Descomposición matricial

• Tradicionalmente aplicable a: matriz cuadrada A , aunque también se pueden aplicar matrices rectangulares. ^{[ 1 ] [ nb 1 ]}
• Descomposición:${\displaystyle A=LU}$, donde L es triangular inferior y U es triangular superior .
• Relacionado: la descomposición LDU es${\displaystyle A=LDU}$donde L es una matriz triangular inferior con unos en la diagonal, U es una matriz triangular superior con unos en la diagonal y D es una matriz diagonal .
• Relacionado: la descomposición LUP es${\displaystyle PA=LU}$, donde L es triangular inferior , U es triangular superior y P es una matriz de permutación .
• Existencia: Existe una descomposición LUP para cualquier matriz cuadrada A. Cuando P es una matriz identidad , la descomposición LUP se reduce a la descomposición LU.
• Comentarios: Las descomposiciones LUP y LU son útiles para resolver un sistema de ecuaciones lineales de n x n.${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} }$Estas descomposiciones resumen el proceso de eliminación gaussiana en forma matricial. La matriz P representa cualquier intercambio de filas realizado durante el proceso de eliminación gaussiana. Si la eliminación gaussiana produce la forma escalonada de filas sin necesidad de intercambios, entonces P  = I , por lo que existe una descomposición LU. 

• Aplicable a: matriz A de m x n de rango r
• Descomposición:${\displaystyle A=CF}$donde C es una matriz de rango completo de columna m x r y F es una matriz de rango completo de fila r x n
• Comentario: La factorización de rango se puede utilizar para calcular la pseudoinversa de Moore-Penrose de A , ^{[ 2 ]} que se puede aplicar para obtener todas las soluciones del sistema lineal.${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} }$.

• Aplicable a: matriz cuadrada , hermitiana y definida positiva${\displaystyle A}$
• Descomposición:${\displaystyle A=U^{*}U}$, dónde${\displaystyle U}$es triangular superior con entradas diagonales reales positivas
• Comentario: si la matriz${\displaystyle A}$es hermitiana y semidefinida positiva, entonces tiene una descomposición de la forma${\displaystyle A=U^{*}U}$si las entradas diagonales de${\displaystyle U}$se permite que sean cero
• Unicidad: para matrices definidas positivas, la descomposición de Cholesky es única. Sin embargo, no lo es en el caso de matrices semidefinidas positivas.
• Comentario: si${\displaystyle A}$es real y simétrico,${\displaystyle U}$tiene todos los elementos reales
• Comentario: Una alternativa es la descomposición LDL , que puede evitar la extracción de raíces cuadradas.

• Aplicable a: matriz A de m × n con columnas linealmente independientes.
• Descomposición:${\displaystyle A=QR}$dónde${\displaystyle Q}$es una matriz unitaria de tamaño m por m , y${\displaystyle R}$es una matriz triangular superior de tamaño m por n
• Singularidad: En general no es único, pero si${\displaystyle A}$es de rango completo , entonces existe un único${\displaystyle R}$que tiene todos los elementos diagonales positivos. Si${\displaystyle A}$es cuadrado, también${\displaystyle Q}$es único.
• Comentario: La descomposición QR proporciona una forma eficaz de resolver el sistema de ecuaciones.${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} }$. El hecho de que${\displaystyle Q}$es ortogonal significa que${\displaystyle Q^{\mathrm {T} }Q=I}$, de modo que${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} }$es equivalente a${\displaystyle R\mathbf {x} =Q^{\mathsf {T}}\mathbf {b} }$, lo cual es muy fácil de resolver ya que${\displaystyle R}$es triangular .

