Clasificación de los componentes de Fatou

Los componentes del mapa${\displaystyle f(z)=z-(z^{3}-1)/3z^{2}}$ contienen los puntos de atracción que son las soluciones a${\displaystyle z^{3}=1}$Esto se debe a que el mapa es el que se debe usar para encontrar soluciones a la ecuación.${\displaystyle z^{3}=1}$mediante la fórmula de Newton-Raphson . Las soluciones deben ser, naturalmente, puntos fijos atractores.

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  El plano dinámico consta de dos cuencas superatractivas de periodo 1 de Fatou, cada una con un único componente.
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  Curvas de nivel y rayos en el caso superatractivo
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  Julia establece ciclos superatractores (hiperbólicos) en el interior (periodo 2) y en el exterior (periodo 1).

El mapa

${\displaystyle f(z)=e^{2\pi it}z^{2}(z-4)/(1-4z)}$

y t = 0,6151732... producirá un anillo de Herman. ^{[ 2 ]} Shishikura demuestra que el grado de dicho mapa debe ser al menos 3, como en este ejemplo.

Si el grado d es mayor que 2, entonces hay más de un punto crítico y, por lo tanto, puede haber más de un tipo de componente.

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  Herman+Parabólico
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  Periodo 3 y 105
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  atractor y parabólico
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  período 1 y período 1
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  período 4 y 4 (2 cuencas de atracción)
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  dos cuencas del período 2

En el caso de funciones trascendentales hay otro tipo de componentes periódicas de Fatou, llamadas dominios de Baker : estos son " dominios en los que las iteraciones tienden a una singularidad esencial (no posible para polinomios y funciones racionales)" ^{[ 3 ] [ 4 ]} un ejemplo de tal función es: ^{[ 5 ]}$${\displaystyle f(z)=z-1+(1-2z)e^{z}}$$

Los mapas trascendentales pueden tener dominios errantes : estos son componentes de Fatou que no son periódicos en última instancia.