Formulación en el espacio de fases

La formulación del espacio de fases es una formulación de la mecánica cuántica que coloca las variables de posición y momento en igualdad de condiciones en el espacio de fases . Las dos características clave de la formulación del espacio de fases son que el estado cuántico se describe mediante una distribución de cuasiprobabilidad (en lugar de una función de onda , un vector de estado o una matriz de densidad ) y la multiplicación de operadores se reemplaza por un producto estrella .

La teoría fue desarrollada completamente por Hilbrand Groenewold en 1946 en su tesis doctoral, ^{[ 1 ]} e independientemente por Joe Moyal , ^{[ 2 ]} cada uno basándose en ideas anteriores de Hermann Weyl ^{[ 3 ]} y Eugene Wigner . ^{[ 4 ]}

A diferencia de la formulación en el espacio de fases, la imagen de Schrödinger utiliza las representaciones de posición o momento (véase también espacio de posición y momento ).

La principal ventaja de la formulación en el espacio de fases es que hace que la mecánica cuántica parezca lo más similar posible a la mecánica hamiltoniana al evitar el formalismo de operadores, "liberando" así la cuantización de la "carga" del espacio de Hilbert . ^{[ 5 ]} Esta formulación es de naturaleza estadística y ofrece conexiones lógicas entre la mecánica cuántica y la mecánica estadística clásica , lo que permite una comparación natural entre ambas (véase límite clásico ). La mecánica cuántica en el espacio de fases se prefiere a menudo en ciertas aplicaciones de óptica cuántica (véase espacio de fases óptico ), o en el estudio de la decoherencia y una serie de problemas técnicos especializados, aunque, por lo demás, el formalismo se emplea con menos frecuencia en situaciones prácticas. ^{[ 6 ]}

Las ideas conceptuales que subyacen al desarrollo de la mecánica cuántica en el espacio de fases se han ramificado en derivaciones matemáticas como la cuantización por deformación de Kontsevich (véase la fórmula de cuantización de Kontsevich ) y la geometría no conmutativa .

La distribución en el espacio de fases f ( x ,  p ) de un estado cuántico es una distribución de cuasiprobabilidad. En la formulación del espacio de fases, la distribución en el espacio de fases puede tratarse como la descripción fundamental y primitiva del sistema cuántico, sin ninguna referencia a funciones de onda o matrices de densidad. ^{[ 7 ]}

Hay varias formas diferentes de representar la distribución, todas interrelacionadas. ^{[ 8 ] [ 9 ]} La más notable es la representación de Wigner , W ( x ,  p ) , descubierta primero. ^{[ 4 ]} Otras representaciones (en orden aproximadamente descendente de prevalencia en la literatura) incluyen la P de Glauber-Sudarshan , ^{[ 10 ] [ 11 ]} la Q de Husimi , ^{[ 12 ]} las representaciones de Kirkwood-Rihaczek, Mehta, Rivier y Born-Jordan. ^{[ 13 ] [ 14 ]} Estas alternativas son más útiles cuando el hamiltoniano toma una forma particular, como el orden normal para la representación P de Glauber-Sudarshan. Dado que la representación de Wigner es la más común, este artículo generalmente se apegará a ella, a menos que se especifique lo contrario.

La distribución del espacio de fases posee propiedades similares a la densidad de probabilidad en un espacio de fases de 2n dimensiones . Por ejemplo, es de valor real , a diferencia de la función de onda, que generalmente es de valor complejo. Podemos comprender la probabilidad de estar dentro de un intervalo de posición, por ejemplo, integrando la función de Wigner sobre todos los momentos y sobre el intervalo de posición:

${\displaystyle \operatorname {P} [a\leq X\leq b]=\int _{a}^{b}\int _{-\infty }^{\infty }W(x,p)\,dp\,dx.}$

Si  ( x ,  p ) es un operador que representa un observable, puede mapearse al espacio de fases como A ( x , p ) a través de la transformada de Wigner . Recíprocamente, este operador puede recuperarse mediante la transformada de Weyl .

