Teorema de la aplicación continua

Necesitaremos una afirmación particular del teorema de la combinación : que la convergencia en distribución${\displaystyle X_{n}{\xrightarrow {d}}X}$es equivalente a

${\displaystyle \mathbb {E} f(X_{n})\to \mathbb {E} f(X)}$para cada funcional continuo acotado f .

Por lo tanto, basta con demostrar que${\displaystyle \mathbb {E} f(g(X_{n}))\to \mathbb {E} f(g(X))}$para cada funcional continuo acotado f . Para simplificar, suponemos que g es continuo. Nótese que${\displaystyle F=f\circ g}$es en sí mismo un funcional continuo acotado. Por lo tanto, la afirmación se deduce de la declaración anterior. El caso general es un poco más técnico.

Fijemos un ε  > 0 arbitrario  . Entonces, para cualquier δ  >  0, consideremos el conjunto B _δ definido como

${\displaystyle B_{\delta }={\big \{}x\in S\mid x\notin D_{g}:\ \exists y\in S:\ |xy|<\delta ,\,|g(x)-g(y)|>\varepsilon {\big \}}.}$

Este es el conjunto de puntos de continuidad x de la función g (·) para los cuales es posible encontrar, dentro del entorno δ de x , un punto que mapea fuera del entorno ε de g ( x ). Por definición de continuidad, este conjunto se contrae a medida que δ tiende a cero, de modo que lim _{δ  →  0} B _δ  =  ∅.

Ahora supongamos que | g ( X )  − g ( X _n )| > ε . Esto implica que al menos una de las siguientes afirmaciones es verdadera: o bien | X − X _n | ≥ δ , o bien X ∈ D _g , o bien X ∈ B _δ . En términos de probabilidades, esto se puede escribir como       

${\displaystyle \Pr {\big (}{\big |}g(X_{n})-g(X){\big |}>\varepsilon {\big )}\leq \Pr {\big (}|X_{n}-X|\geq \delta {\big )}+\Pr(X\in B_{\delta })+\Pr(X\in D_{g}).}$

En el lado derecho, el primer término converge a cero cuando n  →  ∞ para cualquier δ fijo , por la definición de convergencia en probabilidad de la sucesión { X _n }. El segundo término converge a cero cuando δ  →  0, ya que el conjunto B _δ se reduce a un conjunto vacío. Y el último término es idénticamente igual a cero por supuesto del teorema. Por lo tanto, la conclusión es que

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\Pr {\big (}{\big |}g(X_{n})-g(X){\big |}>\varepsilon {\big )}=0,}$

lo que significa que g ( X _n ) converge a g ( X ) en probabilidad.

Nota: Aunque se puede encontrar en muchos lugares, la prueba anterior es ligeramente errónea, porque no está claro en general que${\displaystyle B_{\delta }}$es un subconjunto de Borel de${\displaystyle S}$Esto se puede solucionar fácilmente de la siguiente manera. Por suposición, tenemos${\displaystyle \mathbb {P} \left(\bigcup _{k\geq 1}A_{k}\right)=1}$, dónde${\displaystyle A_{k}=\left(|X_{n}-X|\leq {\frac {1}{k}}\,\Rightarrow \,|g(X_{n})-g(X)|<\varepsilon \right).}$

Ahora, fije un valor arbitrario.${\displaystyle \eta >0}$. Dado que la secuencia${\displaystyle (A_{k})_{k\geq 1}}$es no decreciente, tenemos${\displaystyle \mathbb {P} \left(\bigcup _{k\geq 1}A_{k}\right)=\lim _{k\to \infty }\mathbb {P} (A_{k})}$, por lo tanto existe${\displaystyle k\geq 1}$de tal manera que${\displaystyle \mathbb {P} (A_{k})\geq 1-\eta }$. Finalmente, podemos escribir

${\displaystyle \mathbb {P} (|g(X_{n})-g(X)|\geq \varepsilon )\leq \eta +\mathbb {P} (|g(X_{n})-g(X)|\geq \varepsilon \,;\,A_{k})\leq \eta +\mathbb {P} \left(d(X_{n},X)>{\frac {1}{k}}\right).}$

Resulta que${\displaystyle \varlimsup _{n\to \infty }\mathbb {P} (|g(X_{n})-g(X)|\geq \varepsilon )\leq \eta +0=\eta }$, lo que demuestra que${\displaystyle \mathbb {P} (|g(X_{n})-g(X)|\geq \varepsilon )\rightarrow 0}$como${\displaystyle n\to \infty }$, desde${\displaystyle \eta }$fue arbitrario.

Por definición de la continuidad de la función g (·),

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }X_{n}(\omega )=X(\omega )\quad \Rightarrow \quad \lim _{n\to \infty }g(X_{n}(\omega ))=g(X(\omega ))}$

en cada punto X ( ω ) donde g (·) es continua. Por lo tanto,

${\displaystyle {\begin{aligned}\Pr \left(\lim _{n\to \infty }g(X_{n})=g(X)\right)&\geq \Pr \left(\lim _{n\to \infty }g(X_{n})=g(X),\ X\notin D_{g}\right)\\&\geq \Pr \left(\lim _{n\to \infty }X_{n}=X,\ X\notin D_{g}\right)=1,\end{aligned}}}$

porque la intersección de dos eventos casi seguros es casi segura.

Por definición, concluimos que g ( X _n ) converge a g ( X ) casi con seguridad.