Unidades atómicas

Las unidades atómicas son un sistema de unidades naturales de medida que resulta especialmente conveniente para los cálculos en física atómica y campos científicos relacionados, como la química computacional y la espectroscopia atómica . Fueron sugeridas y nombradas originalmente por el físico Douglas Hartree . ^[1] Las unidades atómicas suelen abreviarse "au" o "au", que no deben confundirse con abreviaturas similares utilizadas para unidades astronómicas , unidades arbitrarias y unidades de absorbancia en otros contextos.

En el contexto de la física atómica, el uso del sistema de unidades atómicas puede ser un atajo conveniente, eliminando símbolos y números innecesarios con órdenes de magnitud muy pequeños. Por ejemplo, el operador hamiltoniano en la ecuación de Schrödinger para el átomo de helio con cantidades estándar, como cuando se utilizan unidades del SI, es ^[2]

${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{\text{e}}}}\nabla _{1}^{2}-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{\text{e}}}}\nabla _{2}^{2}-{\frac {2e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r_{1}}}-{\frac {2e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r_{2}}}+{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r_{12}}},}$

pero al adoptar la convención asociada con las unidades atómicas que transforma las cantidades en equivalentes adimensionales , se convierte en

${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {1}{2}}\nabla _{1}^{2}-{\frac {1}{2}}\nabla _{2}^{2}-{\frac {2}{r_{1}}}-{\frac {2}{r_{2}}}+{\frac {1}{r_{12}}}.}$

En esta convención, las constantes ⁠ ⁠${\estilo de visualización \hbar}$ , ⁠ ⁠${\displaystyle m_{\text{e}}}$ , ⁠ ⁠${\displaystyle 4\pi \epsilon _{0}}$ , y ⁠ ⁠${\estilo de visualización e}$ corresponden todas al valor ⁠ ⁠${\estilo de visualización 1}$ (ver § Definición a continuación). Las distancias relevantes para la física expresadas en unidades SI son naturalmente del orden de ⁠ ⁠${\displaystyle 10^{-10}\,\mathrm {m} }$ , mientras que las distancias expresadas en unidades atómicas son del orden de ⁠ ⁠${\estilo de visualización 1a_{0}}$ (un radio de Bohr , la unidad atómica de longitud). Un beneficio adicional de expresar cantidades usando unidades atómicas es que sus valores calculados e informados en unidades atómicas no cambian cuando se revisan los valores de las constantes fundamentales. Las constantes fundamentales están integradas en los factores de conversión entre unidades atómicas y SI.

Hartree definió unidades basadas en tres constantes físicas: ^{[1] : 91}

Tanto para eliminar diversas constantes universales de las ecuaciones como para evitar altas potencias de 10 en el trabajo numérico, es conveniente expresar las cantidades en términos de unidades, que pueden llamarse "unidades atómicas", definidas de la siguiente manera:

Unidad de longitud , ⁠ ⁠${\displaystyle a_{\text{H}}=h^{2}\,/\,4\pi ^{2}me^{2}}$ , en la mecánica orbital el radio de la órbita circular de 1 cuanto del átomo de H con núcleo fijo.

Unidad de carga , ⁠ ⁠${\estilo de visualización e}$ , la magnitud de la carga del electrón.

Unidad de masa , ⁠ ⁠${\estilo de visualización m}$ , la masa del electrón.

En consonancia con estos son:

Unidad de acción , ⁠ ⁠${\displaystyle h\,/\,2\pi }$ .

Unidad de energía , ⁠ ⁠${\displaystyle e^{2}/a_{\text{H}}=2hcR=}$ [...]

Unidad de tiempo , ⁠ ⁠${\displaystyle 1\,/\,4\pi cR}$ .
 

—  DR Hartree, La mecánica ondulatoria de un átomo con un campo central distinto de Coulomb. Parte I. Teoría y métodos

Aquí, el equivalente moderno de ⁠ ⁠${\estilo de visualización R}$ es la constante de Rydberg ⁠ ⁠${\displaystyle R_{\infty}}$ , of ⁠ ⁠${\estilo de visualización m}$ es la masa del electrón ⁠ ⁠${\displaystyle m_{\text{e}}}$ , of ⁠ ⁠${\displaystyle a_{\text{H}}}$ es el radio de Bohr ⁠ ⁠$estilo de visualización a_{0}}$ , y of ⁠ ⁠${\estilo de visualización h/2\pi}$ es la constante de Planck reducida ⁠ ⁠${\estilo de visualización \hbar}$ . Las expresiones de Hartree que contienen ⁠ ⁠${\estilo de visualización e}$ difieren de la forma moderna debido a un cambio en la definición de ⁠ ⁠${\estilo de visualización e}$ , como se explica a continuación.

