Convergencia de variables aleatorias

En teoría de la probabilidad , existen diversas nociones de convergencia de secuencias de variables aleatorias , como la convergencia en probabilidad , la convergencia en distribución y la convergencia casi segura . Estas nociones capturan distintas propiedades de la secuencia, siendo algunas más fuertes que otras. Por ejemplo, la convergencia en distribución nos informa sobre la distribución límite de una secuencia de variables aleatorias. Esta noción es menos precisa que la convergencia en probabilidad, que nos informa sobre el valor que tomará una variable aleatoria, en lugar de solo sobre su distribución.

Este concepto es importante en la teoría de la probabilidad y sus aplicaciones a la estadística y los procesos estocásticos . En matemáticas más generales, estos mismos conceptos se conocen como convergencia estocástica y formalizan la idea de que ciertas propiedades de una secuencia de eventos esencialmente aleatorios o impredecibles pueden, en ocasiones, estabilizarse en un comportamiento prácticamente invariable al estudiar elementos suficientemente avanzados en la secuencia. Las diferentes nociones posibles de convergencia se relacionan con la forma en que se puede caracterizar dicho comportamiento: dos comportamientos fácilmente comprensibles son que la secuencia finalmente alcance un valor constante y que los valores de la secuencia continúen cambiando, pero puedan describirse mediante una distribución de probabilidad invariable.

La "convergencia estocástica" formaliza la idea de que una secuencia de eventos esencialmente aleatorios o impredecibles a veces puede esperarse que se estabilice en un patrón. El patrón puede ser, por ejemplo,

• Convergencia en el sentido clásico hacia un valor fijo, que tal vez provenga de un evento aleatorio.
• Una creciente similitud de los resultados con lo que produciría una función puramente determinista.
• Una preferencia creciente por un resultado determinado
• Una creciente "aversión" a alejarse demasiado de un resultado determinado.
• Que la distribución de probabilidad que describe el siguiente resultado puede volverse cada vez más similar a una determinada distribución.

Algunos patrones menos obvios y más teóricos podrían ser

• Que la serie formada al calcular el valor esperado de la distancia del resultado a un valor particular puede converger a 0.
• Que la varianza de la variable aleatoria que describe el siguiente evento se hace cada vez más pequeña.

Estos otros tipos de patrones que pueden surgir se reflejan en los diferentes tipos de convergencia estocástica que se han estudiado.

Si bien la discusión anterior se ha relacionado con la convergencia de una sola serie a un valor límite, la noción de convergencia de dos series entre sí también es importante, pero esto se maneja fácilmente estudiando la sucesión definida como la diferencia o la razón de las dos series.

Por ejemplo, si el promedio de n variables aleatorias independientes , todas con la misma media y varianza finitas , está dado por ${\displaystyle Y_{i},\ i=1,\dots ,n}$

${\displaystyle X_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}Y_{i}\,,}$

Luego, cuando tiende a infinito, converge en probabilidad (véase más abajo) a la media común , , de las variables aleatorias . Este resultado se conoce como la ley débil de los grandes números . Otras formas de convergencia son importantes en otros teoremas útiles, incluido el teorema del límite central . ${\displaystyle n}$${\displaystyle X_{n}}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle Y_{i}}$

A lo largo de lo que sigue, asumimos que es una secuencia de variables aleatorias, y es una variable aleatoria, y que todas ellas están definidas en el mismo espacio de probabilidad . ${\displaystyle (X_{n})}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$

En términos generales, con este modo de convergencia, esperamos que el siguiente resultado en una secuencia de experimentos aleatorios se ajuste cada vez mejor a una distribución de probabilidad dada . Más precisamente, la distribución de la variable aleatoria asociada en la secuencia se aproxima arbitrariamente a una distribución fija específica.

La convergencia en distribución es la forma más débil de convergencia que se suele analizar, ya que está implícita en todos los demás tipos de convergencia mencionados en este artículo. Sin embargo, la convergencia en distribución se utiliza con mucha frecuencia en la práctica; generalmente surge de la aplicación del teorema del límite central .

