Transformation matrix

Yet, there is a special basis for an operator in which the components form a diagonal matrix and, thus, multiplication complexity reduces to n. Being diagonal means that all coefficients ${\displaystyle a_{i,j}}$ except ${\displaystyle a_{i,i}}$ are zeros leaving only one term in the sum ${\textstyle \sum a_{i,j}\mathbf {e} _{i}}$ above. The surviving diagonal elements, ${\displaystyle a_{i,i}}$, are known as eigenvalues and designated with ${\displaystyle \lambda _{i}}$ in the defining equation, which reduces to ${\displaystyle A\mathbf {e} _{i}=\lambda _{i}\mathbf {e} _{i}}$. La ecuación resultante se conoce como ecuación de valores propios . ^{[ 5 ]} Los vectores propios y los valores propios se derivan de ella mediante el polinomio característico .

Mediante la diagonalización , a menudo es posible realizar traducciones desde y hacia bases propias.

Un estiramiento en el plano xy es una transformación lineal que aumenta todas las distancias en una dirección determinada por un factor constante, pero no afecta las distancias en la dirección perpendicular. Solo consideramos estiramientos a lo largo de los ejes x e y. Un estiramiento a lo largo del eje x tiene la forma x' = kx ; y' = y para alguna constante positiva k . (Nótese que si k > 1 , entonces realmente se trata de un "estiramiento"; si k < 1 , técnicamente es una "compresión", pero aun así lo llamamos estiramiento. Además, si k = 1 , la transformación es una identidad, es decir, no tiene ningún efecto).

La matriz asociada a un estiramiento por un factor k a lo largo del eje x viene dada por: $${\displaystyle {\begin{bmatrix}k&0\\0&1\end{bmatrix}}}$$

De manera similar, un estiramiento por un factor k a lo largo del eje y tiene la forma x' = x ; y' = ky , por lo que la matriz asociada con esta transformación es $${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&k\end{bmatrix}}}$$

Si los dos tramos anteriores se combinan con valores recíprocos, entonces la matriz de transformación representa un mapeo de compresión : $${\displaystyle {\begin{bmatrix}k&0\\0&1/k\end{bmatrix}}.}$$ Un cuadrado con lados paralelos a los ejes se transforma en un rectángulo que tiene la misma área que el cuadrado. El estiramiento y la compresión recíprocos dejan el área invariable.

Para una rotación de un ángulo θ en sentido antihorario (dirección positiva) alrededor del origen, la forma funcional es${\displaystyle x'=x\cos \theta -y\sin \theta }$y${\displaystyle y'=x\sin \theta +y\cos \theta }$. Escrito en forma matricial, esto se convierte en: ^{[ 6 ]}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}}$$

De manera similar, para una rotación en sentido horario (dirección negativa) alrededor del origen, la forma funcional es${\displaystyle x'=x\cos \theta +y\sin \theta }$y${\displaystyle y'=-x\sin \theta +y\cos \theta }$La forma matricial es: $${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}}$$

Estas fórmulas suponen que el eje x apunta hacia la derecha y el eje y apunta hacia arriba.

Para el mapeo de corte (visualmente similar al de inclinación), existen dos posibilidades.

Un corte paralelo al eje x tiene${\displaystyle x'=x+ky}$y${\displaystyle y'=y}$Escrito en forma matricial, esto se convierte en: $${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&k\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}}$$

Un corte paralelo al eje y tiene${\displaystyle x'=x}$y${\displaystyle y'=y+kx}$, que tiene forma matricial: $${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\k&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}}$$

Para reflexionar sobre una línea que pasa por el origen, dejemos${\displaystyle \mathbf {l} =(l_{x},l_{y})}$Sea un vector en la dirección de la línea. Entonces, la matriz de transformación es: $${\displaystyle \mathbf {A} ={\frac {1}{\lVert \mathbf {l} \rVert ^{2}}}{\begin{bmatrix}l_{y}^{2}-l_{x}^{2}&2l_{x}l_{y}\\2l_{x}l_{y}&l_{x}^{2}-l_{y}^{2}\end{bmatrix}}}$$