En 1957, el libro de Bethe y Salpeter Mecánica cuántica de átomos de uno y dos electrones ^[3] se basó en las unidades de Hartree, a las que llamaron unidades atómicas abreviadas como "au". Eligieron usar ⁠ ⁠${\estilo de visualización \hbar}$ , su unidad de acción y momento angular en lugar de la longitud de Hartree como unidades base. Observaron que la unidad de longitud en este sistema es el radio de la primera órbita de Bohr y su velocidad es la velocidad del electrón en el modelo de Bohr de la primera órbita.

En 1959, Shull y Hall ^[4] defendieron las unidades atómicas basadas en el modelo de Hartree, pero nuevamente optaron por utilizar ⁠ ⁠${\estilo de visualización \hbar}$ como unidad definitoria. Llamaron explícitamente a la unidad de distancia " radio de Bohr "; además, escribieron la unidad de energía como ⁠ ⁠${\displaystyle H=me^{4}/\hbar ^{2}}$ y la llamaron Hartree . Estos términos llegaron a usarse ampliamente en la química cuántica. ^{[5] : 349}

En 1973, McWeeny amplió el sistema de Shull y Hall añadiendo la permitividad en forma de ⁠ ⁠${\displaystyle \kappa _{0}=4\pi \epsilon _{0}}$ como unidad definitoria o base. ^{[6] [7]} Simultáneamente, adoptó la definición del SI de ⁠ ⁠${\estilo de visualización e}$ de modo que su expresión para la energía en unidades atómicas es ⁠ ⁠${\displaystyle e^{2}/(4\pi \epsilon _{0}a_{0})}$ , coincidiendo con la expresión del octavo folleto del SI. ^[8]

Un conjunto de unidades base en el sistema atómico como en una propuesta son la masa en reposo del electrón, la magnitud de la carga electrónica, la constante de Planck y la permitividad. ^{[6] [9]} En el sistema de unidades atómicas, cada una de estas toma el valor 1; los valores correspondientes en el Sistema Internacional de Unidades ^{[10] : 132} se dan en la tabla.

• ^  *:  Esta elección arbitraria de unidades base fue propuesta por McWeeny.
  
• ^  †:  Véase Análisis dimensional . W representa la dimensión de la energía, ML ² T ⁻² . ^[6]
  
• ^  ‡:  En la columna 'unidades atómicas', se ha aplicado la convención que utiliza equivalentes adimensionales.
  

Tres de las constantes definitorias (constante de Planck reducida, carga elemental y masa en reposo del electrón) son unidades atómicas en sí mismas: de acción , ^[15] carga eléctrica , ^[16] y masa , ^[17] respectivamente. Dos unidades nombradas son las de longitud ( radio de Bohr ⁠ ⁠${\displaystyle a_{0}\equiv 4\pi \epsilon _{0}\hbar ^{2}/m_{\text{e}}e^{2}}$ ) y energía ( hartree ⁠ ⁠${\displaystyle E_{\text{h}}\equiv \hbar ^{2}/m_{\text{e}}a_{0}^{2}}$ ).

Se adoptan diferentes convenciones en el uso de unidades atómicas, que varían en presentación, formalidad y conveniencia.

