Anillo polinomial retorcido

En matemáticas , un polinomio retorcido ^{[ 1 ] [ 2 ]} es un polinomio sobre un cuerpo de característica${\displaystyle p}$en la variable${\displaystyle \tau }$representando el mapa de Frobenius${\displaystyle x\mapsto x^{p}}$A diferencia de los polinomios normales, la multiplicación de estos polinomios no es conmutativa , pero satisface la regla de conmutación.

${\displaystyle \tau x=x^{p}\tau }$

a pesar de${\displaystyle x}$en el campo base.

Sobre un cuerpo infinito, el anillo de polinomios retorcidos es isomorfo al anillo de polinomios aditivos , pero donde la multiplicación en este último se realiza mediante composición en lugar de la multiplicación usual. Sin embargo, a menudo es más fácil calcular en el anillo de polinomios retorcidos; esto se puede aplicar especialmente en la teoría de módulos de Drinfeld .

Dejar${\displaystyle k}$ser un campo de características${\displaystyle p}$. El anillo polinomial retorcido${\displaystyle k\{\tau \}}$se define como el conjunto de polinomios en la variable${\displaystyle \tau }$y coeficientes en${\displaystyle k}$Está dotado de una estructura de anillo con la suma usual, pero con una multiplicación no conmutativa que puede resumirse con la relación${\displaystyle \tau x=x^{p}\tau }$para${\displaystyle x\in k}$La aplicación repetida de esta relación produce una fórmula para la multiplicación de cualesquiera dos polinomios retorcidos. ^{[ 3 ]}

Como ejemplo, realizamos dicha multiplicación.

${\displaystyle (a+b\tau )(c+d\tau )=a(c+d\tau )+b\tau (c+d\tau )=ac+ad\tau +bc^{p}\tau +bd^{p}\tau ^{2}}$

El morfismo

${\displaystyle k\{\tau \}\to k[x],\quad a_{0}+a_{1}\tau +\cdots +a_{n}\tau ^{n}\mapsto a_{0}x+a_{1}x^{p}+\cdots +a_{n}x^{p^{n}}}$

define un homomorfismo de anillos que envía un polinomio retorcido a un polinomio aditivo. Aquí, la multiplicación en el lado derecho viene dada por la composición de polinomios. ^{[ 4 ]} Por ejemplo

${\displaystyle (ax+bx^{p})\circ (cx+dx^{p})=a(cx+dx^{p})+b(cx+dx^{p})^{p}=acx+adx^{p}+bc^{p}x^{p}+bd^{p}x^{p^{2}},}$

utilizando el hecho de que en característica${\displaystyle p}$Tenemos el sueño del estudiante de primer año${\displaystyle (x+y)^{p}=x^{p}+y^{p}}$.

El homomorfismo es claramente inyectivo, pero es sobreyectivo si y solo si${\displaystyle k}$es infinito. El fallo de la sobreyectividad cuando${\displaystyle k}$es finito se debe a la existencia de polinomios no nulos que inducen la función cero en${\displaystyle k}$(p.ej${\displaystyle x^{q}-x}$sobre el campo finito con${\displaystyle q}$elementos).

Aunque este anillo no es conmutativo, aún posee algoritmos de división (izquierda y derecha) .

• Goss, D. (1996), Estructuras básicas de la aritmética de campos de funciones , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Resultados en Matemáticas y áreas afines (3)], vol.  35, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-61087-8, MR 1423131 , Zbl 0874.11004  
• Rosen, Michael (2002), Teoría de números en cuerpos de funciones , Textos de posgrado en matemáticas , vol.  210, Springer-Verlag , ISBN 0-387-95335-3, ISSN 0072-5285 , Zbl 1043.11079