esfera de Riemann

En matemáticas , la esfera de Riemann , llamada así en honor a Bernhard Riemann , ^{[ 1 ]} es un modelo del plano complejo extendido (también llamado plano complejo cerrado ): el plano complejo más un punto en el infinito . Este plano extendido representa los números complejos extendidos , es decir, los números complejos más un valor${\displaystyle \infty }$para el infinito . Con el modelo de Riemann, el punto${\displaystyle \infty }$está cerca de números muy grandes, justo como el punto${\displaystyle 0}$está cerca de números muy pequeños.

Los números complejos extendidos son útiles en el análisis complejo porque permiten la división por cero en algunas circunstancias, de una manera que hace que expresiones como${\displaystyle 1/0=\infty }$Con buen comportamiento . Por ejemplo, cualquier función racional en el plano complejo puede extenderse a una función holomorfa en la esfera de Riemann, donde los polos de la función racional se mapean al infinito. De forma más general, cualquier función meromorfa puede considerarse como una función holomorfa cuyo codominio es la esfera de Riemann.

En geometría , la esfera de Riemann es el ejemplo prototípico de una superficie de Riemann y es una de las variedades complejas más simples . En geometría proyectiva , la esfera es un ejemplo de un espacio proyectivo complejo y puede considerarse como la recta proyectiva compleja.${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}(\mathbf {C} )}$, el espacio proyectivo de todas las líneas complejas en${\displaystyle \mathbf {C} ^{2}}$Como cualquier superficie de Riemann compacta , la esfera también puede considerarse una curva algebraica proyectiva , lo que la convierte en un ejemplo fundamental de la geometría algebraica . Asimismo, resulta útil en otras disciplinas que dependen del análisis y la geometría, como la esfera de Bloch de la mecánica cuántica y otras ramas de la física .

Los números complejos extendidos consisten en los números complejos${\displaystyle \mathbb {C} }$junto con${\displaystyle \infty }$El conjunto de números complejos extendidos se puede escribir como${\displaystyle \mathbb {C} \cup \{\infty \}}$y a menudo se denota añadiendo alguna decoración a la letra${\displaystyle \mathbb {C} }$, como

${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }},\quad {\overline {\mathbb {C} }},\quad {\text{o}}\quad \mathbb {C} _{\infty }.}$

La notación${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$También se ha utilizado, pero como esta notación también se usa para el plano perforado${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}}$, puede conducir a ambigüedad. ^{[ 2 ]}

Geométricamente, el conjunto de números complejos extendidos se conoce como la esfera de Riemann (o plano complejo extendido).

Como variedad compleja unidimensional , la esfera de Riemann puede describirse mediante dos cartas , ambas con dominio igual al plano de los números complejos.${\displaystyle \mathbf {C} }$. Dejar${\displaystyle \zeta }$ser un número complejo en una copia de${\displaystyle \mathbf {C} }$y dejar${\displaystyle \xi }$ser un número complejo en otra copia de${\displaystyle \mathbf {C} }$. Identifica cada número complejo distinto de cero${\displaystyle \zeta }$del primero${\displaystyle \mathbf {C} }$con el número complejo distinto de cero${\displaystyle 1/\xi }$del segundo${\displaystyle \mathbf {C} }$. Luego el mapa

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{z}}}$

se denomina mapa de transición entre las dos copias de${\displaystyle \mathbf {C} }$—los llamados diagramas— pegándolos entre sí. Dado que los mapas de transición son holomorfos , definen una variedad compleja, llamada esfera de Riemann . Como una variedad compleja de 1 dimensión compleja (es decir, 2 dimensiones reales), también se la llama superficie de Riemann .

