)=1},{\displaystyle \dim(\mu )=\inf\{\dim _{H}(Y):\mu (Y)=1\},}

dóndeoscuroH⁡(Y){\displaystyle \dim _{H}(Y)}denota la dimensión de Hausdorff de un conjunto de Borel Y. Para un endomorfismo f dedoPAG1{\displaystyle \mathbf {CP} ^{1}}de grado mayor que 1, Zdunik demostró que la dimensión deμF{\displaystyle \mu _{f}}es igual a la dimensión de Hausdorff de su soporte (el conjunto de Julia) si y solo si f es conjugada a una aplicación de Lattès, un polinomio de Chebyshev (salvo signo) o una aplicación de potencia.F(z)=z±d{\displaystyle f(z)=z^{\pm d}}cond≥2{\displaystyle d\geq 2}. [ 14 ] (En los últimos casos, el conjunto de Julia es tododoPAG1{\displaystyle \mathbf {CP} ^{1}}, un intervalo cerrado o un círculo, respectivamente. [ 15 ] ) Por lo tanto, fuera de esos casos especiales, la medida de equilibrio es altamente irregular, asignando masa positiva a algunos subconjuntos cerrados del conjunto de Julia con una dimensión de Hausdorff menor que la del conjunto de Julia completo.

Automorfismos de variedades proyectivas

De manera más general, la dinámica compleja busca describir el comportamiento de las aplicaciones racionales bajo iteración. Un caso que se ha estudiado con cierto éxito es el de los automorfismos de una variedad proyectiva compleja lisa X , es decir, isomorfismos f de X en sí misma. El caso de principal interés es aquel en el que f actúa de forma no trivial sobre la cohomología singular.H∗(incógnita,Z){\displaystyle H^{*}(X,\mathbf {Z} )}.

Gromov y Yosef Yomdin demostraron que la entropía topológica de un endomorfismo (por ejemplo, un automorfismo) de una variedad proyectiva compleja lisa está determinada por su acción sobre la cohomología. [ 16 ] Explícitamente, para X de dimensión compleja n y0≤pag≤norte{\displaystyle 0\leq p\leq n}, dejardpag{\displaystyle d_{p}}sea ​​el radio espectral de f actuando por retroceso sobre el grupo de cohomología de HodgeHpag,pag(incógnita)⊂H2pag(incógnita,do){\displaystyle H^{p,p}(X)\subset H^{2p}(X,\mathbf {C} )}Entonces, la entropía topológica de f es

h(F)=máximopagregistro⁡dpag.{\displaystyle h(f)=\max _{p}\log d_{p}.}

(La entropía topológica de f es también el logaritmo del radio espectral de f en toda la cohomologíaH∗(incógnita,do){\displaystyle H^{*}(X,\mathbf {C} )}Por lo tanto, f tiene cierto comportamiento caótico, en el sentido de que su entropía topológica es mayor que cero, si y solo si actúa sobre algún grupo de cohomología con un autovalor de valor absoluto mayor que 1. Muchas variedades proyectivas no tienen tales automorfismos, pero (por ejemplo) muchas superficies racionales y superficies K3 sí los tienen. [ 17 ]

Sea X una variedad de Kähler compacta , que incluye el caso de una variedad proyectiva compleja lisa. Decimos que un automorfismo f de X tiene acción simple sobre la cohomología si: existe un único número p tal quedpag{\displaystyle d_{p}}toma su valor máximo, la acción de f enHpag,pag(incógnita){\displaystyle H^{p,p}(X)}tiene solo un valor propio con valor absolutodpag{\displaystyle d_{p}}y este es un autovalor simple . Por ejemplo, Serge Cantat demostró que todo automorfismo de una superficie de Kähler compacta con entropía topológica positiva tiene acción simple sobre la cohomología. [ 18 ] (Aquí un "automorfismo" es analítico complejo, pero no se asume que preserve una métrica de Kähler en X. De hecho, todo automorfismo que preserva una métrica tiene entropía topológica cero).