El valor esperado del observable con respecto a la distribución del espacio de fases es ^{[ 2 ] [ 15 ]}

${\displaystyle \langle {\hat {A}}\rangle =\int A(x,p)W(x,p)\,dp\,dx.}$

Sin embargo, cabe hacer una advertencia: a pesar de su apariencia similar, W ( x ,  p ) no es una distribución de probabilidad conjunta genuina , ya que las regiones que la componen no representan estados mutuamente excluyentes, como exige el tercer axioma de la teoría de la probabilidad . Además, en general, puede tomar valores negativos incluso para estados puros, con la única excepción de los estados coherentes (opcionalmente comprimidos ) , lo que contradice el primer axioma .

Se puede demostrar que las regiones con valores negativos son "pequeñas": no pueden extenderse a regiones compactas mayores que unas pocas ħ y, por lo tanto, desaparecen en el límite clásico . Están protegidas por el principio de incertidumbre , que no permite una localización precisa dentro de regiones del espacio de fases menores que ħ , lo que hace que dichas "probabilidades negativas" sean menos paradójicas. Si el lado izquierdo de la ecuación se interpreta como un valor esperado en el espacio de Hilbert con respecto a un operador, entonces, en el contexto de la óptica cuántica, esta ecuación se conoce como el teorema de equivalencia óptica . (Para obtener más detalles sobre las propiedades e interpretación de la función de Wigner, consulte su artículo principal ).

Un enfoque alternativo del espacio de fases para la mecánica cuántica busca definir una función de onda (no solo una densidad de cuasiprobabilidad) en el espacio de fases, típicamente mediante la transformada de Segal-Bargmann . Para ser compatible con el principio de incertidumbre, la función de onda del espacio de fases no puede ser una función arbitraria, ya que podría estar localizada en una región arbitrariamente pequeña del espacio de fases. En cambio, la transformada de Segal-Bargmann es una función holomorfa de${\displaystyle x+ip}$. Existe una densidad de cuasiprobabilidad asociada a la función de onda del espacio de fases; es la representación Q de Husimi de la función de onda de posición.

El operador binario no conmutativo fundamental en la formulación del espacio de fases que reemplaza la multiplicación de operadores estándar es el producto estrella , representado por el símbolo ★ . ^{[ 1 ]} Cada representación de la distribución del espacio de fases tiene un producto estrella característico diferente . Para mayor claridad, restringimos esta discusión al producto estrella relevante para la representación de Wigner-Weyl.

Para mayor comodidad notacional, introducimos la noción de derivadas izquierdas y derechas . Para un par de funciones f y g , las derivadas izquierdas y derechas se definen como

${\displaystyle {\begin{aligned}f{\overset {_{\gets }}{\partial }}_{x}g&=\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)g,\\f{\vec {\partial }}_{x}g&=f\left({\frac {\partial g}{\partial x}}\right).\end{aligned}}}$

La definición diferencial del producto estrella es

${\displaystyle f\star g=f\,\exp {\left({\frac {i\hbar }{2}}\left({\overset {_{\gets }}{\partial }}_{x}{\vec {\partial }}_{p}-{\overset {_{\gets }}{\partial }}_{p}{\vec {\partial }}_{x}\right)\right)}g,}$

donde el argumento de la función exponencial puede interpretarse como una serie de potencias . Relaciones diferenciales adicionales permiten escribir esto en términos de un cambio en los argumentos de f y g :

${\displaystyle {\begin{aligned}(f\star g)(x,p)&=f\left(x+{\tfrac {i\hbar }{2}}{\vec {\partial }}_{p},p-{\tfrac {i\hbar }{2}}{\vec {\partial }}_{x}\right)\cdot g(x,p)\\&=f(x,p)\cdot g\left(x-{\tfrac {i\hbar }{2}}{\overset {_{\gets }}{\partial }}_{p},p+{\tfrac {i\hbar }{2}}{\overset {_{\gets }}{\partial }}_{x}\right)\\&=f\left(x+{\tfrac {i\hbar }{2}}{\vec {\partial }}_{p},p\right)\cdot g\left(x-{\tfrac {i\hbar }{2}}{\overset {_{\gets }}{\partial }}_{p},p\right)\\&=f\left(x,p-{\tfrac {i\hbar }{2}}{\vec {\partial }}_{x}\right)\cdot g\left(x,p+{\tfrac {i\hbar }{2}}{\overset {_{\gets }}{\partial }}_{x}\right).\end{aligned}}}$