Intuitivamente, los mapas de transición indican cómo pegar dos planos para formar la esfera de Riemann. Los planos se pegan de forma "de adentro hacia afuera", de modo que se superponen casi en todas partes, y cada plano aporta solo un punto (su origen) que falta en el otro plano. En otras palabras, (casi) cada punto de la esfera de Riemann tiene tanto un${\displaystyle \zeta }$valor y un${\displaystyle \xi }$valor, y los dos valores están relacionados por${\displaystyle \zeta =1/\xi }$. El punto donde${\displaystyle \xi =0}$debería entonces tener${\displaystyle \zeta }$-valor "${\displaystyle 1/0}$"; en este sentido, el origen del${\displaystyle \xi }$-el gráfico desempeña el papel de${\displaystyle \infty }$en el${\displaystyle \zeta }$-gráfico. Simétricamente, el origen del${\displaystyle \zeta }$-el gráfico desempeña el papel de${\displaystyle \infty }$en el${\displaystyle \xi }$-cuadro.

Topológicamente , el espacio resultante es la compactificación de un punto de un plano en la esfera. Sin embargo, la esfera de Riemann no es simplemente una esfera topológica. Es una esfera con una estructura compleja bien definida , de modo que alrededor de cada punto de la esfera hay un entorno que puede identificarse biholomórficamente con${\displaystyle \mathbf {C} }$.

Por otro lado, el teorema de uniformización , un resultado fundamental en la clasificación de las superficies de Riemann, establece que toda superficie de Riemann simplemente conexa es biholomorfa al plano complejo, al plano hiperbólico o a la esfera de Riemann. De estas, la esfera de Riemann es la única que es una superficie cerrada (una superficie compacta sin frontera ). Por lo tanto, la esfera bidimensional admite una estructura compleja única que la convierte en una variedad compleja unidimensional.

La esfera de Riemann también puede definirse como la recta proyectiva compleja . Los puntos de la recta proyectiva compleja pueden definirse como clases de equivalencia de vectores no nulos en el espacio vectorial complejo.${\displaystyle \mathbf {C} ^{2}}$: dos vectores no nulos${\displaystyle (w,z)}$y${\displaystyle (u,v)}$son equivalentes si y solo si${\displaystyle (w,z)=(\lambda u,\lambda v)}$ para algún coeficiente distinto de cero${\displaystyle \lambda \in \mathbf {C} }$.

En este caso, la clase de equivalencia está escrita${\displaystyle [w,z]}$utilizando coordenadas proyectivas . Dado cualquier punto${\displaystyle [w,z]}$en la línea proyectiva compleja, una de${\displaystyle w}$y${\displaystyle z}$debe ser distinto de cero, por ejemplo${\displaystyle w\neq 0}$. Entonces, por la noción de equivalencia,${\displaystyle [w,z]=\left[1,z/w\right]}$, que se encuentra en un diagrama para la variedad de la esfera de Riemann. ^{[ 3 ]}

Este tratamiento de la esfera de Riemann se relaciona fácilmente con la geometría proyectiva. Por ejemplo, cualquier recta (o cónica suave) en el plano proyectivo complejo es biholomorfa a la recta proyectiva compleja. También resulta útil para estudiar los automorfismos de la esfera , que se abordarán más adelante en este artículo.

La esfera de Riemann puede visualizarse como la esfera unitaria.${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1}$en el espacio real tridimensional${\displaystyle \mathbf {R} ^{3}}$. Para ello, consideremos la proyección estereográfica desde la esfera unitaria menos el punto${\displaystyle (0,0,1)}$al avión${\displaystyle z=0,}$que identificamos con el plano complejo por${\displaystyle \zeta =x+iy}$En coordenadas cartesianas${\displaystyle (x,y,z)}$y coordenadas esféricas${\displaystyle (\theta,\varphi)}$en la esfera (con${\displaystyle \theta }$el ángulo cenital y${\displaystyle \varphi }$el acimut ), la proyección es

${\displaystyle \zeta ={\frac {x+iy}{1-z}}={\cot }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\theta {\bigr )}\,e^{i\varphi }.}$

De manera similar, la proyección estereográfica de${\displaystyle (0,0,-1)}$al avión${\displaystyle z=0,}$identificado con otra copia del plano complejo por${\displaystyle \xi =x-iy,}$está escrito

