Geometría de transformación

En matemáticas , la geometría de transformaciones (o geometría transformacional ) es el nombre que recibe un enfoque matemático y pedagógico del estudio de la geometría que se centra en grupos de transformaciones geométricas y en las propiedades que son invariantes bajo ellas. Se opone al enfoque clásico de la geometría sintética euclidiana , que se centra en la demostración de teoremas .

Por ejemplo, en la geometría de transformaciones, las propiedades de un triángulo isósceles se deducen del hecho de que se transforma en sí mismo mediante una reflexión respecto a una línea determinada. Esto contrasta con las demostraciones clásicas basadas en los criterios de congruencia de triángulos . ^{[ 1 ]}

El primer esfuerzo sistemático por utilizar las transformaciones como fundamento de la geometría fue realizado por Felix Klein en el siglo XIX, bajo el nombre de Programa de Erlangen . Durante casi un siglo, este enfoque permaneció confinado a los círculos de investigación matemática. En el siglo XX, se hicieron esfuerzos para aprovecharlo en la enseñanza de las matemáticas . Andrei Kolmogorov incluyó este enfoque (junto con la teoría de conjuntos ) como parte de una propuesta de reforma de la enseñanza de la geometría en Rusia . ^{[ 2 ]} Estos esfuerzos culminaron en la década de 1960 con la reforma general de la enseñanza de las matemáticas conocida como el movimiento de las Nuevas Matemáticas .

La exploración de la geometría de transformaciones suele comenzar con el estudio de la simetría de reflexión presente en la vida cotidiana. La primera transformación real es la reflexión respecto a una línea o respecto a un eje . La composición de dos reflexiones da como resultado una rotación cuando las líneas se intersecan, o una traslación cuando son paralelas. Así, mediante las transformaciones, los estudiantes aprenden sobre la isometría del plano euclidiano . Por ejemplo, consideremos la reflexión respecto a una línea vertical y una línea inclinada a 45° respecto a la horizontal. Se observa que una composición produce un cuarto de vuelta en sentido antihorario (90°), mientras que la composición inversa produce un cuarto de vuelta en sentido horario. Estos resultados demuestran que la geometría de transformaciones incluye procesos no conmutativos .

Una aplicación entretenida de la reflexión en una línea se da en una demostración del triángulo de área un séptimo que se encuentra en cualquier triángulo.

Otra transformación que se introduce a los estudiantes jóvenes es la dilatación . Sin embargo, la reflexión en un círculo parece inapropiada para los primeros grados. Por lo tanto, la geometría inversiva , un tema más extenso que la geometría de transformaciones de primaria, suele reservarse para estudiantes universitarios.

Los experimentos con grupos de simetría concretos dan paso a la teoría de grupos abstracta . Otras actividades concretas utilizan cálculos con números complejos , números hipercomplejos o matrices para expresar la geometría de transformaciones. Estas lecciones de geometría de transformaciones presentan una perspectiva alternativa que contrasta con la geometría sintética clásica . Cuando los estudiantes se enfrentan a la geometría analítica , las ideas de rotaciones y reflexiones de coordenadas se asimilan fácilmente. Todos estos conceptos preparan para el álgebra lineal , donde se desarrolla el concepto de reflexión .

Los educadores han mostrado interés y descrito proyectos y experiencias con geometría de transformación para niños desde preescolar hasta bachillerato. En el caso de niños muy pequeños, para evitar introducir terminología nueva y establecer vínculos con la experiencia cotidiana de los estudiantes con objetos concretos, a veces se recomendaba usar palabras con las que estuvieran familiarizados, como "volteos" para reflexiones de línea, "deslizamientos" para traslaciones y "giros" para rotaciones, aunque no se trate de un lenguaje matemático preciso. En algunas propuestas, los estudiantes comienzan trabajando con objetos concretos antes de realizar las transformaciones abstractas mediante sus definiciones de una correspondencia entre cada punto de la figura. ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]}

En un intento por reestructurar los cursos de geometría en Rusia, Kolmogorov sugirió presentarla desde el punto de vista de las transformaciones, por lo que los cursos de geometría se estructuraron en base a la teoría de conjuntos . Esto dio lugar a la aparición del término "congruente" en las escuelas, para figuras que antes se denominaban "iguales": dado que una figura se consideraba un conjunto de puntos, solo podía ser igual a sí misma, y ​​se decía que dos triángulos que podían superponerse mediante isometrías eran congruentes . ^{[ 2 ]}

Un autor expresó la importancia de la teoría de grupos para la geometría de transformaciones de la siguiente manera:

Me he tomado la molestia de desarrollar desde los principios fundamentales toda la teoría de grupos que necesito, con la intención de que mi libro sirva como primera introducción a los grupos de transformación y a las nociones de teoría de grupos abstracta, en caso de que nunca las haya visto. ^{[ 7 ]}

• Quiralidad (matemáticas)
• Transformación geométrica
• Teorema de rotación de Euler
• Movimiento (geometría)
• Matriz de transformación

• Heinrich Guggenheimer (1967) Geometría plana y sus grupos , Holden-Day.
• Roger Evans Howe y William Barker (2007) Simetría continua: De Euclides a Klein , American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-3900-3.
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• Roger Lyndon (1985) Grupos y geometría , n.º 101, London Mathematical Society Lecture Note Series, Cambridge University Press ISBN 0-521-31694-4.
• PS Modenov y AS Parkhomenko (1965) Transformaciones geométricas , traducido por Michael BP Slater, Academic Press .
• George E. Martin (1982) Geometría de transformación: una introducción a la simetría , Springer Verlag .
• Isaak Yaglom (1962) Transformaciones geométricas , Random House (traducido del ruso).
• Max Jeger (1966) Geometría de la transformación (traducido del alemán).
• Notas didácticas sobre transformaciones de la Fundación Benéfica Gatsby
• Nathalie Sinclair (2008) La historia del currículo de geometría en los Estados Unidos , págs. 63–66.
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• Zalman P. Usiskin. Los efectos de la enseñanza de la geometría euclidiana mediante transformaciones en el rendimiento y las actitudes de los estudiantes en geometría de décimo grado, Journal for Research in Mathematics Education, vol. 3, n.º 4 (noviembre de 1972), págs. 249-259.
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