Se dice que una secuencia de variables aleatorias de valor real , con funciones de distribución acumulativa , converge en distribución , o converge débilmente , o converge en ley a una variable aleatoria con función de distribución acumulativa si ${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots }$${\displaystyle F_{1},F_{2},\ldots }$${\displaystyle X}$${\displaystyle F}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }F_{n}(x)=F(x),}$

para cada número en el que es continuo . ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$${\displaystyle F}$

Es esencial el requisito de considerar únicamente los puntos de continuidad de . Por ejemplo, si se distribuyen uniformemente en intervalos , entonces esta secuencia converge en distribución a la variable aleatoria degenerada . En efecto, para todo cuando , y para todo cuando . Sin embargo, para esta variable aleatoria límite , aunque para todo . Por lo tanto, la convergencia de las funciones de distribución acumulada falla en el punto donde es discontinua. ${\displaystyle F}$${\displaystyle X_{n}}$${\displaystyle \left(0,{\frac {1}{n}}\right)}$${\displaystyle X=0}$${\displaystyle F_{n}(x)=0}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x\leq 0}$${\displaystyle F_{n}(x)=1}$${\displaystyle x\geq {\frac {1}{n}}}$${\displaystyle n>0}$${\displaystyle F(0)=1}$${\displaystyle F_{n}(0)=0}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle F}$

La convergencia en la distribución puede denotarse como

donde es la ley (distribución de probabilidad) de . Por ejemplo, si es normal estándar podemos escribir . ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {L}}_{X}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X_{n}\,{\xrightarrow {d}}\,{\mathcal {N}}(0,\,1)}$

Para vectores aleatorios, la convergencia en distribución se define de manera similar. Decimos que esta sucesión converge en distribución a un vector aleatorio si ${\displaystyle \left\{X_{1},X_{2},\dots \right\}\subset \mathbb {R} ^{k}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mathbb {P} (X_{n}\in A)=\mathbb {P} (X\in A)}$

para cada uno que sea un conjunto de continuidad de . ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} ^{k}}$${\displaystyle X}$

La definición de convergencia en distribución puede extenderse desde vectores aleatorios a elementos aleatorios más generales en espacios métricos arbitrarios , e incluso a las “variables aleatorias” que no son medibles, situación que se presenta, por ejemplo, en el estudio de procesos empíricos . Esta es la “convergencia débil de leyes sin que se definan leyes”, excepto asintóticamente. ^{[ 1 ]}

En este caso, el término convergencia débil es preferible (véase convergencia débil de medidas ), y decimos que una sucesión de elementos aleatorios converge débilmente a (denotado como ) si ${\displaystyle (X_{n})_{n}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X_{n}\Rightarrow X}$

${\displaystyle \mathbb {E} ^{*}h(X_{n})\to \mathbb {E} \,h(X)}$

para todas las funciones continuas acotadas . ^{[ 2 ]} Aquí denota la esperanza externa , es decir, la esperanza de una “función medible más pequeña que domina ”. ${\displaystyle h}$${\displaystyle E^{*}}$${\displaystyle g}$${\displaystyle h(X_{n})}$