${\displaystyle \xi ={\frac {x-iy}{1+z}}={\tan }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\theta {\bigr )}\,e^{-i\varphi }.}$

Las inversas de estas dos proyecciones estereográficas son transformaciones del plano complejo a la esfera. La primera inversa cubre la esfera excepto el punto${\displaystyle (0,0,1)}$y la segunda cubre la esfera excepto el punto${\displaystyle (0,0,-1)}$. Los dos planos complejos, que son los dominios de estos mapas, se identifican de manera diferente con el plano${\displaystyle z=0}$, porque es necesario un cambio de orientación para mantener una orientación consistente en la esfera.

Los mapas de transición entre${\displaystyle \zeta }$-coordenadas y${\displaystyle \xi }$Las coordenadas se obtienen componiendo una proyección con la inversa de la otra. Resultan ser${\displaystyle \zeta =1/\xi }$y${\displaystyle \xi =1/\zeta }$, como se describió anteriormente. Por lo tanto, la esfera unitaria es difeomorfa a la esfera de Riemann.

Bajo este difeomorfismo, el círculo unitario en el${\displaystyle \zeta }$-gráfico, el círculo unitario en el${\displaystyle \xi }$-el gráfico y el ecuador de la esfera unitaria están identificados. El disco unitario${\displaystyle |\zeta |<1}$se identifica con el hemisferio sur${\displaystyle z<0}$mientras que el disco de la unidad${\displaystyle |\xi |<1}$se identifica con el hemisferio norte${\displaystyle z>0}$.

Una superficie de Riemann no viene equipada con ninguna métrica riemanniana en particular . Sin embargo, la estructura conforme de la superficie de Riemann sí determina una clase de métricas: todas aquellas cuya estructura conforme subordinada es la dada. En detalle: la estructura compleja de la superficie de Riemann determina de forma única una métrica salvo equivalencia conforme . (Se dice que dos métricas son conformemente equivalentes si difieren en la multiplicación por una función suave positiva ). A la inversa, cualquier métrica en una superficie orientada determina de forma única una estructura compleja, que depende de la métrica solo hasta la equivalencia conforme. Por lo tanto, las estructuras complejas en una superficie orientada están en correspondencia biunívoca con las clases conformes de métricas en esa superficie.

Dentro de una clase conforme dada, se puede utilizar la simetría conforme para encontrar una métrica representativa con propiedades convenientes. En particular, siempre existe una métrica completa con curvatura constante en cualquier clase conforme dada.

En el caso de la esfera de Riemann, el teorema de Gauss-Bonnet implica que una métrica de curvatura constante ${\displaystyle \gamma }$debe tener curvatura positiva${\displaystyle K}$De ello se deduce que la métrica debe ser isométrica a la esfera de radio${\displaystyle 1/{\sqrt {K}}}$en${\displaystyle \mathbf {R} ^{3}}$mediante proyección estereográfica. En el${\displaystyle \zeta }$-gráfico en la esfera de Riemann, la métrica con${\displaystyle K=1}$es dado por

${\displaystyle ds^{2}=2\gamma _{\zeta {\overline {\zeta }}}\,d\zeta \,d{\overline {\zeta }}={\frac {4}{\left(1+\zeta {\overline {\zeta }}\right)^{2}}}\,d\zeta \,d{\overline {\zeta }}=\left({\frac {2}{1+|\zeta |^{2}}}\right)^{2}\,|d\zeta |^{2}.}$

En coordenadas reales${\displaystyle \zeta =u+iv}$, la fórmula es

${\displaystyle ds^{2}={\frac {4}{\left(1+u^{2}+v^{2}\right)^{2}}}\left(du^{2}+dv^{2}\right).}$

Salvo un factor constante, esta métrica coincide con la métrica estándar de Fubini-Study en el espacio proyectivo complejo (del cual la esfera de Riemann es un ejemplo). Los dos símbolos de Christoffel no nulos de su conexión Levi-Civita son: ${\displaystyle \Gamma _{\zeta \zeta }^{\zeta }=-2{\overline {\zeta }}/(1+|\zeta |^{2})}$ y su conjugado. Por lo tanto, esta métrica es igual a su propia curvatura de Ricci . ${\displaystyle \gamma =\mathrm {Ric} }$.

