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Punto extremo

Un conjunto convexo en azul claro y sus puntos extremos en rojo. En matemáticas , un punto extremo de un conjunto convexo S {\displaystyle S} en un espacio vectorial real o comp...

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Un conjunto convexo en azul claro y sus puntos extremos en rojo.

En matemáticas , un punto extremo de un conjunto convexoS{\displaystyle S}en un espacio vectorial real o complejo o espacio afín es un punto enS{\displaystyle S}que no se encuentre en ningún segmento de línea abierta que una dos puntos deS.{\displaystyle S.}Los puntos extremos de un segmento de línea se denominan sus extremos . En problemas de programación lineal , un punto extremo también se denomina vértice o punto de esquina .S.{\displaystyle S.}

Definición

En todo momento se asume queincógnita{\displaystyle X}es un espacio vectorial real o complejo o un espacio afín .

Para cualquierpag,incógnita,y∈incógnita,{\displaystyle p,x,y\in X,}decir quepag{\displaystyle p}se encuentra entre [ 1 ]incógnita{\displaystyle x}yy{\displaystyle y}siincógnita≠y{\displaystyle x\neq y}y existe un0<t<1{\displaystyle 0<t<1}de tal manera quepag=tincógnita+(1−t)y.{\displaystyle p=tx+(1-t)y.}

SiK{\displaystyle K}es un subconjunto deincógnita{\displaystyle X}ypag∈K,{\displaystyle p\in K,}entoncespag{\displaystyle p}se llama unpunto extremo [ 1 ] deK{\displaystyle K}si no se encuentra entre dos puntos distintos deK.{\displaystyle K.}Es decir, si no existeincógnita,y∈K{\displaystyle x,y\in K}y0<t<1{\displaystyle 0<t<1}de tal manera queincógnita≠y{\displaystyle x\neq y}ypag=tincógnita+(1−t)y.{\displaystyle p=tx+(1-t)y.}El conjunto de todos los puntos extremos deK{\displaystyle K}se denota porextremo⁡(K).{\displaystyle \operatorname {extremo} (K).}

Generalizaciones

SiS{\displaystyle S}es un subconjunto de un espacio vectorial entonces una subvariedad lineal (es decir, un subespacio afín )A{\displaystyle A}del espacio vectorial se llamaapoyar la variedad siA{\displaystyle A}encuentrosS{\displaystyle S}(eso es,A∩S{\displaystyle A\cap S}no está vacío) y cada segmento abiertoI⊆S{\displaystyle I\subseteq S}cuyo interior se encuentraA{\displaystyle A}es necesariamente un subconjunto deA.{\displaystyle A.}[ 2 ] Una variedad de soporte de dimensión 0 se llama punto extremo deS.{\displaystyle S.}[ 2 ]

Caracterizaciones

Elpunto medio [ 1 ] de dos elementosincógnita{\displaystyle x}yy{\displaystyle y}en un espacio vectorial es el vector12(incógnita+y).{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(x+y).}

Para cualquier elementoincógnita{\displaystyle x}yy{\displaystyle y}en un espacio vectorial, el conjunto[incógnita,y]={tincógnita+(1−t)y:0≤t≤1}{\displaystyle [x,y]=\{tx+(1-t)y:0\leq t\leq 1\}}se llama elsegmento de línea cerrada ointervalo cerrado entreincógnita{\displaystyle x}yy.{\displaystyle y.}Elsegmento de línea abierta ointervalo abierto entreincógnita{\displaystyle x}yy{\displaystyle y}es(incógnita,incógnita)=∅{\displaystyle (x,x)=\varnothing }cuandoincógnita=y{\displaystyle x=y}mientras sea(incógnita,y)={tincógnita+(1−t)y:0<t<1}{\displaystyle (x,y)=\{tx+(1-t)y:0<t<1\}}cuandoincógnita≠y.{\displaystyle x\neq y.}[ 1 ] Los puntosincógnita{\displaystyle x}yy{\displaystyle y}se llaman lospuntos extremos de estos intervalos. Se dice que un intervalo es unintervalo no degenerado o unintervalo adecuado si sus extremos son distintos. ElEl punto medio de un intervalo es el punto medio de sus extremos.

