Finalmente (matemáticas)

En las áreas matemáticas de la teoría de números y el análisis , se dice que una secuencia infinita o una función eventualmente tiene una cierta propiedad , si no tiene dicha propiedad en todas sus instancias ordenadas, pero la tendrá después de que hayan pasado algunas instancias. El uso del término "eventualmente" a menudo se puede reformular como "para números suficientemente grandes", ^{[ 1 ]} y también se puede extender a la clase de propiedades que se aplican a elementos de cualquier conjunto ordenado (como secuencias y subconjuntos de${\displaystyle \mathbb {R} }$).

La forma general donde se encuentra la frase eventualmente (o suficientemente grande ) aparece de la siguiente manera:

${\displaystyle P}$eventualmente es cierto para${\displaystyle x}$(${\displaystyle P}$es cierto para suficientemente grande${\displaystyle x}$),

dónde${\displaystyle \forall }$y${\displaystyle \exists }$son los cuantificadores universales y existenciales , que en realidad es una forma abreviada de decir:

${\displaystyle \exists a\in \mathbb {R} }$de tal manera que${\displaystyle P}$es verdad${\displaystyle \forall x\geq a}$

o de forma un poco más formal:

${\displaystyle \exists a\in \mathbb {R}$ :\forall x\in \mathbb {R} :x\geq a\Rightarrow P(x)}

Esto no significa necesariamente que cualquier valor particular para${\displaystyle a}$Se sabe, pero solo que tal cosa${\displaystyle a}$Existe. La frase «suficientemente grande» no debe confundirse con las frases « arbitrariamente grande » o « infinitamente grande». Para más información, consulte Arbitrariamente grande#Arbitrariamente grande vs. suficientemente grande vs. infinitamente grande .

Para una secuencia infinita, a menudo interesa más el comportamiento a largo plazo que el comportamiento inicial. En tal caso, una forma de formalizar este concepto es decir que la secuencia posee una determinada propiedad con el tiempo , o, equivalentemente, que una de sus subsecuencias satisface dicha propiedad.${\displaystyle (a_{n})_{n\geq N}}$, para algunos${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$. ^{[ 2 ]}

Por ejemplo, la definición de una sucesión de números reales.${\displaystyle (a_{n})}$convergiendo a algún límite${\displaystyle a}$es:

Para cada número positivo${\displaystyle \varepsilon }$, existe un número natural${\displaystyle N}$de tal manera que para todos${\displaystyle n>N}$,${\displaystyle \left\vert a_{n}-a\right\vert <\varepsilon }$.

Cuando el término "eventualmente " se usa como una abreviatura de "existe un número natural"${\displaystyle N}$de tal manera que para todos${\displaystyle n>N}$", la definición de convergencia se puede reformular de forma más sencilla como:

Para cada número positivo${\displaystyle \varepsilon >0}$, eventualmente${\displaystyle \left\vert a_{n}-a\right\vert <\varepsilon }$.

Aquí, observe que el conjunto de números naturales que no satisfacen esta propiedad es un conjunto finito; es decir, el conjunto está vacío o tiene un elemento máximo. Por lo tanto, el uso de "eventualmente" en este caso es sinónimo de la expresión "para todos los términos excepto un número finito" – un caso especial de la expresión "para casi todos los términos" (aunque "casi todos" también puede usarse para contemplar un número infinito de excepciones).

En el nivel básico, una secuencia puede pensarse como una función con los números naturales como su dominio , y la noción de "eventualmente" se aplica también a funciones en conjuntos más generales, en particular a aquellas que tienen un orden sin un elemento mayor .

Más específicamente, si${\displaystyle S}$es tal conjunto y hay un elemento${\displaystyle s}$en${\displaystyle S}$de tal manera que la función${\displaystyle f}$está definido para todos los elementos mayores que${\displaystyle s}$, entonces${\displaystyle f}$Se dice que eventualmente tiene alguna propiedad si hay un elemento${\displaystyle x_{0}}$de tal manera que siempre${\displaystyle x>x_{0}}$,${\displaystyle f(x)}$posee dicha propiedad. Esta noción se utiliza, por ejemplo, en el estudio de los cuerpos de Hardy , que son cuerpos formados por funciones reales, cada una de las cuales posee ciertas propiedades.

• "Todos los números primos mayores que 2 son impares " implica que "En última instancia, todos los números primos son impares".
• Finalmente, todos los números primos son congruentes con ±1 módulo 6.
• El cuadrado de un número primo es eventualmente congruente con 1 módulo 24 (específicamente, esto es cierto para todos los números primos mayores que 3).
• El factorial de un número natural termina en el dígito 0 (específicamente, esto es cierto para todos los números naturales mayores que 4).

• Se considera que una 3-variedad es suficientemente grande si contiene una superficie incompresible de dos caras correctamente incrustada . Esta propiedad es el requisito principal para que una 3-variedad se denomine variedad de Haken .
• La lógica temporal introduce un operador que puede utilizarse para expresar enunciados interpretables como: Cierta propiedad se cumplirá finalmente en un momento futuro.

• Casi todos
• Notación Big O
• Jerga matemática
• teoría de números