• Dado que , la convergencia en la distribución significa que la probabilidad de que esté en un rango dado es aproximadamente igual a la probabilidad de que el valor de esté en ese rango, siempre que sea suficientemente grande .${\displaystyle F(a)=\mathbb {P} (X\leq a)}$${\displaystyle X_{n}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle n}$
• En general, la convergencia en distribución no implica que la secuencia de funciones de densidad de probabilidad correspondientes también converja. Como ejemplo, se pueden considerar variables aleatorias con densidades . Estas variables aleatorias convergen en distribución a una distribución uniforme , mientras que sus densidades no convergen en absoluto. ^{[ 3 ]}${\displaystyle f_{n}(x)=(1+\cos(2\pi nx))\mathbf {1} _{(0,1)}}$${\displaystyle U(0,1)}$
  • Sin embargo, según el teorema de Scheffé , la convergencia de las funciones de densidad de probabilidad implica la convergencia en la distribución. ^{[ 4 ]}
• El lema de la palabra compuesta proporciona varias definiciones equivalentes de convergencia en distribución. Aunque estas definiciones son menos intuitivas, se utilizan para demostrar varios teoremas estadísticos. El lema establece que converge en distribución a si y solo si se cumple alguna de las siguientes afirmaciones: ^{[ 5 ]}${\displaystyle (X_{n})_{n}}$${\displaystyle X}$
  • ${\displaystyle \mathbb {P} (X_{n}\leq x)\to \mathbb {P} (X\leq x)}$para todos los puntos de continuidad de ;${\displaystyle x\mapsto \mathbb {P} (X\leq x)}$
  • ${\displaystyle \mathbb {E} f(X_{n})\to \mathbb {E} f(X)}$para todas las funciones acotadas y continuas (donde denota el operador de valor esperado );${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathbb {E} }$
  • ${\displaystyle \mathbb {E} f(X_{n})\to \mathbb {E} f(X)}$para todas las funciones acotadas de Lipschitz ;${\displaystyle f}$
  • ${\displaystyle \lim \inf \mathbb {E} f(X_{n})\geq \mathbb {E} f(X)}$para todas las funciones continuas no negativas ;${\displaystyle f}$
  • ${\displaystyle \lim \inf \mathbb {P} (X_{n}\in G)\geq \mathbb {P} (X\in G)}$para cada conjunto abierto ;${\displaystyle G}$
  • ${\displaystyle \lim \sup \mathbb {P} (X_{n}\in F)\leq \mathbb {P} (X\in F)}$para cada conjunto cerrado ;${\displaystyle F}$
  • ${\displaystyle \mathbb {P} (X_{n}\in B)\to \mathbb {P} (X\in B)}$para todos los conjuntos de continuidad de la variable aleatoria ;${\displaystyle B}$${\displaystyle X}$
  • ${\displaystyle \limsup \mathbb {E} f(X_{n})\leq \mathbb {E} f(X)}$para toda función semicontinua superior acotada superiormente;${\displaystyle f}$
  • ${\displaystyle \liminf \mathbb {E} f(X_{n})\geq \mathbb {E} f(X)}$para toda función semicontinua inferior acotada inferiormente.${\displaystyle f}$
• El teorema de la aplicación continua establece que para una función continua , si la sucesión converge en distribución a , entonces converge en distribución a . ${\displaystyle g}$${\displaystyle (X_{n})_{n}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (g(X_{n}))_{n}}$${\displaystyle g(X)}$
  • Sin embargo, tenga en cuenta que la convergencia en la distribución de a y a generalmente no implica convergencia en la distribución de a o de a .${\displaystyle (X_{n})_{n}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (Y_{n})_{n}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle (X_{n}+Y_{n})_{n}}$${\displaystyle X+Y}$${\displaystyle (X_{n}Y_{n})_{n}}$${\displaystyle XY}$
• Teorema de continuidad de Lévy : La sucesión converge en distribución a si y solo si la sucesión de funciones características correspondientes converge puntualmente a la función característica de .${\displaystyle (X_{n})_{n}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (\varphi _{n})_{n}}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle X}$
• La convergencia en la distribución es metrizable mediante la métrica de Lévy-Prokhorov .
• Un vínculo natural con la convergencia en la distribución es el teorema de representación de Skorokhod .

La idea básica que subyace a este tipo de convergencia es que la probabilidad de un resultado "inusual" se vuelve cada vez más pequeña a medida que avanza la secuencia.

El concepto de convergencia en probabilidad se utiliza con frecuencia en estadística. Por ejemplo, un estimador se considera consistente si converge en probabilidad a la cantidad que se está estimando. La convergencia en probabilidad es también el tipo de convergencia que establece la ley débil de los grandes números .

Una secuencia de variables aleatorias converge en probabilidad hacia la variable aleatoria si para todo${\displaystyle (X_{n})_{n}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \varepsilon >0}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mathbb {P} {\big (}|X_{n}-X|>\varepsilon {\big )}=0.}$

Más explícitamente, sea la probabilidad de que esté fuera de la bola de radio centrada en . Entonces se dice que converge en probabilidad a si para cualquier y cualquier existe un número (que puede depender de y ) tal que para todo , (la definición de límite). ${\displaystyle P_{n}(\varepsilon )}$${\displaystyle X_{n}}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle X}$${\displaystyle (X_{n})_{n}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle n\geq N}$${\displaystyle P_{n}(\varepsilon )\leq \delta }$

Nótese que para que se cumpla la condición, no es posible que para cada una de las variables aleatorias y sean independientes (y, por lo tanto, la convergencia en probabilidad es una condición sobre las funciones de distribución acumulada conjuntas, a diferencia de la convergencia en distribución, que es una condición sobre las funciones de distribución acumulada individuales), a menos que sea determinista como en el caso de la ley débil de los grandes números. Al mismo tiempo, el caso de una variable determinista no puede, cuando el valor determinista es un punto de discontinuidad (no aislado), ser manejado por la convergencia en distribución, donde los puntos de discontinuidad deben excluirse explícitamente. ${\displaystyle n}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (X_{n})_{n}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

