entropía topológica

En matemáticas , la entropía topológica de un sistema dinámico topológico es un número real extendido no negativo que mide la complejidad del sistema. La entropía topológica fue introducida por primera vez en 1965 por Adler , Konheim y McAndrew. Su definición se basó en la definición de la entropía de Kolmogorov-Sinai o entropía métrica . Posteriormente, Dinaburg y Rufus Bowen dieron una definición diferente y más débil, similar a la dimensión de Hausdorff . Esta segunda definición clarificó el significado de la entropía topológica: para un sistema dado por una función iterada , la entropía topológica representa la tasa de crecimiento exponencial del número de órbitas distinguibles de las iteraciones. Un importante principio variacional relaciona las nociones de entropía topológica y entropía de la teoría de la medida.

Un sistema dinámico topológico consta de un espacio topológico de Hausdorff X (que generalmente se supone compacto ) y una automapa continua f  : X → X . Su entropía topológica es un número real extendido no negativo que puede definirse de varias maneras, las cuales se sabe que son equivalentes.   

• La entropía topológica es un invariante de los sistemas dinámicos topológicos, lo que significa que se conserva mediante la conjugación topológica .
• Dejar${\displaystyle f}$ser un homeomorfismo expansivo de un espacio métrico compacto${\displaystyle X}$y dejar${\displaystyle C}$ser un generador topológico. Entonces la entropía topológica de${\displaystyle f}$relativo a${\displaystyle C}$es igual a la entropía topológica de${\displaystyle f}$, es decir

${\displaystyle h(f)=H(f,C).}$

• Dejar${\displaystyle f:X\rightarrow X}$ser una transformación continua de un espacio métrico compacto${\displaystyle X}$, dejar${\displaystyle h_{\mu }(f)}$sea ​​la entropía teórica de la medida de${\displaystyle f}$con respecto a${\displaystyle \mu }$y dejar${\displaystyle M(X,f)}$ser el conjunto de todos${\displaystyle f}$Medidas de probabilidad de Borel invariantes en X. Entonces, el principio variacional para la entropía ^{[ 6 ]} establece que

${\displaystyle h(f)=\sup _{\mu \in M(X,f)}h_{\mu }(f)}$.

• En general, el máximo de las cantidades${\displaystyle h_{\mu }}$sobre el conjunto${\displaystyle M(X,f)}$no se alcanza, pero si además el mapa de entropía${\displaystyle \mu \mapsto h_{\mu }(f):M(X,f)\rightarrow \mathbb {R} }$es semicontinua superior , entonces una medida de entropía máxima, lo que significa una medida${\displaystyle \mu }$en${\displaystyle M(X,f)}$con${\displaystyle h_{\mu }(f)=h(f)}$- existe.
• Si${\displaystyle f}$posee una medida única de entropía máxima${\displaystyle \mu }$, entonces${\displaystyle f}$es ergódico con respecto a${\displaystyle \mu }$.

• Dejar${\displaystyle \sigma$ :\Sigma _{k}\rightarrow \Sigma _{k}} por${\displaystyle x_{n}\mapsto x_{n-1}}$denotan el desplazamiento k bilateral completo en los símbolos${\displaystyle \{1,\dots ,k\}}$. Dejar${\displaystyle C=\{[1],\dots ,[k]\}}$denota la partición de${\displaystyle \Sigma _{k}}$en cilindros de longitud 1. Luego${\displaystyle \bigvee _{j=0}^{n-1}\sigma ^{-j}(C)}$es una partición de${\displaystyle \Sigma _{k}}$a pesar de${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$y el número de conjuntos es${\displaystyle k^{n}}$respectivamente. Las particiones son cubiertas abiertas y${\displaystyle C}$es un generador topológico. Por lo tanto

${\displaystyle h(\sigma )=H(\sigma ,C)=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{n}}\log k^{n}=\log k}$. La entropía teórica de la medida de Bernoulli${\displaystyle \left({\frac {1}{k}},\dots ,{\frac {1}{k}}\right)}$-medida también lo es${\displaystyle \log k}$Por lo tanto, es una medida de entropía máxima. Más adelante se puede demostrar que no existen otras medidas de entropía máxima.

• Dejar${\displaystyle A}$ser irreducible${\displaystyle k\times k}$matriz con entradas en${\displaystyle \{0,1\}}$y dejar${\displaystyle \sigma$ Sea :\Sigma _{A}\rightarrow \Sigma _{A}} el subdesplazamiento correspondiente de tipo finito . Entonces${\displaystyle h(\sigma )=\log \lambda }$dónde${\displaystyle \lambda }$es el mayor valor propio positivo de${\displaystyle A}$.

• teoría del amasado de Milnor-Thurston
• Para la medición de correlaciones en sistemas con orden topológico, véase Entropía de entrelazamiento topológico.
• Dimensión media

• Adler, RL; Konheim, Allan G.; McAndrew, MH (1965). " Entropía topológica" . Transactions of the American Mathematical Society . 114 (2): 309– 319. doi : 10.2307/1994177 . JSTOR 1994177. Zbl 0127.13102 .  
• Dmitri Anosov (2001) [1994], "Entropía topológica" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Roy Adler, Tomasz Downarowicz, Michał Misiurewicz, Entropía topológica en Scholarpedia
• Walters, Peter (1982). Introducción a la teoría ergódica . Textos de posgrado en matemáticas . Vol.  79. Springer-Verlag . ISBN 0-387-95152-0. Zbl 0475.28009 . 

• http://www.scholarpedia.org/article/Topological_entropy

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