Dinámica aritmética

La dinámica aritmética ^{[ 1 ]} es un campo que amalgama dos áreas de las matemáticas: los sistemas dinámicos y la teoría de números . Parte de la inspiración proviene de la dinámica compleja , el estudio de la iteración de automapas del plano complejo u otras variedades algebraicas complejas . La dinámica aritmética estudia las propiedades de la teoría de números de puntos enteros , racionales , p -ádicos o algebraicos bajo la aplicación repetida de una función polinómica o racional . Un objetivo fundamental es describir las propiedades aritméticas en términos de estructuras geométricas subyacentes.

La dinámica aritmética global es el estudio de análogos de la geometría diofántica clásica en el contexto de sistemas dinámicos discretos, mientras que la dinámica aritmética local , también llamada dinámica p-ádica o no arquimediana , es un análogo de la dinámica compleja en la que se reemplazan los números complejos C por un campo p -ádico como Q _p o C _p y se estudia el comportamiento caótico y los conjuntos de Fatou y Julia .

La siguiente tabla describe una correspondencia aproximada entre las ecuaciones diofánticas, especialmente las variedades abelianas , y los sistemas dinámicos:

Sea S un conjunto y sea F  : S → S una aplicación de S a sí mismo. La iteración de F consigo mismo n veces se denota

${\displaystyle F^{(n)}=F\circ F\circ \cdots \circ F.}$

Un punto P ∈ S es periódico si F ^{( n )} ( P ) = P para algún n ≥ 1 .

El punto es preperiódico si F ^{( k )} ( P ) es periódico para algún k ≥ 1 .

La órbita (hacia adelante) de P es el conjunto

${\displaystyle O_{F}(P)=\left\{P,F(P),F^{(2)}(P),F^{(3)}(P),\cdots \right\}.}$

Por lo tanto, _P es preperiódico si y solo si su órbita OF ( P ) es finita.

Sea F ( x ) una función racional de grado al menos dos con coeficientes en Q . Un teorema de Douglas Northcott ^{[ 2 ]} dice que F tiene solo un número finito de puntos preperiódicos Q -racionales, es decir, F tiene solo un número finito de puntos preperiódicos en P ¹ ( Q ) . La conjetura de acotación uniforme para puntos preperiódicos ^{[ 3 ]} de Patrick Morton y Joseph Silverman dice que el número de puntos preperiódicos de F en P ¹ ( Q ) está acotado por una constante que depende solo del grado de F .

De manera más general, sea F  : P ^N → P ^N un morfismo de grado al menos dos definido sobre un cuerpo numérico K. El teorema de Northcott dice que F tiene solo un número finito de puntos preperiódicos en P ^N ( K ) , y la conjetura general de acotación uniforme dice que el número de puntos preperiódicos en P ^N ( K ) puede estar acotado únicamente en términos de N , el grado de F y el grado de K sobre Q .

La conjetura de acotación uniforme no se conoce ni siquiera para polinomios cuadráticos F _c ( x ) = x ² + c sobre los números racionales Q . En este caso, se sabe que F _c ( x ) no puede tener puntos periódicos de periodo cuatro, ^{[ 4 ]} cinco, ^{[ 5 ]} o seis, ^{[ 6 ]} aunque el resultado para el periodo seis depende de la validez de la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer . Bjorn Poonen ha conjeturado que F _c ( x ) no puede tener puntos periódicos racionales de ningún periodo estrictamente mayor que tres. ^{[ 7 ]}

La órbita de una función racional puede contener infinitos enteros. Por ejemplo, si F ( x ) es un polinomio con coeficientes enteros y a es un entero, entonces es evidente que toda la órbita O _F ( a ) está formada por enteros. De manera similar, si F ( x ) es una función racional y alguna iteración F ^{( n )} ( x ) es un polinomio con coeficientes enteros, entonces cada n -ésima entrada de la órbita es un entero. Un ejemplo de este fenómeno es la función F ( x ) = x ^{− d} , cuya segunda iteración es un polinomio. Resulta que esta es la única forma en que una órbita puede contener infinitos enteros.