• Muchos textos (por ejemplo, Jerrard y McNiell, ^[7] Shull y Hall ^[4] ) definen las unidades atómicas como cantidades, sin una transformación de las ecuaciones en uso. Como tal, no sugieren tratar ninguna de las cantidades como adimensionales ni cambiar la forma de ninguna ecuación. Esto es coherente con la expresión de cantidades en términos de cantidades dimensionales, donde la unidad atómica se incluye explícitamente como un símbolo (por ejemplo, ⁠ ⁠${\displaystyle m=3.4~m_{\text{e}}}$ , ⁠ ⁠${\displaystyle m=3.4~{\text{a.u. of mass}}}$ , o más ambiguamente, ⁠ ⁠${\displaystyle m=3.4~{\text{a.u.}}}$ ), y mantener las ecuaciones inalteradas con constantes explícitas. ^[41]
• También se sugiere la posibilidad de elegir cantidades estrechamente relacionadas más convenientes que sean más adecuadas para el problema como unidades que las unidades fijas universales, por ejemplo, basándose en la masa reducida de un electrón, aunque con una definición cuidadosa de la misma cuando se utilice (por ejemplo, una unidad ⁠ ⁠${\displaystyle H_{M}=\mu e^{4}/\hbar ^{2}}$ , donde ⁠ ⁠${\displaystyle \mu =m_{\text{e}}M/(m_{\text{e}}+M)}$ para una masa específica ⁠ ⁠${\displaystyle M}$ ). ^[4]

En física atómica, es común simplificar expresiones matemáticas mediante una transformación de todas las cantidades:

• Hartree sugirió que la expresión en términos de unidades atómicas nos permite "eliminar varias constantes universales de las ecuaciones", lo que equivale informalmente a sugerir una transformación de cantidades y ecuaciones tal que todas las cantidades sean reemplazadas por cantidades adimensionales correspondientes. ^{[1] : 91} No profundiza más allá de los ejemplos.
• McWeeny sugiere que "... su adopción permite que todas las ecuaciones fundamentales se escriban en una forma adimensional en la que constantes como ⁠ ⁠${\displaystyle e}$ , ⁠ ⁠${\displaystyle m}$ y ⁠ ⁠${\displaystyle h}$ están ausentes y no necesitan ser consideradas en absoluto durante las derivaciones matemáticas o los procesos de solución numérica; las unidades en las que debe aparecer cualquier cantidad calculada están implícitas en sus dimensiones físicas y pueden proporcionarse al final". También afirma que "Una convención alternativa es interpretar los símbolos como las medidas numéricas de las cantidades que representan, referidas a algún sistema específico de unidades: en este caso, las ecuaciones contienen solo números puros o variables adimensionales; ... las unidades apropiadas se proporcionan al final de un cálculo, por referencia a las dimensiones físicas de la cantidad calculada. [Esta] convención tiene mucho que recomendar y es tácitamente aceptada en física atómica y molecular siempre que se introducen unidades atómicas, por ejemplo, por conveniencia en el cálculo".
• A menudo se adopta un enfoque informal, en el que "las ecuaciones se expresan en términos de unidades atómicas simplemente estableciendo ⁠ ⁠${\displaystyle \hbar =m_{\text{e}}=e=4\pi \epsilon _{0}=1}$ ". ^{[41] [42] [43]} Esta es una forma de abreviar el proceso más formal de transformación entre cantidades que sugieren otros, como McWeeny.

Las constantes físicas adimensionales conservan sus valores en cualquier sistema de unidades. Cabe destacar la constante de estructura fina ⁠ ⁠${\displaystyle \alpha ={e^{2}}/{(4\pi \epsilon _{0})\hbar c}\approx 1/137}$ , que aparece en expresiones como consecuencia de la elección de unidades. Por ejemplo, el valor numérico de la velocidad de la luz , expresado en unidades atómicas, es ⁠ ⁠ ${\displaystyle c=1/\alpha \,{\text{a.u.}}\approx 137\,{\text{a.u.}}}$^{[44] : 597}

Las unidades atómicas se eligen para reflejar las propiedades de los electrones en los átomos, lo que es particularmente claro en el modelo clásico de Bohr del átomo de hidrógeno para el electrón ligado en su estado fundamental :

• Masa = 1 au de masa
• Carga = −1 au de carga
• Radio orbital = 1 au de longitud
• Velocidad orbital = 1 au de velocidad ^{[44] : 597}
• Periodo orbital = 2 π au de tiempo
• Velocidad angular orbital = 1 radián por au de tiempo
• Momento orbital = 1 au de momento
• Energía de ionización = ⁠1/2⁠ au de energía
• Campo eléctrico (debido al núcleo) = 1 au de campo eléctrico
• Fuerza de Lorentz (debida al núcleo) = 1 au de fuerza