La convergencia en probabilidad se indica añadiendo la letra sobre una flecha que señala la convergencia, o utilizando el operador de límite de probabilidad "plim": ${\displaystyle p}$

Para elementos aleatorios en un espacio métrico separable , la convergencia en probabilidad se define de manera similar por ^{[ 6 ].}${\displaystyle (X_{n})_{n}}$${\displaystyle (S,d)}$

${\displaystyle \forall \varepsilon >0,\mathbb {P} {\big (}d(X_{n},X)\geq \varepsilon {\big )}\to 0.}$

• La convergencia en probabilidad implica la convergencia en distribución. ^[prueba]
• En sentido contrario, la convergencia en la distribución implica la convergencia en la probabilidad cuando la variable aleatoria límite X es una constante. ^{[demostración]}
• La convergencia en probabilidad no implica una convergencia casi segura. ^[prueba]
• El teorema de la aplicación continua establece que para toda función continua , si , entonces también .${\displaystyle g}$${\textstyle X_{n}\xrightarrow {p} X}$${\textstyle g(X_{n})\xrightarrow {p} g(X)}$
• La convergencia en probabilidad define una topología en el espacio de variables aleatorias sobre un espacio de probabilidad fijo. Esta topología es metrizable mediante la métrica de Ky Fan : ^{[ 7 ]} o alternativamente mediante esta métrica.$${\displaystyle d(X,Y)=\inf \!{\big \{}\varepsilon >0:\ \mathbb {P} {\big (}|X-Y|>\varepsilon {\big )}\leq \varepsilon {\big \}}}$$$${\displaystyle d(X,Y)=\mathbb {E} \left[\min(|X-Y|,1)\right].}$$

No toda secuencia de variables aleatorias que converge a otra variable aleatoria en distribución también converge en probabilidad a esa variable aleatoria. Como ejemplo, consideremos una secuencia de variables aleatorias normales estándar y una segunda secuencia . Nótese que la distribución de es igual a la distribución de para todo , pero: ${\displaystyle X_{n}}$${\displaystyle Y_{n}=(-1)^{n}X_{n}}$${\displaystyle Y_{n}}$${\displaystyle X_{n}}$${\displaystyle n}$$${\displaystyle P(|X_{n}-Y_{n}|\geq \epsilon )=P(|X_{n}|\cdot |(1-(-1)^{n})|\geq \epsilon )}$$

lo cual no converge a . Por lo tanto, no tenemos convergencia en probabilidad. ${\displaystyle 0}$

Este es el tipo de convergencia estocástica que es más similar a la convergencia puntual conocida del análisis real elemental .

Decir que la sucesión X _n converge casi con seguridad o casi en todas partes o con probabilidad 1 o fuertemente hacia significa que ${\displaystyle X}$$${\displaystyle \mathbb {P} \!\left(\lim _{n\to \infty }\!X_{n}=X\right)=1.}$$

Esto significa que los valores de se aproximan al valor de , en el sentido de que los eventos para los cuales no converge a tienen probabilidad (véase Casi seguramente ). Usando el espacio de probabilidad y el concepto de la variable aleatoria como una función de a , esto es equivalente a la afirmación ${\displaystyle X_{n}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X_{n}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \mathbb {R} }$$${\displaystyle \mathbb {P} {\Bigl (}\omega \in \Omega :\lim _{n\to \infty }X_{n}(\omega )=X(\omega ){\Bigr )}=1.}$$

Utilizando la noción del límite superior de una sucesión de conjuntos , la convergencia casi segura también puede definirse de la siguiente manera: $${\displaystyle \mathbb {P} {\Bigl (}\limsup _{n\to \infty }{\bigl \{}\omega \in \Omega :|X_{n}(\omega )-X(\omega )|>\varepsilon {\bigr \}}{\Bigr )}=0\quad {\text{for all}}\quad \varepsilon >0.}$$

Casi seguro que la convergencia se suele indicar añadiendo las letras " as" sobre una flecha que indica convergencia:

