Teorema de equivalencia óptica

El teorema de equivalencia óptica en óptica cuántica afirma una equivalencia entre el valor esperado de un operador en el espacio de Hilbert y el valor esperado de su función asociada en la formulación del espacio de fases con respecto a una distribución de cuasiprobabilidad . El teorema fue presentado por primera vez por George Sudarshan en 1963 para operadores ordenados normalmente ^{[ 1 ]} y generalizado posteriormente en esa misma década a cualquier orden. ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}

Sea Ω un ordenamiento de los operadores de creación y aniquilación no conmutativos , y sea${\displaystyle g_{\Omega }({\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger })}$Sea Ω un operador que se puede expresar como una serie de potencias en los operadores de creación y aniquilación que satisface el ordenamiento Ω. Entonces, el teorema de equivalencia óptica se expresa sucintamente como

Aquí, α se entiende como el valor propio del operador de aniquilación en estados coherentes y se reemplaza formalmente en el desarrollo en serie de potencias de g . El lado izquierdo de la ecuación anterior es un valor esperado en el espacio de Hilbert, mientras que el lado derecho es un valor esperado con respecto a la distribución de cuasiprobabilidad.

Podemos escribir cada uno de estos explícitamente para mayor claridad.${\displaystyle {\hat {\rho }}}$sea ​​el operador de densidad y${\displaystyle {\bar {\Omega }}}$Sea el recíproco de ordenamiento de Ω. La distribución de cuasiprobabilidad asociada con Ω viene dada, entonces, al menos formalmente, por

${\displaystyle {\hat {\rho }}={\frac {1}{\pi }}\int f_{\bar {\Omega }}(\alpha ,\alpha ^{*})|\alpha \rangle \langle \alpha |\,d^{2}\alpha .}$

La ecuación enmarcada anteriormente se convierte en:

${\displaystyle \operatorname {tr} ({\hat {\rho }}\cdot g_{\Omega }({\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }))=\int f_{\bar {\Omega }}(\alpha ,\alpha ^{*})g_{\Omega }(\alpha ,\alpha ^{*})\,d^{2}\alpha .}$

Por ejemplo, sea Ω el orden normal . Esto significa que g se puede escribir en una serie de potencias de la siguiente forma:

${\displaystyle g_{N}({\hat {a}}^{\dagger },{\hat {a}})=\sum _{n,m}c_{nm}{\hat {a}}^{\dagger n}{\hat {a}}^{m}.}$

La distribución de cuasiprobabilidad asociada con el orden normal es la representación P de Glauber-Sudarshan . En estos términos, llegamos a

${\displaystyle \operatorname {tr} ({\hat {\rho }}\cdot g_{N}({\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }))=\int P(\alpha )g(\alpha ,\alpha ^{*})\,d^{2}\alpha .}$

Este teorema implica la equivalencia formal entre los valores esperados de los operadores ordenados normalmente en óptica cuántica y los números complejos correspondientes en óptica clásica.