El intervalo cerrado[incógnita,y]{\displaystyle [x,y]}es igual a la envoltura convexa de(incógnita,y){\displaystyle (x,y)}si (y solo si)incógnita≠y.{\displaystyle x\neq y.}Entonces siK{\displaystyle K}es convexo yincógnita,y∈K,{\displaystyle x,y\in K,}entonces[incógnita,y]⊆K.{\displaystyle [x,y]\subseteq K.}

SiK{\displaystyle K}es un subconjunto no vacío deincógnita{\displaystyle X}yF{\displaystyle F}es un subconjunto no vacío deK,{\displaystyle K,}entoncesF{\displaystyle F}se llama uncara [ 1 ] deK{\displaystyle K}si siempre que un puntopag∈F{\displaystyle p\in F}se encuentra entre dos puntos deK,{\displaystyle K,}entonces esos dos puntos necesariamente pertenecen aF.{\displaystyle F.}

Teorema [ 1 ] — SeaK{\displaystyle K}sea ​​un subconjunto convexo no vacío de un espacio vectorialincógnita{\displaystyle X}y dejarpag∈K.{\displaystyle p\in K.} Entonces, las siguientes afirmaciones son equivalentes:

  1. pag{\displaystyle p}es un punto extremo deK.{\displaystyle K.}
  2. K∖{pag}{\displaystyle K\setminus \{p\}}es convexo.
  3. pag{\displaystyle p}no es el punto medio de un segmento de línea no degenerado contenido enK.{\displaystyle K.}
  4. para cualquierincógnita,y∈K,{\displaystyle x,y\in K,}sipag∈[incógnita,y]{\displaystyle p\in [x,y]}entoncesincógnita=pag o y=pag.{\displaystyle x=p{\text{ o }}y=p.}
  5. siincógnita∈incógnita{\displaystyle x\in X}es tal que ambospag+incógnita{\displaystyle p+x}ypag−incógnita{\displaystyle px}pertenecer aK,{\displaystyle K,}entoncesincógnita=0.{\displaystyle x=0.}
  6. {pag}{\displaystyle \{p\}}es un rostro deK.{\displaystyle K.}

Ejemplos

Sia<b{\displaystyle a<b}son dos números reales entoncesa{\displaystyle a}yb{\displaystyle b}son puntos extremos del intervalo[a,b].{\displaystyle [a,b].}Sin embargo, el intervalo abierto(a,b){\displaystyle (a,b)}no tiene puntos extremos. [ 1 ] Cualquier intervalo abierto enR{\displaystyle \mathbb {R} }no tiene puntos extremos mientras que cualquier intervalo cerrado no degenerado no es igual aR{\displaystyle \mathbb {R} }tiene puntos extremos (es decir, los puntos finales del intervalo cerrado). De manera más general, cualquier subconjunto abierto del espacio euclidiano de dimensión finita .Rnorte{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}no tiene puntos extremos.

Los puntos extremos del disco de la unidad cerrada enR2{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}es el círculo unitario .

El perímetro de cualquier polígono convexo en el plano es una cara de ese polígono. [ 1 ] Los vértices de cualquier polígono convexo en el planoR2{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}son los puntos extremos de ese polígono.

Un mapa lineal inyectivoF:incógnita→Y{\displaystyle F:X\to Y}envía los puntos extremos de un conjunto convexodo⊆incógnita{\displaystyle C\subsetequ X}hasta los puntos extremos del conjunto convexoF(incógnita).{\displaystyle F(X).}[ 1 ] Esto también es cierto para los mapas afines inyectivos.

Propiedades

Los puntos extremos de un conjunto convexo compacto forman un espacio de Baire (con la topología de subespacio), pero este conjunto puede no ser cerrado enincógnita.{\displaystyle X.}[ 1 ]

Teoremas

Teorema de Krein-Milman

El teorema de Krein-Milman es, sin duda, uno de los teoremas más conocidos sobre puntos extremos.

Teorema — SiS{\displaystyle S}es convexo y compacto en un espacio vectorial topológico localmente convexo , entoncesS{\displaystyle S}es la envoltura convexa cerrada de sus puntos extremos: en particular, dicho conjunto tiene puntos extremos.