Para un automorfismo f con acción simple sobre la cohomología, se han logrado algunos de los objetivos de la dinámica compleja. Dinh, Sibony y Henry de Thélin demostraron que existe una medida de probabilidad invariante única.μF{\displaystyle \mu _{f}}de entropía máxima para f , llamada medida de equilibrio (o medida de Green , o medida de entropía máxima ). [ 19 ] (En particular,μF{\displaystyle \mu _{f}}tiene entropíaregistro⁡dpag{\displaystyle \log d_{p}}con respecto a f .) El soporte deμF{\displaystyle \mu _{f}}Se llama conjunto pequeño de JuliaJ∗(F){\displaystyle J^{*}(f)}. De manera informal: f tiene cierto comportamiento caótico, y el comportamiento más caótico se concentra en el pequeño conjunto de Julia. Al menos cuando X es proyectivo,J∗(F){\displaystyle J^{*}(f)}tiene dimensión Hausdorff positiva. (Más precisamente,μF{\displaystyle \mu _{f}}asigna masa cero a todos los conjuntos de dimensión de Hausdorff suficientemente pequeña.) [ 20 ]

automorfismos de Kummer

Algunas variedades abelianas tienen un automorfismo de entropía positiva. Por ejemplo, sea E una curva elíptica compleja y sea X la superficie abeliana.mi×mi{\displaystyle E\times E}. Entonces el grupoGRAMOL(2,Z){\displaystyle GL(2,\mathbf {Z} )}de invertible2×2{\displaystyle 2\times 2}Las matrices enteras actúan sobre X. Cualquier elemento del grupo f cuya traza tenga un valor absoluto mayor que 2, por ejemplo(2111){\displaystyle {\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}}}, tiene un radio espectral mayor que 1, y por lo tanto da un automorfismo de entropía positiva de X. La medida de equilibrio de f es la medida de Haar (la medida de Lebesgue estándar) en X. [ 21 ]

Los automorfismos de Kummer se definen tomando el espacio cociente por un grupo finito de una superficie abeliana con automorfismo, y luego expandiéndolo para hacer que la superficie sea suave. Las superficies resultantes incluyen algunas superficies K3 especiales y superficies racionales. Para los automorfismos de Kummer, la medida de equilibrio tiene soporte igual a X y es suave fuera de un número finito de curvas. Por el contrario, Cantat y Dupont demostraron que para todos los automorfismos de superficie de entropía positiva, excepto los ejemplos de Kummer, la medida de equilibrio no es absolutamente continua con respecto a la medida de Lebesgue. [ 22 ] En este sentido, es habitual que la medida de equilibrio de un automorfismo sea algo irregular.

Puntos periódicos de silla

Un punto periódico z de f se llama punto periódico de silla si, para un entero positivo r tal queFr(z)=z{\displaystyle f^{r}(z)=z}, al menos un valor propio de la derivada deFr{\displaystyle f^{r}}En el espacio tangente en z , al menos uno tiene un valor absoluto menor que 1, al menos uno tiene un valor absoluto mayor que 1 y ninguno tiene un valor absoluto igual a 1. (Por lo tanto, f se expande en algunas direcciones y se contrae en otras, cerca de z ). Para un automorfismo f con acción simple sobre la cohomología, los puntos periódicos de silla son densos en el soporte.J∗(F){\displaystyle J^{*}(f)}de la medida de equilibrioμF{\displaystyle \mu _{f}}. [ 20 ] Por otro lado, la medidaμF{\displaystyle \mu _{f}}se desvanece en subespacios complejos cerrados que no son iguales a X. [ 20 ] De ello se deduce que los puntos periódicos de f (o incluso solo los puntos periódicos de silla contenidos en el soporte deμF{\displaystyle \mu _{f}}) son densos de Zariski en X.

Para un automorfismo f con acción simple sobre la cohomología, f y su aplicación inversa son ergódicos y, más fuertemente, mezclantes con respecto a la medida de equilibrio.μF{\displaystyle \mu _{f}}. [ 23 ] De ello se deduce que para casi todo punto z con respecto aμF{\displaystyle \mu _{f}}, las órbitas hacia adelante y hacia atrás de z están distribuidas uniformemente con respecto aμF{\displaystyle \mu _{f}}.

