Números primos en progresión aritmética

En teoría de números , los números primos en progresión aritmética son cualquier secuencia de al menos tres números primos que son términos consecutivos en una progresión aritmética . Un ejemplo es la secuencia de primos (3, 7, 11), que viene dada por${\displaystyle a_{n}=3+4n}$para${\displaystyle 0\leq n\leq 2}$.

Según el teorema de Green-Tao , existen progresiones aritméticas arbitrariamente largas en la secuencia de números primos. A veces, la frase también puede usarse para referirse a números primos que pertenecen a una progresión aritmética que también contiene números compuestos. Por ejemplo, puede usarse para referirse a números primos en una progresión aritmética de la forma${\displaystyle an+b}$donde a y b son coprimos , lo cual, según el teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas, contiene infinitos números primos, junto con infinitos números compuestos.

Para cualquier número entero${\displaystyle k\geq 3}$, un AP- k (también llamado PAP- k ) es cualquier secuencia de${\displaystyle k}$primos en progresión aritmética. Un AP-${\displaystyle k}$se puede escribir como${\displaystyle k}$primos de la forma${\displaystyle an+b}$, para números enteros fijos${\displaystyle a}$(llamada la diferencia común) y${\displaystyle b}$, y${\displaystyle k}$valores enteros consecutivos de${\displaystyle n}$. Un AP- k se suele expresar con${\displaystyle n=0}$a${\displaystyle k-1}$Esto siempre se puede lograr definiendo${\displaystyle b}$ser el primer número primo en la progresión aritmética.

Cualquier progresión aritmética de números primos dada tiene una longitud finita. En 2004, Ben J. Green y Terence Tao resolvieron una antigua conjetura al demostrar el teorema de Green-Tao : los números primos contienen progresiones aritméticas arbitrariamente largas . ^{[ 1 ]} De ello se deduce inmediatamente que existen infinitas progresiones aritméticas de longitud arbitraria.${\displaystyle k}$para cualquier${\displaystyle k}$.

Si un AP-${\displaystyle k}$no comienza con el primo${\displaystyle k}$, entonces la diferencia común es un múltiplo de la primordia${\displaystyle k\#=2\cdot 3\cdot 5\cdots j}$, dónde${\displaystyle j}$es el primo más grande${\displaystyle \leq k}$.

Prueba: Sea la AP-${\displaystyle k}$ser${\displaystyle an+b}$para${\displaystyle k}$valores consecutivos de${\displaystyle n}$Si un primo${\displaystyle p}$no divide${\displaystyle a}$, entonces la aritmética modular dice que${\displaystyle p}$dividirá cada${\displaystyle p}$término -ésimo de la progresión aritmética. (De HJ Weber, Cor.10 en "Números primos gemelos, tripletes y multipletes excepcionales", arXiv:1102.3075[math.NT]. Véase también Theor.2.3 en "Regularidades de números primos gemelos, tripletes y multipletes", arXiv:1103.0447[math.NT], Global JPAMath 8(2012), en prensa). Si la AP es prima para${\displaystyle k}$valores consecutivos, entonces${\displaystyle a}$Por lo tanto, debe ser divisible por todos los números primos.${\displaystyle p\leq k}$.

Esto también demuestra que una AP con diferencia común${\displaystyle a}$no puede contener más términos primos consecutivos que el valor del primo más pequeño que no divide${\displaystyle a}$.

