Módulo Drinfeld

En matemáticas , un módulo de Drinfeld (o módulo elíptico ) es, en líneas generales, un tipo especial de módulo sobre un anillo de funciones en una curva sobre un cuerpo finito , que generaliza el módulo de Carlitz . En términos generales, proporcionan un cuerpo de funciones análogo a la teoría de la multiplicación compleja . Un shtuka (también llamado haz F o chtouca ) es una especie de generalización de un módulo de Drinfeld, que consiste, en líneas generales, en un fibrado vectorial sobre una curva, junto con alguna estructura adicional que identifica un "giro de Frobenius" del fibrado con una "modificación" del mismo.

Los módulos de Drinfeld fueron introducidos por Drinfeld  (1974), quien los utilizó para probar las conjeturas de Langlands para GL ₂ de un cuerpo de funciones algebraicas en algunos casos especiales. Más tarde inventó los shtukas y utilizó shtukas de rango 2 para probar los casos restantes de las conjeturas de Langlands para GL ₂ . Laurent Lafforgue demostró las conjeturas de Langlands para GL _n de un cuerpo de funciones estudiando la pila de módulos de shtukas de rango n .

"Shtuka" es una palabra rusa штука que significa "una sola copia", que proviene del sustantivo alemán "Stück", que significa "pieza, artículo o unidad". En ruso, la palabra "shtuka" también se usa en la jerga para referirse a una cosa con propiedades conocidas, pero que no tiene nombre en la mente del hablante.

Sea un cuerpo de característica . El anillo se define como el anillo de polinomios no conmutativos (o torcidos) sobre , con la multiplicación dada por ${\estilo de visualización L}$${\displaystyle p>0}$${\displaystyle L\{\tau \}}$ ${\displaystyle a_{0}+a_{1}\tau +a_{2}\tau ^{2}+\cdots }$${\estilo de visualización L}$

${\displaystyle \tau a=a^{p}\tau ,\quad a\in L.}$

El elemento puede considerarse como un elemento de Frobenius : de hecho, es un módulo izquierdo sobre , con elementos de actuando como multiplicación y actuando como el endomorfismo de Frobenius de . El anillo también puede considerarse como el anillo de todos los polinomios (absolutamente) aditivos ${\estilo de visualización \tau}$${\estilo de visualización L}$${\displaystyle L\{\tau \}}$${\estilo de visualización L}$${\estilo de visualización \tau}$${\estilo de visualización L}$${\displaystyle L\{\tau \}}$

${\displaystyle a_{0}x+a_{1}x^{p}+a_{2}x^{p^{2}}+\cdots =a_{0}\tau ^{0}+a_{1}\tau +a_{2}\tau ^{2}+\cdots \,}$

en , donde un polinomio se llama aditivo si (como elementos de ). El anillo de polinomios aditivos se genera como un álgebra sobre el polinomio . La multiplicación en el anillo de polinomios aditivos se da por composición de polinomios, no por multiplicación de polinomios conmutativos, y no es conmutativa. ${\estilo de visualización L[x]}$${\estilo de visualización f}$${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)}$${\displaystyle L[x,y]}$${\estilo de visualización L}$${\displaystyle \tau = x^{p}}$

Sea F un campo de funciones algebraicas con un campo finito de constantes y fijemos un lugar de F . Definamos A como el anillo de elementos en F que son regulares en cada lugar excepto posiblemente . En particular, A es un dominio de Dedekind y es discreto en F (con la topología inducida por ). Por ejemplo, podemos tomar A como el anillo de polinomios . Sea L un campo equipado con un homomorfismo de anillo . ${\estilo de visualización\infty}$${\estilo de visualización\infty}$${\estilo de visualización\infty}$$Estilo de visualización F_{q}[t]}$${\displaystyle \iota :A\to L}$

Un módulo A de Drinfeld sobre L es un homomorfismo de anillo cuya imagen no está contenida en L , tal que la composición de con coincide con .${\displaystyle \phi :A\to L\{\tau \}}$${\estilo de visualización \phi}$${\displaystyle d:L\{\tau \}\to L,\,a_{0}+a_{1}\tau +\cdots \mapsto a_{0}}$${\displaystyle \iota :A\to L}$

La condición de que la imagen de A no esté en L es una condición de no degeneración, puesta en práctica para eliminar casos triviales, mientras que la condición que da la impresión de que un módulo de Drinfeld es simplemente una deformación de la función . ${\displaystyle d\circ \phi =\iota }$${\displaystyle \iota}$

Como L {τ} puede considerarse como endomorfismos del grupo aditivo de L , un A -módulo de Drinfeld puede considerarse como una acción de A sobre el grupo aditivo de L , o en otras palabras como un A -módulo cuyo grupo aditivo subyacente es el grupo aditivo de L .

• Definamos A como F _p [ T ], el anillo (¡conmutativo!) habitual de polinomios sobre el cuerpo finito de orden p . En otras palabras, A es el anillo de coordenadas de una curva de género 0 afín. Entonces, un módulo de Drinfeld ψ está determinado por la imagen ψ( T ) de T , que puede ser cualquier elemento no constante de L {τ}. Por lo tanto, los módulos de Drinfeld se pueden identificar con elementos no constantes de L {τ}. (En el caso de género superior, la descripción de los módulos de Drinfeld es más complicada).
• El módulo de Carlitz es el módulo de Drinfeld ψ dado por ψ( T ) = T +τ, donde A es F _p [ T ] y L es un cuerpo algebraicamente cerrado adecuado y completo que contiene a A . Fue descrito por L. Carlitz en 1935, muchos años antes de la definición general del módulo de Drinfeld. Véase el capítulo 3 de Goss  (1996) para obtener más información sobre el módulo de Carlitz. Véase también exponencial de Carlitz .