En 3 dimensiones, con${\displaystyle \mathbf {l} =(l_{x},l_{y},l_{z})}$La matriz de transformación es:

$${\displaystyle \mathbf {A} ={\frac {1}{\lVert \mathbf {l} \rVert ^{2}}}{\begin{bmatrix}l_{y}^{2}+l_{z}^{2}-l_{x}^{2}&2l_{x}l_{y}&2l_{x}l_{z}\\2l_{y}l_{x}&l_{x}^{2}+l_{z}^{2}-l_{y}^{2}&2l_{y}l_{z}\\2l_{z}l_{x}&2l_{z}l_{y}&l_{x}^{2}+l_{y}^{2}-l_{z}^{2}\end{bmatrix}}}$$

Para proyectar un vector ortogonalmente sobre una línea que pasa por el origen, sea${\displaystyle \mathbf {u} =(u_{x},u_{y})}$Sea un vector en la dirección de la línea. Entonces, la matriz de transformación es: $${\displaystyle \mathbf {A} ={\frac {1}{\lVert \mathbf {u} \rVert ^{2}}}{\begin{bmatrix}u_{x}^{2}&u_{x}u_{y}\\u_{x}u_{y}&u_{y}^{2}\end{bmatrix}}}$$

Al igual que ocurre con las reflexiones, la proyección ortogonal sobre una línea que no pasa por el origen es una transformación afín, no lineal.

Las proyecciones paralelas también son transformaciones lineales y pueden representarse simplemente mediante una matriz. Sin embargo, las proyecciones en perspectiva no lo son, y para representarlas con una matriz, se pueden utilizar coordenadas homogéneas .

La matriz para rotar un ángulo θ alrededor de cualquier eje definido por el vector unitario ( x , y , z ) es ^{[ 7 ].}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}xx(1-\cos \theta )+\cos \theta &yx(1-\cos \theta )-z\sin \theta &zx(1-\cos \theta )+y\sin \theta \\xy(1-\cos \theta )+z\sin \theta &yy(1-\cos \theta )+\cos \theta &zy(1-\cos \theta )-x\sin \theta \\xz(1-\cos \theta )-y\sin \theta &yz(1-\cos \theta )+x\sin \theta &zz(1-\cos \theta )+\cos \theta \end{bmatrix}}.}$$

Reflejar un punto a través de un plano${\displaystyle ax+by+cz=0}$(que pasa por el origen), uno puede usar${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {I} -2\mathbf {NN} ^{\mathrm {T} }}$, dónde${\displaystyle \mathbf {I} }$es la matriz identidad de 3×3 y${\displaystyle \mathbf {N} }$es el vector unitario tridimensional para ^el vector normal del plano. Si la norma L2 de${\displaystyle a}$,${\displaystyle b}$, y${\displaystyle c}$Si la matriz de transformación es unitaria, se puede expresar como: $${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1-2a^{2}&-2ab&-2ac\\-2ab&1-2b^{2}&-2bc\\-2ac&-2bc&1-2c^{2}\end{bmatrix}}}$$

Nótese que estos son casos particulares de una reflexión de Householder en dos y tres dimensiones. Una reflexión respecto a una línea o plano que no pasa por el origen no es una transformación lineal, sino una transformación afín . Como matriz de transformación afín de 4×4, se puede expresar de la siguiente manera (suponiendo que la normal es un vector unitario): $${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\\z'\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1-2a^{2}&-2ab&-2ac&-2ad\\-2ab&1-2b^{2}&-2bc&-2bd\\-2ac&-2bc&1-2c^{2}&-2cd\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\\1\end{bmatrix}}}$$ dónde${\displaystyle d=-\mathbf {p} \cdot \mathbf {N} }$por algún momento${\displaystyle \mathbf {p} }$en el avión, o equivalentemente,${\displaystyle ax+by+cz+d=0}$.

Si la cuarta componente del vector es 0 en lugar de 1, solo se refleja su dirección y su magnitud permanece inalterada, como si se reflejara en un plano paralelo que pasa por el origen. Esta propiedad resulta útil, ya que permite transformar tanto vectores de posición como vectores normales con la misma matriz. Consulte la sección sobre coordenadas homogéneas y transformaciones afines a continuación para obtener más información.