También es posible definir el ★ -producto en forma de integral de convolución, ^{[ 16 ]} esencialmente a través de la transformada de Fourier :

${\displaystyle (f\star g)(x,p)={\frac {1}{\pi ^{2}\hbar ^{2}}}\,\int f(x+x',p+p')\,g(x+x'',p+p'')\,\exp {\left({\tfrac {2i}{\hbar }}(x'p''-x''p')\right)}\,dx'dp'dx''dp''.}$

(Así, por ejemplo, ^{[ 7 ]} Las gaussianas se componen hiperbólicamente :

${\displaystyle \exp {\big (}{-a}(x^{2}+p^{2}){\big )}\star \exp {\big (}{-b}(x^{2}+p^{2}){\big )}={\frac {1}{1+\hbar ^{2}ab}}\exp \left(-{\frac {a+b}{1+\hbar ^{2}ab}}(x^{2}+p^{2})\right),}$

o

${\displaystyle \delta (x)\star \delta (p)={\frac {2}{h}}\exp \left(2i{\frac {xp}{\hbar }}\right),}$

etc.)

Las distribuciones de autoestados de energía se conocen como stargenstates, ★-genstates , stargenfunctions o ★-genfunctions , y las energías asociadas se conocen como stargenvalues ​​o ★ -genvalues . Estas se resuelven, de forma análoga a la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo , mediante la ecuación ★ -genvalue, ^{[ 17 ] [ 18 ]}

${\displaystyle H\star W=E\cdot W,}$

donde H es el hamiltoniano, una función simple del espacio de fases, que en la mayoría de los casos es idéntica al hamiltoniano clásico.

La evolución temporal de la distribución del espacio de fases viene dada por una modificación cuántica del flujo de Liouville . ^{[ 2 ] [ 9 ] [ 19 ]} Esta fórmula resulta de aplicar la transformación de Wigner a la versión de la matriz de densidad de la ecuación cuántica de Liouville , la ecuación de von Neumann .

En cualquier representación de la distribución del espacio de fases con su producto estrella asociado, esto es

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}=-{\frac {1}{i\hbar }}\left(f\star H-H\star f\right),}$

o, en particular para la función de Wigner,

${\displaystyle {\frac {\partial W}{\partial t}}=-\{\{W,H\}\}=-{\frac {2}{\hbar }}W\sin \left({\frac {\hbar }{2}}({\overset {_{\gets }}{\partial }}_{x}{\vec {\partial }}_{p}-{\overset {_{\gets }}{\partial }}_{p}{\vec {\partial }}_{x})\right)H=-\{W,H\}+O(\hbar ^{2}),}$

donde {{  ,  }} es el corchete de Moyal , la transformada de Wigner del conmutador cuántico, mientras que {  ,  } es el corchete de Poisson clásico . ^{[ 2 ]}

Esto proporciona una ilustración concisa del principio de correspondencia : esta ecuación se reduce manifiestamente a la ecuación clásica de Liouville en el límite ħ  →  0. Sin embargo, en la extensión cuántica del flujo, la densidad de puntos en el espacio de fases no se conserva ; el fluido de probabilidad aparece como "difusivo" y compresible. ^{[ 2 ]} El concepto de trayectoria cuántica es, por lo tanto, un tema delicado aquí. ^{[ 20 ]} Vea el vídeo del potencial de Morse, a continuación, para apreciar la no localidad del flujo de fase cuántico.

Nota: Dadas las restricciones que impone el principio de incertidumbre a la localización, Niels Bohr negó enérgicamente la existencia física de tales trayectorias a escala microscópica. Mediante trayectorias formales en el espacio de fases, el problema de la evolución temporal de la función de Wigner puede resolverse rigurosamente utilizando el método de la integral de trayectoria ^{[ 21 ]} y el método de las características cuánticas ^{[ 22 ]} , aunque existen importantes obstáculos prácticos en ambos casos.