Si${\displaystyle k}$es primo entonces un AP-${\displaystyle k}$puede comenzar con${\displaystyle k}$y tienen una diferencia común que es solo un múltiplo de${\displaystyle (k-1)\#}$en lugar de${\displaystyle k\#}$. (De HJ Weber, ``Múltiplos de números primos excepcionales y repetitivos menos regulares," arXiv:1105.4092[math.NT], Sect.3.) Por ejemplo, el AP-3 con primos${\displaystyle \{3,5,7\}}$y diferencia común${\displaystyle 2\#=2}$o el AP-5 con números primos${\displaystyle \{5,11,17,23,29\}}$y diferencia común${\displaystyle 4\#=6}$Se conjetura que tales ejemplos existen para todos los números primos.${\displaystyle k}$A partir de 2018, el primo más grande para el cual esto se confirma es${\displaystyle k=19}$, para este AP-19 encontrado por Wojciech Iżykowski en 2013:

${\displaystyle 19+4244193265542951705\cdot 17\#\cdot n}$, para${\displaystyle n=0}$a${\displaystyle 18}$. ^{[ 2 ]}

De conjeturas ampliamente aceptadas, como la conjetura de Dickson y algunas variantes de la conjetura de la k-tupla prima , se deduce que si${\displaystyle p>2}$es el primo más pequeño que no divide${\displaystyle a}$, entonces hay infinitos AP-(${\displaystyle p-1}$) con diferencia común${\displaystyle a}$Por ejemplo, 5 es el primo más pequeño que no divide a 6, por lo que se espera que existan infinitos AP-4 con diferencia común 6, lo que se denomina una sexy cuarteta de primos. Cuando${\displaystyle a=2}$,${\displaystyle p=3}$, es la conjetura de los primos gemelos , con un "AP-2" de 2 primos${\displaystyle (b,b+2)}$.

Minimizamos el último término. ^{[ 3 ]}

Para un principiante${\displaystyle q}$,${\displaystyle q\#}$denota el primogénito${\displaystyle 2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdots q}$.

A partir de septiembre de 2019 , el AP- más largo conocido${\displaystyle k}$es un AP-27. Se conocen varios ejemplos de AP-26. El primero en ser descubierto fue hallado el 12 de abril de 2010 por Benoît Perichon en una PlayStation 3 con software de Jarosław Wróblewski y Geoff Reynolds, portado a la PlayStation 3 por Bryan Little, en un proyecto distribuido PrimeGrid : ^{[ 2 ]}

43142746595714191 + 23681770·23#· n , para n = 0 a 25. (23# = 223092870) (secuencia A204189 en el OEIS )

Para cuando se encontró el primer AP-26, la búsqueda fue dividida en 131.436.182 segmentos por PrimeGrid ^{[ 4 ]} y procesada por CPU de 32/64 bits, GPU Nvidia CUDA y microprocesadores Cell en todo el mundo.

Antes de eso, el récord era un AP-25 encontrado por Raanan Chermoni y Jarosław Wróblewski el 17 de mayo de 2008: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle 6171054912832631+366384\cdot 23\#\cdot n}$, para${\displaystyle n=0}$a${\displaystyle 24}$. (${\displaystyle 23\#=223092870}$)

La búsqueda AP-25 se dividió en segmentos que tomaban aproximadamente 3 minutos en Athlon 64 y Wróblewski informó "Creo que Raanan pasó por menos de 10.000.000 de esos segmentos" ^{[ 5 ]} (esto habría tomado alrededor de 57 años de CPU en Athlon 64).

El récord anterior lo ostentaba un misil AP-24 hallado por Jarosław Wróblewski en solitario el 18 de enero de 2007:

${\displaystyle 468395662504823+205619\cdot 23\#\cdot n}$, para${\displaystyle n=0}$a${\displaystyle 23}$.

Para ello, Wróblewski informó que utilizó un total de 75 ordenadores: 15 Athlon de 64 bits, 15 Pentium D 805 de doble núcleo de 64 bits , 30 Athlon 2500 de 32 bits y 15 Duron 900. ^{[ 6 ]}

La siguiente tabla muestra el AP- más grande conocido.${\displaystyle k}$con el año de descubrimiento y el número de dígitos decimales en el primo final. Tenga en cuenta que el AP más grande conocido-${\displaystyle k}$puede ser el final de un AP-(${\displaystyle k+1}$). Algunos que establecen récords optan por calcular primero un gran conjunto de primos de la forma${\displaystyle c\cdot p\#+1}$con fijo${\displaystyle p}$y luego busque AP entre los valores de${\displaystyle c}$que produjo un número primo. Esto se refleja en la expresión para algunos registros. La expresión se puede reescribir fácilmente como${\displaystyle an+b}$.

