arbitrariamente grande

En matemáticas , las expresiones «arbitrariamente grande» , «arbitrariamente pequeño» y «arbitrariamente largo» se utilizan en enunciados para dejar claro que un objeto es grande, pequeño o largo, respectivamente, con pocas limitaciones o restricciones. El uso de «arbitrariamente» suele darse en el contexto de los números reales (y sus subconjuntos ), aunque su significado puede diferir del de «suficientemente» e «infinitamente».

La declaración

"${\displaystyle f(x)}$es no negativo para valores arbitrariamente grandes${\displaystyle x}$"

es una abreviatura de:

"Para cada número real${\displaystyle n}$,${\displaystyle f(x)}$es no negativo para algún valor de${\displaystyle x}$más que${\displaystyle n}$"

En el lenguaje común, el término "arbitrariamente largo" se usa a menudo en el contexto de una secuencia de números. Por ejemplo, decir que hay " progresiones aritméticas arbitrariamente largas de números primos " no significa que exista alguna progresión aritmética infinitamente larga de números primos (no existe), ni que exista alguna progresión aritmética particular de números primos que sea en algún sentido "arbitrariamente larga". Más bien, la frase se usa para referirse al hecho de que no importa cuán grande sea un número${\displaystyle n}$es que existe alguna progresión aritmética de números primos de longitud al menos${\displaystyle n}$. ^{[ 1 ]}

De forma similar a arbitrariamente grande, también se puede definir la frase "${\displaystyle P(x)}$se cumple para números reales arbitrariamente pequeños", como sigue: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle \forall \epsilon \in \mathbb {R} _{+},\,\exists x\in \mathbb {R}$ :|x|<\epsilon \land P(x)}

En otras palabras:

Por pequeño que sea el número, habrá un número.${\displaystyle x}$más pequeño que él de tal manera que${\displaystyle P(x)}$sostiene.

Aunque similares, "arbitrariamente grande" no es equivalente a " suficientemente grande ". Por ejemplo, si bien es cierto que los números primos pueden ser arbitrariamente grandes (ya que existen infinitos debido al teorema de Euclides ), no es cierto que todos los números suficientemente grandes sean primos.

Como otro ejemplo, la afirmación "${\displaystyle f(x)}$es no negativo para valores arbitrariamente grandes${\displaystyle x}$" podría reescribirse como:

$${\displaystyle \forall n\in \mathbb {R} {\mbox{, }}\exists x\in \mathbb {R} {\mbox{ tal que }}x>n\land f(x)\geq 0}$$

Sin embargo, al usar " suficientemente grande ", la misma frase se convierte en:

${\displaystyle \exists n\in \mathbb {R} {\mbox{ tal que }}\forall x\in \mathbb {R} {\mbox{, }}x>n\Rightarrow f(x)\geq 0}$

Además, "arbitrariamente grande" no significa " infinitamente grande ". Por ejemplo, aunque los números primos pueden ser arbitrariamente grandes, no existe un número primo infinitamente grande, ya que todos los números primos (así como todos los demás números enteros) son finitos.

En algunos casos, frases como "la proposición${\displaystyle P(x)}$es cierto para valores arbitrariamente grandes${\displaystyle x}$" se utilizan principalmente para enfatizar, como en "${\displaystyle P(x)}$es cierto para todos${\displaystyle x}$, sin importar cuán grande${\displaystyle x}$es." En estos casos, la frase "arbitrariamente grande" no tiene el significado indicado anteriormente (es decir, "por muy grande que sea un número, habrá algún número mayor para el cual${\displaystyle P(x)}$aún se mantiene." ^{[ 3 ]} ). En cambio, el uso en este caso es de hecho lógicamente sinónimo de "todo".

• Suficientemente grande
• Jerga matemática