Para elementos aleatorios genéricos en un espacio métrico , la convergencia casi con seguridad se define de manera similar: ${\displaystyle (X_{n})_{n}}$${\displaystyle (S,d)}$$${\displaystyle \mathbb {P} {\Bigl (}\omega \in \Omega \colon \,d{\big (}X_{n}(\omega ),X(\omega ){\big )}\,{\underset {n\to \infty }{\longrightarrow }}\,0{\Bigr )}=1}$$

• La convergencia casi segura implica convergencia en probabilidad (según el lema de Fatou ) y, por lo tanto, implica convergencia en distribución. Es la noción de convergencia utilizada en la ley fuerte de los grandes números .
• El concepto de convergencia casi segura no proviene de una topología en el espacio de variables aleatorias. Esto significa que no existe ninguna topología en el espacio de variables aleatorias tal que las secuencias casi seguramente convergentes sean exactamente las secuencias convergentes con respecto a dicha topología. En particular, no existe una métrica de convergencia casi segura.

Consideremos una secuencia de variables aleatorias independientes tales que y . Para todo tenemos que converge a 0. Por lo tanto, en probabilidad. ${\displaystyle \{X_{n}\}}$${\displaystyle \textstyle \mathbb {P} (X_{n}=1)={\frac {1}{n}}}$${\displaystyle \textstyle \mathbb {P} (X_{n}=0)=1-{\frac {1}{n}}}$${\displaystyle \varepsilon >0,}$${\displaystyle \textstyle \mathbb {P} (|X_{n}|\geq \varepsilon )={\frac {1}{n}},}$${\displaystyle X_{n}\to 0}$

Dado que y los eventos son independientes, el segundo lema de Borel-Cantelli garantiza que Por lo tanto, la secuencia no converge a 0 en casi todas partes (de hecho, el conjunto en el que esta secuencia no converge a 0 tiene probabilidad 1). ${\displaystyle \textstyle \sum _{n\geq 1}\mathbb {P} (X_{n}=1)=+\infty }$${\displaystyle \{X_{n}=1\}}$${\displaystyle \textstyle \mathbb {P} (\limsup _{n}\{X_{n}=1\})=1.}$${\displaystyle \{X_{n}\}}$

Decir que la secuencia de variables aleatorias definidas sobre el mismo espacio de probabilidad (es decir, un proceso aleatorio ) converge de forma segura , en todas partes o puntualmente hacia X significa ${\displaystyle (X_{n})_{n}}$

$${\displaystyle \forall \omega \in \Omega \colon \ \lim _{n\to \infty }X_{n}(\omega )=X(\omega ),}$$

donde es el espacio muestral del espacio de probabilidad subyacente sobre el cual se definen las variables aleatorias. ${\displaystyle \Omega }$

Esta es la noción de convergencia puntual de una secuencia de funciones extendida a una secuencia de variables aleatorias . (Nótese que las variables aleatorias son, a su vez, funciones).

$${\displaystyle \left\{\omega \in \Omega :\lim _{n\to \infty }X_{n}(\omega )=X(\omega )\right\}=\Omega .}$$

La convergencia segura de una variable aleatoria implica todos los demás tipos de convergencia mencionados anteriormente, pero en teoría de la probabilidad no hay ninguna ventaja en usar la convergencia segura en comparación con la convergencia casi segura. La diferencia entre ambas solo existe en conjuntos con probabilidad cero. Por eso, el concepto de convergencia segura de variables aleatorias se usa muy raramente.

Dado un número real , decimos que la sucesión converge en la media -ésima (o en la norma L ^r ) hacia la variable aleatoria , si existen los momentos absolutos -ésimos y de X _n y , y${\displaystyle r\geq 1}$${\displaystyle (X_{n})_{n}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle X}$${\displaystyle r}$${\displaystyle \mathbb {E} (|X_{n}|^{r})}$${\displaystyle \mathbb {E} (|X|^{r})}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mathbb {E} \left(|X_{n}-X|^{r}\right)=0,}$

donde el operador denota el valor esperado . La convergencia en la media -ésima nos dice que la esperanza de la -ésima potencia de la diferencia entre y converge a cero. ${\displaystyle \mathbb {E} }$${\displaystyle r}$${\displaystyle r}$${\displaystyle X_{n}}$${\displaystyle X}$

Este tipo de convergencia se suele indicar añadiendo la letra sobre una flecha que señala la convergencia: ${\displaystyle L^{r}}$