Los primos consecutivos en progresión aritmética se refieren a al menos tres primos consecutivos que son términos consecutivos en una progresión aritmética. Tenga en cuenta que, a diferencia de una AP-${\displaystyle k}$Todos los demás números entre los términos de la progresión deben ser compuestos. Por ejemplo, la progresión aritmética AP-3 {3, 7, 11} no cumple con este requisito, ya que 5 también es un número primo.

Para un número entero${\displaystyle k\geq 3}$, un CPAP- k es${\displaystyle k}$primos consecutivos en progresión aritmética. Se conjetura que existen CPAP arbitrariamente largos. Esto implicaría infinitos CPAP-${\displaystyle k}$a pesar de${\displaystyle k}$. La presión intermedia en un CPAP-3 se llama presión equilibrada . La más grande conocida hasta 2022tiene 15004 dígitos.

El primer CPAP-10 conocido fue descubierto en 1998 por Manfred Toplic en el proyecto de computación distribuida CP10, organizado por Harvey Dubner, Tony Forbes, Nik Lygeros, Michel Mizony y Paul Zimmermann. ^{[ 7 ]} Este CPAP-10 tiene la menor diferencia común posible, 7# = 210. El único otro CPAP-10 conocido hasta 2018 fue descubierto por las mismas personas en 2008.

Si existe un CPAP-11, entonces debe tener una diferencia común que sea un múltiplo de 11# = 2310. La diferencia entre el primero y el último de los 11 números primos sería, por lo tanto, un múltiplo de 23100. El requisito de al menos 23090 números compuestos entre los 11 primos hace que encontrar un CPAP-11 parezca extremadamente difícil. Dubner y Zimmermann estiman que sería al menos 10¹² ^veces más difícil que encontrar un CPAP-10. ^{[ 8 ]}

La primera aparición de un CPAP-${\displaystyle k}$es conocido únicamente por${\displaystyle k\leq 6}$(secuencia A006560 en el OEIS ) .

La tabla muestra el caso más grande conocido de${\displaystyle k}$primos consecutivos en progresión aritmética, para${\displaystyle k=3}$a${\displaystyle 10}$.

x _d es un número de d dígitos utilizado en uno de los registros anteriores para asegurar un factor pequeño en una cantidad inusualmente grande de los compuestos requeridos entre los números primos. x ₁₀₆ = 115376 22283279672627497420 78637565852209646810 56709682233916942487 50925234318597647097 08315833909447378791 x ₁₅₃ = 9656383640115 03965472274037609810 69585305769447451085 87635040605371157826 98320398681243637298 57205796522034199218 09817841129732061363 55565433981118807417 = x ₂₅₃ módulo 379# x ₂₅₃ = 1617599298905 320471304802538356587398499979 836255156671030473751281181199 911312259550734373874520536148 519300924327947507674746679858 816780182478724431966587843672 408773388445788142740274329621 811879827349575247851843514012 399313201211101277175684636727

• Cadena Cunningham
• Teorema de Szemerédi
• PrimeGrid
• Teorema de los números primos para progresiones aritméticas
• Problemas que implican progresiones aritméticas

• Chris Caldwell, El glosario de números primos: secuencia aritmética , Los veinte principales: progresiones aritméticas de números primos y Los veinte principales: números primos consecutivos en progresión aritmética , todos de las Páginas de números primos .
• Weisstein, Eric W. "Progresión aritmética prima" . MathWorld .
• Jarosław Wróblewski, ¿Cómo buscar 26 números primos en progresión aritmética?
• P. Erdős y P. Turán, Sobre algunas secuencias de números enteros, J. London Math. Soc. 11 (1936), 261–264.