Salvo escalado, esta es la única métrica en la esfera cuyo grupo de isometrías que preservan la orientación es tridimensional (y ninguna es más que tridimensional); ese grupo se llama${\displaystyle {\mbox{SO}}(3)}$. En este sentido, esta es, con mucho, la métrica más simétrica en la esfera. (El grupo de todas las isometrías, conocido como${\displaystyle {\mbox{O}}(3)}$, también es tridimensional, pero a diferencia de${\displaystyle {\mbox{SO}}(3)}$(no es un espacio conectado.)

Por el contrario, dejemos${\displaystyle S}$denotamos la esfera (como una variedad abstracta lisa o topológica ). Por el teorema de uniformización existe una estructura compleja única en${\displaystyle S}$hasta la equivalencia conforme. De ello se deduce que cualquier métrica en${\displaystyle S}$es conformemente equivalente a la métrica redonda . Todas estas métricas determinan la misma geometría conforme. Por lo tanto, la métrica redonda no es intrínseca a la esfera de Riemann, ya que la "redondez" no es un invariante de la geometría conforme. La esfera de Riemann es solo una variedad conforme , no una variedad riemanniana . Sin embargo, si se necesita realizar geometría riemanniana en la esfera de Riemann, la métrica redonda es una elección natural (con cualquier radio fijo, aunque radio${\displaystyle 1}$es la opción más simple y común). Esto se debe a que solo una métrica redonda en la esfera de Riemann tiene su grupo de isometrías siendo un grupo tridimensional. (Es decir, el grupo conocido como${\displaystyle {\mbox{SO}}(3)}$, un grupo continuo ("de Lie") que es topológicamente el espacio proyectivo tridimensional${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$.)

El estudio de cualquier objeto matemático se ve facilitado por la comprensión de su grupo de automorfismos, es decir, las aplicaciones del objeto a sí mismo que preservan la estructura esencial del objeto. En el caso de la esfera de Riemann, un automorfismo es una aplicación conforme invertible (es decir, una aplicación biholomorfa) de la esfera de Riemann a sí misma. Resulta que las únicas aplicaciones de este tipo son las transformaciones de Möbius . Estas son funciones de la forma

${\displaystyle f(\zeta )={\frac {a\zeta +b}{c\zeta +d}},}$

dónde${\displaystyle a}$,${\displaystyle b}$,${\displaystyle c}$, y${\displaystyle d}$son números complejos tales que${\displaystyle ad-bc\neq 0}$Ejemplos de transformaciones de Möbius incluyen dilataciones , rotaciones , traslaciones e inversión compleja. De hecho, cualquier transformación de Möbius puede expresarse como una composición de estas.

Las transformaciones de Möbius son homografías en la recta proyectiva compleja. En coordenadas proyectivas , la transformación f se puede escribir

${\displaystyle [\zeta ,\ 1]{\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}\ =\ [a\zeta +b,\ c\zeta +d]\ =\ {\begin{pmatrix}{\tfrac {a\zeta +b}{c\zeta +d}}&1\end{pmatrix}}\ =\ [f(\zeta ),\ 1].}$

Así, las transformaciones de Möbius pueden describirse como matrices complejas de dos por dos con determinante distinto de cero . Dado que actúan sobre coordenadas proyectivas, dos matrices producen la misma transformación de Möbius si y solo si difieren en un factor distinto de cero. El grupo de transformaciones de Möbius es el grupo lineal proyectivo.${\displaystyle {\mbox{PGL}}(2,\mathbf {C} )}$.