Los casos más importantes de convergencia en la media -ésima son: ${\displaystyle r}$

• Cuando converge en -ésimo significa a para , decimos que converge en significa a .${\displaystyle X_{n}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle X}$${\displaystyle r=1}$${\displaystyle X_{n}}$${\displaystyle X}$
• Cuando converge en media -ésima a para , decimos que converge en media cuadrática (o en media cuadrática ) a .${\displaystyle X_{n}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle X}$${\displaystyle r=2}$${\displaystyle X_{n}}$${\displaystyle X}$

La convergencia en la -ésima media, para , implica convergencia en probabilidad (por desigualdad de Markov ). Además, si , la convergencia en la -ésima media implica convergencia en la -ésima media. Por lo tanto, la convergencia en la media cuadrática implica convergencia en la media. ${\displaystyle r}$${\displaystyle r\geq 1}$${\displaystyle r>s\geq 1}$${\displaystyle r}$${\displaystyle s}$

Además,

${\displaystyle {\overset {}{X_{n}\xrightarrow {L^{r}} X}}\quad \Rightarrow \quad \lim _{n\to \infty }\mathbb {E} [|X_{n}|^{r}]=\mathbb {E} [|X|^{r}].}$

Lo contrario no es necesariamente cierto, sin embargo, es cierto si (por una versión más general del lema de Scheffé ). ${\displaystyle {\overset {}{X_{n}\,\xrightarrow {p} \,X}}}$

Siempre que el espacio de probabilidad sea completo :

• Si y , entonces casi con seguridad .${\displaystyle X_{n}\ {\xrightarrow {\overset {}{p}}}\ X}$${\displaystyle X_{n}\ {\xrightarrow {\overset {}{p}}}\ Y}$${\displaystyle X=Y}$
• Si y , entonces casi con seguridad.${\displaystyle X_{n}\ {\xrightarrow {\overset {}{\text{a.s.}}}}\ X}$${\displaystyle X_{n}\ {\xrightarrow {\overset {}{\text{a.s.}}}}\ Y}$${\displaystyle X=Y}$
• Si y , entonces casi con seguridad.${\displaystyle X_{n}\ {\xrightarrow {\overset {}{L^{r}}}}\ X}$${\displaystyle X_{n}\ {\xrightarrow {\overset {}{L^{r}}}}\ Y}$${\displaystyle X=Y}$
• Si y , entonces (para cualesquiera números reales y ) y .${\displaystyle X_{n}\ {\xrightarrow {\overset {}{p}}}\ X}$${\displaystyle Y_{n}\ {\xrightarrow {\overset {}{p}}}\ Y}$${\displaystyle aX_{n}+bY_{n}\ {\xrightarrow {\overset {}{p}}}\ aX+bY}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle X_{n}Y_{n}{\xrightarrow {\overset {}{p}}}\ XY}$
• Si y , entonces (para cualesquiera números reales y y .${\displaystyle X_{n}\ {\xrightarrow {\overset {}{\text{a.s.}}}}\ X}$${\displaystyle Y_{n}\ {\xrightarrow {\overset {}{\text{a.s.}}}}\ Y}$${\displaystyle aX_{n}+bY_{n}\ {\xrightarrow {\overset {}{\text{a.s.}}}}\ aX+bY}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle X_{n}Y_{n}{\xrightarrow {\overset {}{\text{a.s.}}}}\ XY}$
• Si y , entonces (para cualesquiera números reales y ).${\displaystyle X_{n}\ {\xrightarrow {\overset {}{L^{r}}}}\ X}$${\displaystyle Y_{n}\ {\xrightarrow {\overset {}{L^{r}}}}\ Y}$${\displaystyle aX_{n}+bY_{n}\ {\xrightarrow {\overset {}{L^{r}}}}\ aX+bY}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$
• Ninguna de las afirmaciones anteriores es cierta para la convergencia en la distribución.