Para representar transformaciones afines con matrices, podemos usar coordenadas homogéneas . Esto significa representar un vector de 2 dimensiones ( x , y ) como un vector de 3 dimensiones ( x , y , 1), y de forma similar para dimensiones superiores. Usando este sistema, la traslación se puede expresar con multiplicación de matrices. La forma funcional${\displaystyle x'=x+t_{x};y'=y+t_{y}}$se convierte en: $${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&t_{x}\\0&1&t_{y}\\0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\1\end{bmatrix}}.}$$

Todas las transformaciones lineales ordinarias se incluyen en el conjunto de transformaciones afines y pueden describirse como una forma simplificada de estas. Por lo tanto, cualquier transformación lineal también puede representarse mediante una matriz de transformación general. Esta última se obtiene expandiendo la matriz de transformación lineal correspondiente con una fila y una columna, rellenando el espacio adicional con ceros, excepto en la esquina inferior derecha, que debe establecerse en 1. Por ejemplo, la matriz de rotación en sentido antihorario anterior se convierte en: $${\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta &0\\\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$$

Utilizando matrices de transformación que contienen coordenadas homogéneas, las traslaciones se vuelven lineales y, por lo tanto, pueden mezclarse sin problemas con todos los demás tipos de transformaciones. La razón es que el plano real se mapea al plano w = 1 en el espacio proyectivo real, por lo que la traslación en el espacio euclidiano real puede representarse como un corte en el espacio proyectivo real. Aunque una traslación es una transformación no lineal en un espacio euclidiano de 2D o 3D descrito por coordenadas cartesianas (es decir, no puede combinarse con otras transformaciones conservando la conmutatividad y otras propiedades), se convierte , en un espacio proyectivo de 3D o 4D descrito por coordenadas homogéneas, en una simple transformación lineal (un corte ).

Se pueden obtener transformaciones más afines mediante la composición de dos o más transformaciones afines. Por ejemplo, dada una traslación T' con vector${\displaystyle (t'_{x},t'_{y}),}$una rotación R por un ángulo θ en sentido antihorario , una escala S con factores${\displaystyle (s_{x},s_{y})}$y una traslación T del vector${\displaystyle (t_{x},t_{y}),}$El resultado M de T'RST es: ^{[ 8 ]}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}s_{x}\cos \theta &-s_{y}\sin \theta &t_{x}s_{x}\cos \theta -t_{y}s_{y}\sin \theta +t'_{x}\\s_{x}\sin \theta &s_{y}\cos \theta &t_{x}s_{x}\sin \theta +t_{y}s_{y}\cos \theta +t'_{y}\\0&0&1\end{bmatrix}}}$$

Al utilizar transformaciones afines, la componente homogénea de un vector de coordenadas (normalmente llamada w ) nunca se modifica. Por lo tanto, se puede asumir con seguridad que siempre es 1 e ignorarla. Sin embargo, esto no se cumple al utilizar proyecciones en perspectiva.

Otro tipo de transformación, importante en los gráficos 3D por computadora , es la proyección en perspectiva . Mientras que las proyecciones paralelas se utilizan para proyectar puntos en el plano de la imagen a lo largo de líneas paralelas, la proyección en perspectiva proyecta puntos en el plano de la imagen a lo largo de líneas que parten de un único punto, llamado centro de proyección. Esto significa que un objeto tiene una proyección menor cuando está lejos del centro de proyección y una proyección mayor cuando está más cerca (véase también la función recíproca ).

La proyección de perspectiva más simple utiliza el origen como centro de proyección y el plano en${\displaystyle z=1}$como el plano de la imagen. La forma funcional de esta transformación es entonces${\displaystyle x'=x/z}$;${\displaystyle y'=y/z}$Podemos expresar esto en coordenadas homogéneas como: $${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{c}\\y_{c}\\z_{c}\\w_{c}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x\\y\\z\\z\end{bmatrix}}}$$

Después de realizar la multiplicación de matrices , el componente homogéneo${\displaystyle w_{c}}$será igual al valor de${\displaystyle z}$y los otros tres no cambiarán. Por lo tanto, para volver al plano real debemos realizar la división homogénea o división de perspectiva dividiendo cada componente por${\displaystyle w_{c}}$: $${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\\z'\\1\end{bmatrix}}={\frac {1}{w_{c}}}{\begin{bmatrix}x_{c}\\y_{c}\\z_{c}\\w_{c}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x/z\\y/z\\1\\1\end{bmatrix}}}$$

Se pueden crear proyecciones de perspectiva más complejas combinando esta con rotaciones, escalas, traslaciones y deformaciones para mover el plano de la imagen y el centro de proyección donde se desee.