Teorema. ^{[ 8 ]} Sea F ( x ) ∈ Q ( x ) una función racional de grado al menos dos, y supongamos que ninguna iteración ^{[ 9 ]} de F es un polinomio. Sea a ∈ Q . Entonces la órbita O _F ( a ) contiene solo un número finito de enteros.

Existen conjeturas generales, debidas a Shouwu Zhang ^{[ 10 ]} y otros autores, sobre subvariedades que contienen infinitos puntos periódicos o que intersecan una órbita en infinitos puntos. Estas son análogas dinámicas, respectivamente, a la conjetura de Manin - Mumford , demostrada por Michel Raynaud , y a la conjetura de Mordell-Lang , demostrada por Gerd Faltings . Las siguientes conjeturas ilustran la teoría general en el caso de que la subvariedad sea una curva.

Conjetura. Sea F  : P ^N → P ^N un morfismo y sea C ⊂ P ^N una curva algebraica irreducible. Supongamos que existe un punto P ∈ P ^N tal que C contiene infinitos puntos en la órbita O _F ( P ) . Entonces C es periódica para F en el sentido de que existe alguna iteración F ^{( k )} de F que mapea C en sí misma.

El campo de la dinámica p -ádica (o no arquimediana) es el estudio de cuestiones dinámicas clásicas sobre un campo K que es completo con respecto a un valor absoluto no arquimediano. Ejemplos de tales campos son el campo de los racionales p -ádicos Q _p y la completitud de su clausura algebraica C _p . La métrica en K y la definición estándar de equicontinuidad conducen a la definición usual de los conjuntos de Fatou y Julia de una aplicación racional F ( x ) ∈ K ( x ) . Hay muchas similitudes entre las teorías complejas y no arquimedianas, pero también muchas diferencias. Una diferencia notable es que en el contexto no arquimediano, el conjunto de Fatou siempre es no vacío, pero el conjunto de Julia puede ser vacío. Esto es lo contrario de lo que es cierto sobre los números complejos. La dinámica no arquimediana se ha extendido al espacio de Berkovich , ^{[ 11 ]} que es un espacio compacto conexo que contiene el campo totalmente disconexo no localmente compacto C _p .

Hay generalizaciones naturales de la dinámica aritmética en las que Q y Q _p se reemplazan por cuerpos numéricos y sus completaciones p -ádicas. Otra generalización natural es reemplazar los automapas de P ¹ o P ^N con automapas (morfismos) V → V de otras variedades afines o proyectivas .

Existen muchos otros problemas de naturaleza teórica de números que aparecen en el contexto de los sistemas dinámicos, entre ellos:

• dinámica sobre campos finitos .
• dinámica sobre campos de funciones como C ( x ) .
• iteración de series de potencias formales y p -ádicas .
• dinámica en grupos de Lie .
• Propiedades aritméticas de espacios de módulos definidos dinámicamente .
• equidistribución ^{[ 12 ]} y medidas invariantes , especialmente en espacios p -ádicos.
• dinámica en módulos de Drinfeld .
• problemas de iteración de la teoría de números que no se describen mediante aplicaciones racionales en variedades, por ejemplo, el problema de Collatz .
• Codificaciones simbólicas de sistemas dinámicos basadas en expansiones aritméticas explícitas de números reales. ^{[ 13 ]}

La lista de referencias de dinámica aritmética ofrece una extensa lista de artículos y libros que abarcan una amplia gama de temas de dinámica aritmética.

• Geometría aritmética
• Topología aritmética
• Combinatoria y sistemas dinámicos
• Representación arbórea de Galois

• Apuntes de clase sobre dinámica aritmética, Escuela de Invierno de Arizona , 13-17 de marzo de 2010, Joseph H. Silverman
• Capítulo 15 de Un primer curso de dinámica: con un panorama de los desarrollos recientes , Boris Hasselblatt, AB Katok, Cambridge University Press, 2003, ISBN 978-0-521-58750-1

• Página principal de La aritmética de los sistemas dinámicos
• Bibliografía sobre dinámica aritmética
• Análisis y dinámica en la línea proyectiva de Berkovich
• Reseña del libro "La aritmética de los sistemas dinámicos" de Joseph H. Silverman, realizada por Robert L. Benedetto.