Fórmula de cuantización de Kontsevich

En matemáticas, la fórmula de cuantización de Kontsevich describe cómo construir un álgebra de operadores de producto ★ generalizada a partir de una variedad de Poisson arbitraria de dimensión finita . Esta álgebra de operadores equivale a la cuantización por deformación del álgebra de Poisson correspondiente. Se debe a Maxim Kontsevich . ^[¹^]^[²^]

Cuantización por deformación de un álgebra de Poisson

Dada una álgebra de Poisson $(A, {\cdot, \cdot})$ , una cuantización de deformación es un producto unitario asociativo. $\star$ sobre el álgebra de series de potencias formales en $ħ, A [[ħ]]$ , sujeta a los dos axiomas siguientes,

{\begin{aligned}f\star g&=fg+{\mathcal {O}}(\hbar )\\{}[f,g]&=f\star gg\star f=i\hbar \{f,g\}+{\mathcal {O}}(\hbar ^{2})\end{aligned}}

Si se nos diera una variedad de Poisson $(M, {\cdot, \cdot})$ , podríamos preguntarnos, además, que

f\star g=fg+\sum _{k=1}^{\infty }\hbar ^{k}B_{k}(f\otimes g),

donde los $B k$ son operadores bidiferenciales lineales de grado como máximo $k$ .

Se dice que dos deformaciones son equivalentes si y solo si están relacionadas por una transformación de calibre del tipo,

{\begin{cases}D:A[[\hbar ]]\to A[[\hbar ]]\\\sum _{k=0}^{\infty }\hbar ^{k}f_{k}\mapsto \sum _{k=0}^{\infty }\hbar ^{k}f_{k}+\sum _{n\geq 1,k\geq 0}D_{n}(f_{k})\hbar ^{n+k}\end{casos}}

donde $D n$ son operadores diferenciales de orden como máximo $n$ . El correspondiente inducido $\star$ -producto, $\star '$ , entonces es

f\,{\star }'\,g=D\left(\left(D^{-1}f\right)\star \left(D^{-1}g\right)\right).

Como ejemplo arquetípico, bien se puede considerar el original "Moyal – Weyl" de Groenewold . $\star$ -producto .

Gráficos de Kontsevich

Un grafo de Kontsevich es un grafo dirigido simple sin bucles con 2 vértices externos, denominados f y g ; y $n$ vértices internos, denominados $Π$ . De cada vértice interno parten dos aristas. Todos los grafos (clases de equivalencia de) con $n$ vértices internos se acumulan en el conjunto $G n (2)$ .

Un ejemplo con dos vértices internos es el siguiente gráfico:

Operador bidiferencial asociado

A cada grafo $Γ$ se le asocia un operador bidiferencial $B Γ (f, g)$ definido de la siguiente manera: para cada arista, existe una derivada parcial sobre el símbolo del vértice de destino. Esta derivada se contrae con el índice correspondiente del símbolo de origen. El término para el grafo $Γ$ es el producto de todos sus símbolos junto con sus derivadas parciales. Aquí, f y g representan funciones suaves en la variedad, y $Π$ es el bivector de Poisson de la variedad de Poisson.

El término para el gráfico de ejemplo es

\Pi ^{i_{2}j_{2}}\partial _{i_{2}}\Pi ^{i_{1}j_{1}}\partial _{i_{1}}f\,\partial _{j_{1}}\partial _{j_{2}}g.

Peso asociado

Para sumar estos operadores bidiferenciales, están los pesos $w Γ$ del grafo $Γ$ . En primer lugar, a cada grafo se le asigna una multiplicidad $m (Γ)$ que cuenta cuántas configuraciones equivalentes existen para un grafo. La regla es que la suma de las multiplicidades para todos los grafos con $n$ vértices internos es $(n (n + 1)) n$ . El grafo de ejemplo anterior tiene una multiplicidad $m (Γ) = 8.$ Para ello, es útil enumerar los vértices internos del 1 al $n$ .