Para espacios Banach

Estos teoremas son para espacios de Banach con la propiedad de Radon-Nikodym .

Un teorema de Joram Lindenstrauss establece que, en un espacio de Banach con la propiedad de Radon-Nikodym, un conjunto cerrado y acotado no vacío tiene un punto extremo. (En espacios de dimensión infinita, la propiedad de compacidad es más fuerte que las propiedades conjuntas de ser cerrado y ser acotado. [ 3 ] )

Teorema ( Gerald Edgar ) — Sea mi{\displaystyle E}ser un espacio Banach con la propiedad Radon–Nikodym, dejardo{\displaystyle C}sea ​​un subconjunto separable, cerrado, acotado y convexo demi,{\displaystyle E,}y dejara{\displaystyle a}ser un punto endo.{\displaystyle C.}Luego hay una medida de probabilidadpag{\displaystyle p}en los conjuntos universalmente medibles endo{\displaystyle C}de tal manera quea{\displaystyle a}es el baricentro depag,{\displaystyle p,}y el conjunto de puntos extremos dedo{\displaystyle C}tienepag{\displaystyle p}-medida 1. [ 4 ]

El teorema de Edgar implica el teorema de Lindenstrauss.

Un subconjunto cerrado convexo de un espacio vectorial topológico se denomina estrictamente convexo si cada uno de sus puntos frontera (topológicos) es un punto extremo. [ 5 ] La bola unitaria de cualquier espacio de Hilbert es un conjunto estrictamente convexo. [ 5 ]

k - puntos extremos

De forma más general, un punto en un conjunto convexoS{\displaystyle S}esk{\displaystyle k}-extremo si se encuentra en el interior de unk{\displaystyle k}Conjunto convexo de -dimensiones dentroS,{\displaystyle S,}pero no unk+1{\displaystyle k+1}Conjunto convexo de -dimensiones dentroS.{\displaystyle S.} Por lo tanto, un punto extremo también es un0{\displaystyle 0}-punto extremo. SiS{\displaystyle S}es un politopo, entonces elk{\displaystyle k}-los puntos extremos son exactamente los puntos interiores de lak{\displaystyle k}-caras dimensionales deS.{\displaystyle S.} De manera más general, para cualquier conjunto convexoS,{\displaystyle S,}elk{\displaystyle k}-los puntos extremos se dividen enk{\displaystyle k}-caras abiertas dimensionales.

El teorema de Krein-Milman de dimensión finita, que se debe a Minkowski, se puede demostrar rápidamente utilizando el concepto dek{\displaystyle k}-puntos extremos. SiS{\displaystyle S}es cerrado, limitado ynorte{\displaystyle n}-dimensional, y sipag{\displaystyle p}es un punto enS,{\displaystyle S,}entoncespag{\displaystyle p}esk{\displaystyle k}-extremo para algunosk≤norte.{\displaystyle k\leq n.} El teorema afirma quepag{\displaystyle p}es una combinación convexa de puntos extremos. Sik=0{\displaystyle k=0}Entonces es inmediato. De lo contrariopag{\displaystyle p}se encuentra en un segmento de línea enS{\displaystyle S}que puede extenderse al máximo (porqueS{\displaystyle S}es cerrado y acotado). Si los extremos del segmento sonq{\displaystyle q}yr,{\displaystyle r,}entonces su rango extremo debe ser menor que el depag,{\displaystyle p,}y el teorema se deduce por inducción.

Véase también

Citas

  1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Narici y Beckenstein 2011 , págs. 275–339.
  2. 1 2 Grothendieck 1973 , pág. 186.
  3. 1 2 Artstein, Zvi (1980). " Espacios faciales y de bang-bang discretos  y continuos , o: Busque los puntos extremos". SIAM Review . 22 (2): 172– 185. doi : 10.1137/1022026 . JSTOR 2029960 . MR 0564562 .    
  4. ↑ Edgar GA. Un teorema de Choquet no compacto. Actas de la Sociedad Matemática Americana. 1975;49(2):354–8.
  5. 1 2 Halmos 1982 , pág. 5.

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