Supongamos que X es una curva sobre el cuerpo finito F _p . Una shtuka (derecha) de rango r sobre un esquema (o pila) U viene dada por los siguientes datos:

• Haces localmente libres E , E′ de rango r sobre U × X junto con morfismos inyectivos

E → E′ ← (Fr×1) ^* E ,

cuyos cokernels se apoyan en ciertos grafos de morfismos de U a X (llamados cero y polo del shtuka, y usualmente denotados por 0 e ∞), y están localmente libres de rango 1 en sus apoyos. Aquí (Fr×1) ^* E es el pullback de E por el endomorfismo de Frobenius de U .

Un shtuka izquierdo se define de la misma manera, excepto que la dirección de los morfismos se invierte. Si el polo y el cero del shtuka son disjuntos, entonces los shtukas izquierdos y derechos son esencialmente iguales.

Variando U , obtenemos una pila algebraica Shtuka ^r de shtukas de rango r , un shtuka "universal" sobre Shtuka ^r × X y un morfismo (∞,0) de Shtuka ^r a X × X que es suave y de dimensión relativa 2 r  − 2. La pila Shtuka ^r no es de tipo finito para r  > 1.

Los módulos de Drinfeld son, en cierto sentido, tipos especiales de shtukas (esto no resulta del todo evidente a partir de las definiciones). Más precisamente, Drinfeld mostró cómo construir un shtuka a partir de un módulo de Drinfeld. Véase Drinfeld, VG Commutative subrings of certain noncommutative rings. Funkcional. Anal. i Prilovzen. 11 (1977), no. 1, 11–14, 96. para más detalles.

Las conjeturas de Langlands para cuerpos de funciones establecen (de manera muy aproximada) que existe una biyección entre representaciones automorfas cuspidales de GL _n y ciertas representaciones de un grupo de Galois. Drinfeld utilizó módulos de Drinfeld para demostrar algunos casos especiales de las conjeturas de Langlands, y más tarde demostró las conjeturas de Langlands completas para GL ₂ generalizando los módulos de Drinfeld a shtukas. La parte "difícil" de demostrar estas conjeturas es construir representaciones de Galois con ciertas propiedades, y Drinfeld construyó las representaciones de Galois necesarias al encontrarlas dentro de la cohomología l -ádica de ciertos espacios de módulos de shtukas de rango 2.

Drinfeld sugirió que los espacios de módulos de shtukas de rango r podrían usarse de manera similar para demostrar las conjeturas de Langlands para GL _r ; los formidables problemas técnicos involucrados en la ejecución de este programa fueron resueltos por Lafforgue después de muchos años de esfuerzo.

• Estructura de niveles (geometría algebraica)
• Pila de módulos de curvas elípticas

• Drinfeld, Vladimir (1974), "Módulos elípticos", Matematicheskii Sbornik (en ruso), 94 , SEÑOR  0384707Traducción al inglés en Matemáticas. URSS Sbornik 23 (1974) 561–592.
• Goss, David (1996), Estructuras básicas de la aritmética de campos de funciones , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Resultados en Matemáticas y áreas afines (3)], vol. 35, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/978-3-642-61480-4, ISBN 978-3-540-61087-8, Sr.  1423131
• Gekeler, E.-U. (2001) [1994], "Módulo Drinfel'd", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press.
• Laumon, Gérard (1996), Cohomología de las variedades modulares de Drinfeld, Parte 1, Geometría, conteo de puntos y análisis armónico local, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 41, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-47060-5
• Laumon, Gérard; Waldspurger, Jean-Loup (1996), Cohomología de las variedades modulares de Drinfeld, Parte 2, Formas automórficas, fórmulas de trazas y correspondencia de Langlands, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 56, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-47061-2
• Rosen, Michael (2002), "13. Módulos de Drinfeld: una introducción", Teoría de números en campos de funciones , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 210, Nueva York, NY: Springer-Verlag , ISBN 0-387-95335-3, Zbl1043.11079 ​.

• Drinfeld, VG Cohomología de variedades de módulos compactificados de haces F de rango 2. (Ruso) Zap. Nauchn. Sem. Leningrad. Otdel. Mat. Inst. Steklov. ( LOMI ) 162 (1987), Avtomorfn. Funkts. i Teor. Chisel. III, 107–158, 189; traducción en J. Soviet Math. 46 (1989), núm. 2, 1789–1821
• Drinfeld, VG (1987), "Variedades de módulos de poleas F", Funktsional. Anal. Yo Prilozhen. (en ruso), 21 (2): 23–41Traducción al español: Functional Anal. Appl. 21 (1987), núm. 2, 107–122.
• Goss, D. (2003), "¿Qué es un shtuka?" (PDF) , Avisos de la Sociedad Matemática Estadounidense , 50 (1)
• Kazhdan, David A. (1979), "Una introducción a la Shtuka de Drinfeld", en Borel, Armand ; Casselman, W. (eds.), Formas automórficas, representaciones y funciones L (Proc. Sympos. Pure Math., Oregon State Univ., Corvallis, Ore., 1977), Parte 2 , Proc. Sympos. Pure Math., XXXIII, Providence, RI: American Mathematical Society , págs. 347–356, ISBN 978-0-8218-1437-6, Sr.  0546623