Para calcular el peso, debemos integrar productos del ángulo en el semiplano superior , H , de la siguiente manera. El semiplano superior es $\mathbb {C}$ , dotado de la métrica de Poincaré

ds^{2}={\frac {dx^{2}+dy^{2}}{y^{2}}};

y, para dos puntos $z, w \in H$ con $z \neq w$ , medimos el ángulo $φ$ entre la geodésica desde $z$ hasta $i \infty$ y desde $z$ hasta $w$ en sentido antihorario. Esto es

\phi (z,w)={\frac {1}{2i}}\log {\frac {(zw)(z-{\bar {w}})}{({\bar {z}}-w)({\bar {z}}-{\bar {w}})}}.

El dominio de integración es C _n ( H ) el espacio

C_{n}(H):=\{(u_{1},\dots ,u_{n})\in H^{n}:u_{i}\neq u_{j}\forall i\neq j\}.

Las cantidades de la fórmula

w_{\Gamma }:={\frac {m(\Gamma )}{(2\pi )^{2n}n!}}\int _{C_{n}(H)}\bigwedge _{j=1}^{n}\mathrm {d} \phi (u_{j},u_{t1(j)})\wedge \mathrm {d} \phi (u_ {j}, u_ {t2 (j)})

,

donde t 1( j ) y t 2( j ) son el primer y segundo vértice objetivo del vértice interno $j$ . Los vértices f y g están en las posiciones fijas 0 y 1 en $H$ .

La fórmula

Dadas las tres definiciones anteriores, la fórmula de Kontsevich para un producto estrella es ahora

f\star g=fg+\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {i\hbar }{2}}\right)^{n}\sum _{\Gamma \in G_{n}(2)}w_{\Gamma }B_{\Gamma }(f\otimes g).

Fórmula explícita hasta segundo orden

Imponer la asociatividad de la $\star$ -producto, es sencillo comprobar directamente que la fórmula de Kontsevich debe reducirse, a segundo orden en $ħ$ , a simplemente

{\begin{aligned}f\star g&=fg+{\tfrac {i\hbar }{2}}\Pi ^{ij}\partial _{i}f\,\partial _{j}g-{\tfrac {\hbar ^{2}}{8}}\Pi ^{i_{1}j_{1}}\Pi ^{i_{2}j_{2}}\partial _{i_{1}}\,\partial _{i_{2}}f\partial _{j_{1}}\,\partial _{j_{2}}g\\&-{\tfrac {\hbar ^{2}}{12}}\Pi ^{i_{1}j_{1}}\partial _{j_{1}}\Pi ^{i_{2}j_{2}}(\partial _{i_{1}}\partial _{i_{2}}f\,\partial _{j_{2}}g-\partial _{i_{2}}f\,\partial _{i_{1}}\partial _{j_{2}}g)+{\mathcal {O}}(\hbar ^{3})\end{aligned}}

Referencias

↑ M. Kontsevich (2003), Cuantización de deformación de variedades de Poisson , Letters of Mathematical Physics 66 , pp. 157 – 216.
↑ Cattaneo, Alberto ; Felder, Giovanni (2000). "Un enfoque de integral de trayectoria a la fórmula de cuantización de Kontsevich". Communications in Mathematical Physics . 212 (3): 591– 611. arXiv : math/9902090 . Bibcode : 2000CMaPh.212..591C . doi : 10.1007/s002200000229 . S2CID 8510811 .

[1] M. Kontsevich (2003), Cuantización de deformación de variedades de Poisson , Letters of Mathematical Physics 66 , pp. 157 – 216.

[2] Cattaneo, Alberto ; Felder, Giovanni (2000). "Un enfoque de integral de trayectoria a la fórmula de cuantización de Kontsevich". Communications in Mathematical Physics . 212 (3): 591– 611. arXiv : math/9902090 . Bibcode : 2000CMaPh.212..591C . doi : 10.1007/s002200000229 . S2CID 8510811 .

[

[