La cadena de implicaciones entre las diversas nociones de convergencia se señala en sus respectivas secciones. Son, utilizando la notación de flechas:

${\displaystyle {\begin{matrix}{\xrightarrow {\overset {}{L^{s}}}}&{\underset {s>r\geq 1}{\Rightarrow }}&{\xrightarrow {\overset {}{L^{r}}}}&&\\&&\Downarrow &&\\{\xrightarrow {\text{a.s.}}}&\Rightarrow &{\xrightarrow {p}}&\Rightarrow &{\xrightarrow {d}}\end{matrix}}}$

Estas propiedades, junto con otros casos especiales, se resumen en la siguiente lista:

• La convergencia casi segura implica convergencia en probabilidad: ^{[ 8 ] [prueba]}

  ${\displaystyle X_{n}\ {\xrightarrow {\text{a.s.}}}\ X\quad \Rightarrow \quad X_{n}\ {\xrightarrow {\overset {}{p}}}\ X}$

• La convergencia en probabilidad implica que existe una subsecuencia que converge casi con seguridad: ^{[ 9 ]}${\displaystyle (n_{k})}$

  ${\displaystyle X_{n}\ \xrightarrow {\overset {}{p}} \ X\quad \Rightarrow \quad X_{n_{k}}\ \xrightarrow {\text{a.s.}} \ X}$

• La convergencia en probabilidad implica convergencia en distribución: ^{[ 8 ] [prueba]}

  ${\displaystyle X_{n}\ {\xrightarrow {\overset {}{p}}}\ X\quad \Rightarrow \quad X_{n}\ {\xrightarrow {\overset {}{d}}}\ X}$

• La convergencia en la media de orden -ésimo implica convergencia en probabilidad: ${\displaystyle r}$

  ${\displaystyle X_{n}\ {\xrightarrow {\overset {}{L^{r}}}}\ X\quad \Rightarrow \quad X_{n}\ {\xrightarrow {\overset {}{p}}}\ X}$

• La convergencia en la media de orden -ésimo implica la convergencia en la media de orden inferior, suponiendo que ambos órdenes sean mayores o iguales que uno: ${\displaystyle r}$

  ${\displaystyle X_{n}\ {\xrightarrow {\overset {}{L^{r}}}}\ X\quad \Rightarrow \quad X_{n}\ {\xrightarrow {\overset {}{L^{s}}}}\ X,}$proporcionó .${\displaystyle r\geq s\geq 1}$

• Si converge en distribución a una constante , entonces converge en probabilidad a : ^{[ 8 ] [prueba]}${\displaystyle X_{n}}$${\displaystyle c}$${\displaystyle X_{n}}$${\displaystyle c}$

  ${\displaystyle X_{n}\ {\xrightarrow {\overset {}{d}}}\ c\quad \Rightarrow \quad X_{n}\ {\xrightarrow {\overset {}{p}}}\ c,}$proporcionado es una constante.${\displaystyle c}$

• Si converge en distribución a y la diferencia entre y converge en probabilidad a cero, entonces también converge en distribución a : ^{[ 8 ] [prueba]}${\displaystyle X_{n}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X_{n}}$${\displaystyle Y_{n}}$${\displaystyle Y_{n}}$${\displaystyle X}$

  ${\displaystyle X_{n}\ {\xrightarrow {\overset {}{d}}}\ X,\ \ |X_{n}-Y_{n}|\ {\xrightarrow {\overset {}{p}}}\ 0\ \quad \Rightarrow \quad Y_{n}\ {\xrightarrow {\overset {}{d}}}\ X}$

• Si converge en distribución a y ' converge en distribución a una constante , entonces el vector conjunto converge en distribución a : ^{[ 8 ] [prueba]}${\displaystyle X_{n}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y_{n}}$${\displaystyle c}$${\displaystyle (X_{n},Y_{n})}$${\displaystyle (X,c)}$

  ${\displaystyle X_{n}\ {\xrightarrow {\overset {}{d}}}\ X,\ \ Y_{n}\ {\xrightarrow {\overset {}{d}}}\ c\ \quad \Rightarrow \quad (X_{n},Y_{n})\ {\xrightarrow {\overset {}{d}}}\ (X,c)}$siempre que c sea una constante.

