Casi seguro

En teoría de la probabilidad , se dice que un evento ocurre casi seguramente (a veces abreviado como as ) si ocurre con probabilidad 1 (con respecto a la medida de probabilidad). ^{[ 1 ]} En otras palabras, el conjunto de resultados en los que el evento no ocurre tiene probabilidad 0, aunque el conjunto podría no estar vacío. El concepto es análogo al concepto de " casi en todas partes " en la teoría de la medida . En experimentos de probabilidad en un espacio muestral finito con una probabilidad no nula para cada resultado, no hay diferencia entre casi seguramente y seguramente (ya que tener una probabilidad de 1 implica incluir todos los puntos de la muestra ); sin embargo, esta distinción se vuelve importante cuando el espacio muestral es un conjunto infinito , ^{[ 2 ]} porque un conjunto infinito puede tener subconjuntos no vacíos de probabilidad 0.

Algunos ejemplos del uso de este concepto incluyen las versiones fuerte y uniforme de la ley de los grandes números , la continuidad de las trayectorias del movimiento browniano y el teorema del mono infinito . También se utilizan los términos casi con certeza (ac) y casi siempre (aa). Casi nunca describe lo opuesto a casi con certeza : un evento que ocurre con probabilidad cero ocurre casi nunca . ^{[ 3 ]}

Definición formal

Dejar $(\Omega,{\mathcal {F}},P)$ ser un espacio de probabilidad . Un evento $E\in {\mathcal {F}}$ sucede casi con seguridad si $P(E)=1$ . De forma equivalente, $E$ sucede casi con seguridad si la probabilidad de $E$ no ocurrir es cero : $P(E^{C})=0$ . De manera más general, cualquier conjunto $E\subseteq \Omega$ (no necesariamente en ${\mathcal {F}}$ ) sucede casi con seguridad si $E^{C}$ está contenido en un conjunto nulo : un subconjunto $N$ en ${\mathcal {F}}$ de tal manera que $P(N)=0$ . ^{[ 4 ]} La noción de casi certeza depende de la medida de probabilidad $P$ . Si es necesario enfatizar esta dependencia, es costumbre decir que el evento $E$ ocurre P -casi con seguridad, o casi con seguridad $\left(\!P\right)$ .

Ejemplos ilustrativos

En general, un evento puede ocurrir "casi con seguridad", incluso si el espacio de probabilidad en cuestión incluye resultados que no pertenecen al evento, como ilustran los siguientes ejemplos.

Lanzar un dardo

Un ejemplo es la situación de lanzar un dardo a un cuadrado unitario (un cuadrado con un área de 1) de manera que el dardo siempre impacte en un punto exacto del cuadrado, de modo que cada punto tenga la misma probabilidad de ser alcanzado. Dado que el cuadrado tiene un área de 1, la probabilidad de que el dardo impacte en cualquier subregión del cuadrado es igual al área de esa subregión. Por ejemplo, la probabilidad de que el dardo impacte en la mitad derecha del cuadrado es 0,5, ya que la mitad derecha tiene un área de 0,5.

La probabilidad de que el dardo impacte exactamente en un punto de las diagonales del cuadrado unitario es 0, ya que el área de las diagonales del cuadrado es 0. Es decir, el dardo casi nunca caerá en una diagonal (o, lo que es lo mismo, casi con seguridad no caerá en una diagonal), aunque el conjunto de puntos en las diagonales no esté vacío, y un punto en una diagonal sea tan posible como cualquier otro punto.

Lanzar una moneda repetidamente

Otro ejemplo es lanzar una moneda (posiblemente trucada), lo que corresponde al espacio de probabilidad. $(\{H,T\},2^{\{H,T\}},P)$ donde el evento $\{H\}$ ocurre si se voltea una cabeza y $\{T\}$ si sale cruz. Para esta moneda en particular, se supone que la probabilidad de que salga cara es $P(H)=p\in (0,1)$ , de lo cual se deduce que el evento complementario, el de voltear una cruz, tiene probabilidad $P(T)=1-p$ .

Se realiza un experimento en el que se lanza una moneda repetidamente, con resultados $X_{1},X_{2},\ldots$ y la suposición de que el resultado de cada lanzamiento es independiente de todos los demás (es decir, son independientes e idénticamente distribuidos ; iid ).

En este caso, cualquier secuencia infinita de caras y cruces es un posible resultado del experimento. Sin embargo, cualquier secuencia infinita particular de caras y cruces tiene una probabilidad de 0 de ser el resultado exacto del experimento (infinito). Esto se debe a que la suposición i.i.d. implica que la probabilidad de obtener todas caras es 0. $n$ voltear es simplemente $P(X_{i}=H,\ i=1,2,\dots ,n)=\left(P(X_{1}=H)\right)^{n}=p^{n}$ Alquiler $n\rightarrow \infty$ produce 0, ya que $p\in (0,1)$ Por suposición. El resultado es el mismo sin importar cuánto se incline la moneda hacia cara, siempre y cuando $p$ está estrictamente entre 0 y 1. De hecho, el mismo resultado se mantiene incluso en análisis no estándar, donde se permiten probabilidades infinitesimales. ^{[ 5 ]}

Además, el evento "la secuencia de lanzamientos contiene al menos uno" $T$ "También sucederá casi con seguridad (es decir, con probabilidad 1). Si en lugar de un número infinito de lanzamientos, los lanzamientos se detienen después de un tiempo finito, digamos 1.000.000 de lanzamientos, entonces la probabilidad de obtener una secuencia de todas caras, $p^{1,000,000}$ , ya no sería 0, mientras que la probabilidad de obtener al menos una cruz, $1-p^{1,000,000}$ , ya no sería 1 (es decir, el evento ya no es casi seguro).