• También llamada descomposición espectral .
• Aplicable a: matriz cuadrada A con vectores propios linealmente independientes (no necesariamente valores propios distintos).
• Descomposición:${\displaystyle A=VDV^{-1}}$, donde D es una matriz diagonal formada a partir de los valores propios de A , y las columnas de V son los vectores propios correspondientes de A.
• Existencia: Una matriz A de n × n siempre tiene n valores propios (complejos), que pueden ordenarse (de más de una manera) para formar una matriz diagonal D de n × n y una matriz correspondiente de columnas no nulas V que satisface la ecuación de valores propios.${\displaystyle AV=VD}$. ${\displaystyle V}$Es invertible si y solo si los n autovectores son linealmente independientes (es decir, cada autovalor tiene una multiplicidad geométrica igual a su multiplicidad algebraica ). Una condición suficiente (pero no necesaria) para que esto ocurra es que todos los autovalores sean diferentes (en este caso, la multiplicidad geométrica y algebraica son iguales a 1).
• Comentario: Siempre se pueden normalizar los autovectores para que tengan longitud uno (véase la definición de la ecuación de autovalores).
• Comentario: Toda matriz normal A (es decir, matriz para la cual${\displaystyle AA^{*}=A^{*}A}$, dónde${\displaystyle A^{*}}$es una transpuesta conjugada ) se puede descomponer en valores propios. Para una matriz normal A (y solo para una matriz normal), los vectores propios también se pueden hacer ortonormales (${\displaystyle VV^{*}=I}$) y la descomposición en valores propios se lee como${\displaystyle A=VDV^{*}}$En particular, todas las matrices unitarias , hermíticas o antihermíticas (en el caso de valores reales, todas las matrices ortogonales , simétricas o antisimétricas , respectivamente) son normales y, por lo tanto, poseen esta propiedad.
• Comentario: Para cualquier matriz simétrica real A , la descomposición en valores propios siempre existe y se puede escribir como${\displaystyle A=VDV^{\mathsf {T}}}$donde tanto D como V son variables de valor real.
• Comentario: La descomposición en valores propios es útil para comprender la solución de un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales o ecuaciones en diferencias lineales. Por ejemplo, la ecuación en diferencias${\displaystyle x_{t+1}=Ax_{t}}$partiendo de la condición inicial${\displaystyle x_{0}=c}$se resuelve mediante${\displaystyle x_{t}=A^{t}c}$, lo cual es equivalente a${\displaystyle x_{t}=VD^{t}V^{-1}c}$donde V y D son las matrices formadas a partir de los autovectores y autovalores de A. Dado que D es diagonal, al elevarla a la potencia${\displaystyle D^{t}}$, simplemente implica elevar cada elemento de la diagonal a la potencia t . Esto es mucho más fácil de hacer y comprender que elevar A a la potencia t , ya que A generalmente no está en la diagonal.

La forma normal de Jordan y la descomposición de Jordan-Chevalley

• Aplicable a: matriz cuadrada A
• Comentario: la forma normal de Jordan generaliza la descomposición en valores propios a casos donde hay valores propios repetidos y no se pueden diagonalizar; la descomposición de Jordan-Chevalley hace esto sin elegir una base.

• Aplicable a: matriz cuadrada A
• Descomposición (versión compleja):${\displaystyle A=UTU^{*}}$, donde U es una matriz unitaria ,${\displaystyle U^{*}}$es la transpuesta conjugada de U , y T es una matriz triangular superior llamada forma de Schur compleja que tiene los valores propios de A a lo largo de su diagonal.
• Comentario: si A es una matriz normal , entonces T es diagonal y la descomposición de Schur coincide con la descomposición espectral.

• Aplicable a: matriz cuadrada A
• Descomposición: Esta es una versión de la descomposición de Schur donde${\displaystyle V}$y${\displaystyle S}$solo contienen números reales. Siempre se puede escribir${\displaystyle A=VSV^{\mathsf {T}}}$donde V es una matriz ortogonal real ,${\displaystyle V^{\mathsf {T}}}$es la transpuesta de V , y S es una matriz triangular superior por bloques llamada forma de Schur real . Los bloques en la diagonal de S son de tamaño 1×1 (en cuyo caso representan valores propios reales) o 2×2 (en cuyo caso se derivan de pares de valores propios conjugados complejos ).

• También llamada: descomposición de Schur generalizada
• Aplicable a: matrices cuadradas A y B
• Comentario: existen dos versiones de esta descomposición: compleja y real.
• Descomposición (versión compleja):${\displaystyle A=QSZ^{*}}$y${\displaystyle B=QTZ^{*}}$donde Q y Z son matrices unitarias , el superíndice * representa la transpuesta conjugada , y S y T son matrices triangulares superiores .
• Comentario: en la descomposición QZ compleja, las razones de los elementos diagonales de S a los elementos diagonales correspondientes de T ,${\displaystyle \lambda _{i}=S_{ii}/T_{ii}}$, son los autovalores generalizados que resuelven el problema generalizado de autovalores.${\displaystyle A\mathbf {v} =\lambda B\mathbf {v} }$(dónde${\displaystyle \lambda }$es un escalar desconocido y v es un vector no nulo desconocido).
• Descomposición (versión real):${\displaystyle A=QSZ^{\mathsf {T}}}$y${\displaystyle B=QTZ^{\mathsf {T}}}$donde A , B , Q , Z , S y T son matrices que contienen solo números reales. En este caso, Q y Z son matrices ortogonales , el superíndice T representa la transposición , y S y T son matrices triangulares superiores por bloques . Los bloques en la diagonal de S y T son de tamaño 1×1 o 2×2.