  Nótese que la condición de que converja a una constante es importante; si convergiera a una variable aleatoria, no podríamos concluir que converge a ⁠ ⁠ .${\displaystyle Y_{n}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle (X_{n},Y_{n})}$${\displaystyle (X,Y)}$

• Si converge en probabilidad a y converge en probabilidad a , entonces el vector conjunto converge en probabilidad a : ^{[ 8 ] [prueba]}${\displaystyle X_{n}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y_{n}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle (X_{n},Y_{n})}$${\displaystyle (X,Y)}$

  ${\displaystyle X_{n}\ {\xrightarrow {\overset {}{p}}}\ X,\ \ Y_{n}\ {\xrightarrow {\overset {}{p}}}\ Y\ \quad \Rightarrow \quad (X_{n},Y_{n})\ {\xrightarrow {\overset {}{p}}}\ (X,Y)}$

• Si converge en probabilidad a , y si para todo y algún , entonces converge en la media -ésima a para todo . En otras palabras, si converge en probabilidad a y todas las variables aleatorias están casi seguramente acotadas superior e inferiormente, entonces también converge a en cualquier media -ésima. ^{[ 10 ]}${\displaystyle X_{n}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {P} (|X_{n}|\leq b)=1}$${\displaystyle n}$${\displaystyle b}$${\displaystyle X_{n}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle X}$${\displaystyle r\geq 1}$${\displaystyle X_{n}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X_{n}}$${\displaystyle X_{n}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle r}$
• Representación casi segura . Por lo general, la convergencia en distribución no implica convergencia casi segura. Sin embargo, para una sucesión dada que converge en distribución a siempre es posible encontrar un nuevo espacio de probabilidad y variables aleatorias definidas en él tales que sea igual en distribución a para cada , y converja a casi segura. ^{[ 11 ] [ 12 ]}${\displaystyle (X_{n})_{n}}$${\displaystyle X_{0}}$${\displaystyle (\Omega ,F,\mathbb {P} )}$${\displaystyle (Y_{n})_{n}}$${\displaystyle Y_{n}}$${\displaystyle X_{n}}$${\displaystyle n\geq 0}$${\displaystyle Y_{n}}$${\displaystyle Y_{0}}$
• Si para todos , ${\displaystyle \varepsilon >0}$

  ${\displaystyle \sum _{n}\mathbb {P} \left(|X_{n}-X|>\varepsilon \right)<\infty ,}$

  Entonces decimos que converge casi completamente , o casi en probabilidad hacia . Cuando converge casi completamente hacia , entonces también converge casi seguramente a . En otras palabras, si converge en probabilidad a suficientemente rápido (es decir, la secuencia anterior de probabilidades de cola es sumable para todo ), entonces también converge casi seguramente a . Esta es una implicación directa del lema de Borel-Cantelli .${\displaystyle X_{n}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X_{n}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X_{n}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle X_{n}}$${\displaystyle X}$

• Si es una suma de variables aleatorias reales independientes: ${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle n}$

  ${\displaystyle S_{n}=X_{1}+\cdots +X_{n}\,}$

  entonces converge casi con seguridad si y solo si converge en probabilidad. La demostración se puede encontrar en la página 126 (Teorema 5.3.4) del libro de Kai Lai Chung . ^{[ 13 ]}${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle S_{n}}$

  Sin embargo, para una secuencia de variables aleatorias mutuamente independientes, la convergencia en probabilidad no implica una convergencia casi segura. ^{[ 14 ]}

• El teorema de convergencia dominada proporciona condiciones suficientes para que la convergencia casi segura implique la -convergencia:${\displaystyle L^{1}}$

• Una condición necesaria y suficiente para la convergencia es que la sucesión sea uniformemente integrable .${\displaystyle L^{1}}$${\displaystyle X_{n}{\xrightarrow {\overset {}{P}}}X}$${\displaystyle (X_{n})_{n}}$
• Si , lo siguiente es equivalente ^{[ 15 ]}${\displaystyle X_{n}\ \xrightarrow {\overset {}{p}} \ X}$
  • ${\displaystyle X_{n}\ {\xrightarrow {\overset {}{L^{r}}}}\ X}$,
  • ${\displaystyle \mathbb {E} [|X_{n}|^{r}]\rightarrow \mathbb {E} [|X|^{r}]<\infty }$,
  • ${\displaystyle \{|X_{n}|^{r}\}}$es uniformemente integrable .

• Demostraciones de convergencia de variables aleatorias
• Convergencia de medidas
• Convergencia en la medida
• Proceso estocástico continuo : la cuestión de la continuidad de un proceso estocástico es esencialmente una cuestión de convergencia, y muchos de los conceptos y relaciones utilizados anteriormente se aplican a la cuestión de la continuidad.
• Distribución asintótica
• Notación de probabilidad Big O
• Teorema de representación de Skorokhod
• El teorema de convergencia de Tweedie
• Teorema de Slutsky
• Teorema de la aplicación continua

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