Asintóticamente casi seguro

En análisis asintótico , se dice que una propiedad se cumple asintóticamente casi seguramente (aas) si sobre una secuencia de conjuntos, la probabilidad converge a 1. Esto es equivalente a la convergencia en probabilidad . Por ejemplo, en teoría de números, un número grande es asintóticamente casi seguramente compuesto , por el teorema de los números primos ; y en teoría de grafos aleatorios , la afirmación " $G(n,p_{n})$ está conectado " (donde $G(n,p)$ denota los gráficos en $n$ vértices con probabilidad de arista $p$ ) es verdadero aas cuando, para algunos $\varepsilon >0$

p_{n}>{\frac {(1+\varepsilon )\ln n}{n}}.

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En teoría de números , esto se denomina " casi todos ", como en "casi todos los números son compuestos". De manera similar, en teoría de grafos, a veces se denomina "casi con seguridad". ^{[ 7 ]}

Véase también

Casi
Casi en todas partes , el concepto correspondiente en la teoría de la medida.
Convergencia de variables aleatorias , para "convergencia casi segura"
Con alta probabilidad
La regla de Cromwell , que establece que las probabilidades casi nunca deben fijarse en cero o uno.
Distribución degenerada , para "casi seguramente constante"
Teorema del mono infinito , un teorema que utiliza los términos antes mencionados.
Lista de jerga matemática

Notas

↑ Weisstein, Eric W. "Casi seguro" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 16 de noviembre de 2019 .
↑ "Casi seguro - Math Central" . mathcentral.uregina.ca . Consultado el 16 de noviembre de 2019 .
↑ Grädel, Erich; Kolaitis, Phokion G.; Libkin, Leonid ; Marx, Maarten; Spencer, Joel; Vardi, Moshe Y.; Venema, Yde; Weinstein, Scott (2007). Teoría de modelos finitos y sus aplicaciones . Springer. pág . 232. ISBN 978-3-540-00428-8.
^ Jacod, Jean; Protter (2004). Conceptos básicos de probabilidad . Saltador. pag. 37 . ISBN 978-3-540-438717.
↑ Williamson, Timothy (1 de julio de 2007). "¿Qué probabilidad hay de que salga una secuencia infinita de caras?" . Analysis . 67 (3): 173– 180. doi : 10.1093/analys/67.3.173 . ISSN 0003-2638 .
↑ Friedgut, Ehud; Rödl, Vojtech; Rucinski, Andrzej; Tetali, Prasad (enero de 2006). "Un umbral preciso para grafos aleatorios con un triángulo monocromático en cada coloración de aristas". Memoirs of the American Mathematical Society . 179 (845). Librería de la AMS: 3–4 . doi : 10.1090/memo/0845 . ISSN 0065-9266 . S2CID 9143933 .
↑ Spencer, Joel H. (2001). "0. Dos ejemplos iniciales" . La lógica extraña de los grafos aleatorios . Algoritmos y combinatoria. Vol. 22. Springer. pág. 4. ISBN 978-3540416548.

Referencias

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Williams, David (1991). Probabilidad con martingalas . Cambridge Mathematical Textbooks. Cambridge University Press. ISBN 978-0521406055.

[1] Weisstein, Eric W. "Casi seguro" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 16 de noviembre de 2019 .

[2] "Casi seguro - Math Central" . mathcentral.uregina.ca . Consultado el 16 de noviembre de 2019 .

[Gradel-3] Grädel, Erich; Kolaitis, Phokion G.; Libkin, Leonid ; Marx, Maarten; Spencer, Joel; Vardi, Moshe Y.; Venema, Yde; Weinstein, Scott (2007). Teoría de modelos finitos y sus aplicaciones . Springer. pág . 232. ISBN 978-3-540-00428-8.

[Jacod-4] Jacod, Jean; Protter (2004). Conceptos básicos de probabilidad . Saltador. pag. 37 . ISBN 978-3-540-438717.

[5] Williamson, Timothy (1 de julio de 2007). "¿Qué probabilidad hay de que salga una secuencia infinita de caras?" . Analysis . 67 (3): 173– 180. doi : 10.1093/analys/67.3.173 . ISSN 0003-2638 .

[RandGraph-6] Friedgut, Ehud; Rödl, Vojtech; Rucinski, Andrzej; Tetali, Prasad (enero de 2006). "Un umbral preciso para grafos aleatorios con un triángulo monocromático en cada coloración de aristas". Memoirs of the American Mathematical Society . 179 (845). Librería de la AMS: 3–4 . doi : 10.1090/memo/0845 . ISSN 0065-9266 . S2CID 9143933 .

[Springer-7] Spencer, Joel H. (2001). "0. Dos ejemplos iniciales" . La lógica extraña de los grafos aleatorios . Algoritmos y combinatoria. Vol. 22. Springer. pág. 4. ISBN 978-3540416548.

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