• Aplicable a: matriz cuadrada, compleja y simétrica A.
• Descomposición:${\displaystyle A=VDV^{\mathsf {T}}}$donde D es una matriz diagonal real no negativa y V es unitaria .${\displaystyle V^{\mathsf {T}}}$denota la transpuesta de la matriz V.
• Comentario: Los elementos diagonales de D son las raíces cuadradas no negativas de los valores propios de${\displaystyle AA^{*}=VD^{2}V^{-1}}$.
• Comentario: V puede ser complejo incluso si A es real.
• Comentario: Este no es un caso especial de la descomposición en valores propios (ver arriba), que utiliza${\displaystyle V^{-1}}$en lugar de${\displaystyle V^{\mathsf {T}}}$Además, si A no es real, no es hermitiano y la forma que utiliza${\displaystyle V^{*}}$Tampoco aplica.

• Aplicable a: matriz A de m por n .
• Descomposición:${\displaystyle A=UDV^{*}}$donde D es una matriz diagonal no negativa y U y V satisfacen${\displaystyle U^{*}U=I,V^{*}V=I}$. Aquí${\displaystyle V^{*}}$es la transpuesta conjugada de V (o simplemente la transpuesta , si V contiene solo números reales), e I denota la matriz identidad (de alguna dimensión).
• Comentario: Los elementos diagonales de D se denominan valores singulares de A.
• Comentario: Al igual que la descomposición en valores propios descrita anteriormente, la descomposición en valores singulares implica encontrar direcciones base a lo largo de las cuales la multiplicación de matrices es equivalente a la multiplicación escalar, pero tiene mayor generalidad ya que la matriz en consideración no tiene por qué ser cuadrada.
• Unicidad: los valores singulares de${\displaystyle A}$Siempre están determinados de forma única.${\displaystyle U}$y${\displaystyle V}$No es necesario que sea único en general.

Se refiere a variantes de descomposiciones matriciales existentes, como la SVD, que son invariantes con respecto al escalado diagonal.

• Aplicable a: matriz A de m por n .
• Descomposición en valores singulares invariante a la escala unitaria:${\displaystyle A=DUSV^{*}E}$, donde S es una matriz diagonal no negativa única de valores singulares invariantes a escala, U y V son matrices unitarias ,${\displaystyle V^{*}}$es la transpuesta conjugada de V y de las matrices diagonales positivas D y E.
• Comentario: Es análogo a la SVD excepto que los elementos diagonales de S son invariantes con respecto a la multiplicación izquierda y/o derecha de A por matrices diagonales no singulares arbitrarias, a diferencia de la SVD estándar para la cual los valores singulares son invariantes con respecto a la multiplicación izquierda y/o derecha de A por matrices unitarias arbitrarias.
• Comentario: Es una alternativa a la SVD estándar cuando se requiere invariancia con respecto a transformaciones diagonales en lugar de unitarias de A.
• Unicidad: Los valores singulares invariantes a escala de${\displaystyle A}$(dadas por los elementos diagonales de S ) siempre están determinadas de forma única. Las matrices diagonales D y E , y las matrices unitarias U y V , no son necesariamente únicas en general.
• Comentario: Las matrices U y V no son las mismas que las obtenidas mediante la descomposición en valores singulares (SVD).

Se pueden derivar descomposiciones análogas invariantes de escala a partir de otras descomposiciones de matrices; por ejemplo, para obtener valores propios invariantes de escala. ^{[ 3 ] [ 4 ]}

• Aplicable a: matriz cuadrada A.
• Descomposición:${\displaystyle A=PHP^{*}}$dónde${\displaystyle H}$es la matriz de Hessenberg y${\displaystyle P}$es una matriz unitaria .
• Comentario: a menudo es el primer paso en la descomposición de Schur.

