exponencial de Carlitz

En matemáticas , la exponencial de Carlitz (llamada así en honor a Leonard Carlitz ) es un análogo de característica p de la función exponencial usual que se estudia en el análisis real y complejo . Se utiliza en la definición del módulo de Carlitz , un ejemplo de módulo de Drinfeld .

Trabajamos sobre el anillo de polinomios F _q [ T ] de una variable sobre un cuerpo finito F _q con q elementos. La completación C _∞ de una clausura algebraica del cuerpo F _q (( T ^{− 1} )) de series de Laurent formales en T ^{− 1} será útil. Se trata de un cuerpo completo y algebraicamente cerrado.

Primero necesitamos análogos a los factoriales , que aparecen en la definición de la función exponencial usual. Para i  >  0 definimos

${\displaystyle [i]:=T^{q^{i}}-T,\,}$

${\displaystyle D_{i}:=\prod _{1\leq j\leq i}[j]^{q^{ij}}}$

y D ₀  := 1. Nótese que el factorial usual es inapropiado aquí, ya que n ! se anula en F _q [ T ] a menos que n sea menor que la característica de F _q [ T ].

Utilizando esto, definimos la exponencial de Carlitz e _C : C _∞  → C _∞ mediante la suma convergente. 

${\displaystyle e_{C}(x):=\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {x^{q^{i}}}{D_{i}}}.}$

La exponencial de Carlitz satisface la ecuación funcional.

${\displaystyle e_{C}(Tx)=Te_{C}(x)+\left(e_{C}(x)\right)^{q}=(T+\tau )e_{C}(x),\,}$

donde podemos ver${\displaystyle \tau }$ como el poder de${\displaystyle q}$mapa o como elemento del anillo${\displaystyle F_{q}(T)\{\tau \}}$de polinomios no conmutativos . Por la propiedad universal de los anillos de polinomios en una variable, esto se extiende a un homomorfismo de anillos ψ : F _q [ T ]→ C _∞ { τ }, que define un F _q [ T ]-módulo de Drinfeld sobre C _∞ { τ }. Se le llama módulo de Carlitz.

• Goss, D. (1996). Estructuras básicas de la aritmética de campos de funciones . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Resultados en Matemáticas y Áreas Afines (3)]. vol.  35. Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-61087-8. MR 1423131 . 
• Thakur, Dinesh S. (2004). Aritmética de campos de funciones . Nueva Jersey: World Scientific Publishing . ISBN 978-981-238-839-1. MR 2091265 .