Una diferencia notable con el caso de endomorfismos dedoPAGnorte{\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}es que para un automorfismo f con acción simple sobre la cohomología, puede haber un subconjunto abierto no vacío de X en el que ni las órbitas hacia adelante ni hacia atrás se aproximan al soporte.J∗(F){\displaystyle J^{*}(f)}de la medida de equilibrio. Por ejemplo, Eric Bedford, Kyounghee Kim y Curtis McMullen construyeron automorfismos f de una superficie racional proyectiva lisa con entropía topológica positiva (por lo tanto, acción simple sobre la cohomología) tales que f tiene un disco de Siegel, sobre el cual la acción de f es conjugada a una rotación irracional. [ 24 ] Los puntos en ese conjunto abierto nunca se aproximanJ∗(F){\displaystyle J^{*}(f)}bajo la acción de f o su inversa.

Al menos en dimensión compleja 2, la medida de equilibrio de f describe la distribución de los puntos periódicos aislados de f . (También puede haber curvas complejas fijadas por f o una iteración, que se ignoran aquí). Es decir, sea f un automorfismo de una superficie de Kähler compacta X con entropía topológica positiva.h(F)=registro⁡d1{\displaystyle h(f)=\log d_{1}}. Consideremos la medida de probabilidad que se distribuye uniformemente en los puntos periódicos aislados del período r (lo que significa queFr(z)=z{\displaystyle f^{r}(z)=z}). Entonces esta medida converge débilmente aμF{\displaystyle \mu _{f}}cuando r tiende a infinito, por Eric Bedford, Lyubich y John Smillie . [ 25 ] Lo mismo se aplica al subconjunto de puntos periódicos de silla, porque ambos conjuntos de puntos periódicos crecen a una tasa de(d1)r{\displaystyle (d_{1})^{r}}.

Véase también

Notas

  1. ↑ Milnor (2006), sección 13.
  2. ↑ Guedj (2010), Teorema B.
  3. 1 2 Dinh y Sibony (2010), "Dinámica ...", Teorema 1.7.11.
  4. ↑ Dinh y Sibony (2010), "Dinámica ...", Teorema 1.4.1.
  5. ↑ Dinh y Sibony (2010), "Dinámica ...", Teorema 1.4.13.
  6. ↑ Fornaess y Sibony (2001), Teorema 4.3.
  7. 1 2 Dinh y Sibony (2010), "Dinámica ...", Proposición 1.2.3.
  8. ^ Fakhruddin (2003), Corolario 5.3.
  9. ↑ Milnor (2006), Teorema 5.2 y problema 14-2; Fornaess (1996), Capítulo 3.
  10. ↑ Dinh y Sibony (2010), "Dinámica ...", Teorema 1.7.1.
  11. ↑ Dinh y Sibony (2010), "Dinámica ...", Teorema 1.6.3.
  12. ^ Berteloot & Dupont (2005), Teorema 1.
  13. ↑ Milnor (2006), problema 14-2.
  14. ↑ Zdunik (1990), Teorema 2; Berteloot y Dupont (2005), introducción.
  15. ↑ Milnor (2006), problema 5-3.
  16. ^ Cantat (2000), Teorème 2.2.
  17. ↑ Cantat (2010), secciones 7 a 9.
  18. ↑ Cantat (2014), apartado 2.4.3.
  19. ^ De Thélin y Dinh (2012), Teorema 1.2.
  20. 1 2 3 Dinh y Sibony (2010), "Superpotenciales...", sección 4.4.
  21. ↑ Cantat & Dupont (2020), sección 1.2.1.
  22. ↑ Cantat y Dupont (2020), Teorema principal.
  23. ↑ Dinh y Sibony (2010), "Superpotenciales ...", Teorema 4.4.2.
  24. ^ Cantat (2010), Teorema 9.8.
  25. ^ Cantat (2014), Teorema 8.2.

Referencias

  • Galería de dinámicas (Curtis McMullen)
  • Estudios en sistemas dinámicos
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