• También conocida como: descomposición UTV , descomposición ULV , descomposición URV .
• Aplicable a: matriz A de m por n .
• Descomposición:${\displaystyle A=UTV^{*}}$donde T es una matriz triangular y U y V son matrices unitarias .
• Comentario: Similar a la descomposición en valores singulares y a la descomposición de Schur.

• Aplicable a : cualquier matriz cuadrada compleja A.
• Descomposición:${\displaystyle A=UP}$(descomposición polar derecha) o${\displaystyle A=P'U}$(descomposición polar izquierda), donde U es una matriz unitaria y P y P' son matrices hermíticas semidefinidas positivas .
• Unicidad:${\displaystyle P}$siempre es único e igual a${\displaystyle {\sqrt {A^{*}A}}}$(que siempre es hermitiana y semidefinida positiva). Si${\displaystyle A}$es invertible, entonces${\displaystyle U}$es único.
• Comentario: Dado que cualquier matriz hermitiana admite una descomposición espectral con una matriz unitaria,${\displaystyle P}$se puede escribir como${\displaystyle P=VDV^{*}}$. Desde${\displaystyle P}$es semidefinida positiva, todos los elementos en${\displaystyle D}$son no negativos. Dado que el producto de dos matrices unitarias es unitario, tomando${\displaystyle W=UV}$uno puede escribir${\displaystyle A=U(VDV^{*})=WDV^{*}}$que es la descomposición en valores singulares. Por lo tanto, la existencia de la descomposición polar es equivalente a la existencia de la descomposición en valores singulares.

• ^{Aplicable a: matriz cuadrada, compleja y} no singular A. ^{[ 5} ]
• Descomposición:${\displaystyle A=QS}$donde Q es una matriz ortogonal compleja y S es una matriz simétrica compleja.
• Singularidad: Si${\displaystyle A^{\mathsf {T}}A}$Si no tiene valores propios reales negativos, entonces la descomposición es única. ^{[ 6 ]}
• Comentario: La existencia de esta descomposición es equivalente a${\displaystyle AA^{\mathsf {T}}}$ser similar a${\displaystyle A^{\mathsf {T}}A}$. ^{[ 7 ]}
• Comentario: Una variante de esta descomposición es${\displaystyle A=RC}$, donde R es una matriz real y C es una matriz circular . ^{[ 6 ]}

• ^{Aplicable a: matriz cuadrada, compleja y} no singular A. ^{[ 8} ] ^{[ 9 ]}
• Descomposición:${\displaystyle A=Ue^{iM}e^{S}}$donde U es unitaria, M es real antisimétrica y S es real simétrica.
• Comentario: La matriz A también se puede descomponer como${\displaystyle A=U_{2}e^{S_{2}}e^{iM_{2}}}$, donde U ₂ es unitaria, M ₂ es real antisimétrica y S ₂ es real simétrica. ^{[ 6 ]}

• Aplicable a: matriz cuadrada real A con elementos estrictamente positivos.
• Descomposición:${\displaystyle A=D_{1}SD_{2}}$donde S es doblemente estocástica y D ₁ y D ₂ son matrices diagonales reales con elementos estrictamente positivos.

• Aplicable a: matriz cuadrada compleja A con rango numérico contenido en el sector${\displaystyle S_{\alpha }=\left\{re^{i\theta }\in \mathbb {C} \mid r>0,|\theta |\leq \alpha <{\frac {\pi }{2}}\right\}}$.
• Descomposición:${\displaystyle A=CZC^{*}}$, donde C es una matriz compleja invertible y${\displaystyle Z=\operatorname {diag} \left(e^{i\theta _{1}},\ldots ,e^{i\theta _{n}}\right)}$con todo${\displaystyle \left|\theta _{j}\right|\leq \alpha }$. ^{[ 10 ] [ 11 ]}

• Aplicable a: matriz real cuadrada definida positiva A de orden 2 n ×2 n .
• Descomposición:${\displaystyle A=S^{\mathsf {T}}\operatorname {diag} (D,D)S}$, dónde${\displaystyle S\in {\text{Sp}}(2n)}$es una matriz simpléctica y D es una matriz diagonal no negativa de n por n . ^{[ 12 ]}

• Descomposición:${\displaystyle A=BB}$, no es único en general.
• En el caso de semidefinido positivo${\displaystyle A}$, hay un semidefinido positivo único${\displaystyle B}$de tal manera que${\displaystyle A=B^{*}B=BB}$.

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