Si se dota a la esfera de Riemann de la métrica de Fubini-Study , entonces no todas las transformaciones de Möbius son isometrías; por ejemplo, las dilataciones y las traslaciones no lo son. Las isometrías forman un subgrupo propio de${\displaystyle {\mbox{PGL}}(2,\mathbf {C} )}$, es decir${\displaystyle {\mbox{PSU}}(2)}$Este subgrupo es isomorfo al grupo de rotación .${\displaystyle {\mbox{SO}}(3)}$, que es el grupo de simetrías de la esfera unitaria en${\displaystyle \mathbf {R} ^{3}}$(que, al restringirse a la esfera, se convierten en las isometrías de la esfera).

En análisis complejo, una función meromorfa en el plano complejo (o en cualquier superficie de Riemann, para el caso) es una razón${\displaystyle f/g}$de dos funciones holomorfas${\displaystyle f}$y${\displaystyle g}$Como mapa a los números complejos, no está definido en ningún lugar.${\displaystyle g}$es cero. Sin embargo, induce un mapa holomorfo.${\displaystyle (f,g)}$a la línea proyectiva compleja que está bien definida incluso donde${\displaystyle g=0}$Esta construcción resulta útil en el estudio de funciones holomorfas y meromorfas. Por ejemplo, en una superficie de Riemann compacta no existen aplicaciones holomorfas no constantes a los números complejos, pero sí abundan las aplicaciones holomorfas a la recta proyectiva compleja.

La esfera de Riemann se cita a menudo como una construcción en la que se pueden visualizar fácilmente círculos generalizados , transformaciones de Möbius y aplicaciones conformes entre subconjuntos abiertos conexos del plano complejo extendido.

La esfera de Riemann tiene muchos usos en física. En mecánica cuántica, los puntos en la línea proyectiva compleja son valores naturales para los estados de polarización de fotones , estados de espín de partículas masivas de espín${\displaystyle 1/2}$y partículas de dos estados en general (véase también Bit cuántico y esfera de Bloch ). La esfera de Riemann se ha sugerido como un modelo relativista para la esfera celeste . ^{[ 4 ]} En la teoría de cuerdas , las hojas de mundo de las cuerdas son superficies de Riemann, y la esfera de Riemann, al ser la superficie de Riemann más simple, juega un papel significativo. También es importante en la teoría de twistores .

• Geometría conforme : estudio de las transformaciones de un espacio geométrico que preservan los ángulos. 
• Razón cruzada : invariante en geometría proyectiva 
• Dessin d'enfant – Dibujo gráfico utilizado para estudiar superficies de Riemann 
• Paquete de Hopf : paquete de fibras de la 3-esfera sobre la 2-esfera, con 1-esferas como fibras. Páginas que muestran descripciones breves de los destinos de redirección. 
• Plano de Möbius
• Paralelo (operador) §  Propiedades
• Recta real extendida proyectivamente : números reales con un punto añadido en el infinito. 
• Diagrama de Smith : calculadora gráfica para ingenieros eléctricos 
• Teoría de la rueda : álgebra donde la división siempre está definida. 

• Brown, James y Churchill, Ruel (1989). Variables complejas y aplicaciones . Nueva York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-010905-2.
• Goldman, William Mark (1999). Geometría hiperbólica compleja . Oxford  : Nueva York: Oxford University Press. ISBN 0-19-853793-X.
• Griffiths, Phillip y Harris, Joseph (1978). Principios de geometría algebraica . John Wiley & Sons. ISBN 0-471-32792-1.
• Penrose, Roger (2007). El camino a la realidad . Londres: National Geographic Books. ISBN 978-0-679-77631-4.
• Riemann, Bernhard (1857). "Theorie der Abel'schen Functionen" [ Teoría de las funciones abelianas ] . Journal für die reine und angewandte Mathematik (en alemán). 54 : 115-155 .
• Rudin, Walter (1987). Análisis real y complejo . Nueva York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-100276-6.

• "Esfera de Riemann" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Transformaciones de Möbius al descubierto , por Douglas N. Arnold y Jonathan Rogness (un vídeo de dos profesores de la Universidad de Minnesota que explica e ilustra las transformaciones de Möbius mediante proyección estereográfica desde una esfera).