Triángulo de área de un séptimo

En geometría plana , un triángulo ABC contiene un triángulo que tiene un séptimo del área de ABC , el cual se forma de la siguiente manera: los lados de este triángulo se encuentran sobre las cevianas p, q, r donde

p conecta A con un punto en BC que está a un tercio de la distancia de B a C ,

q conecta B con un punto en CA que está a un tercio de la distancia de C a A ,

r conecta C con un punto en AB que está a un tercio de la distancia de A a B.

La prueba de la existencia del triángulo de área un séptimo se deduce de la construcción de seis líneas paralelas:

dos paralelas a p , una que pasa por C y la otra por qr

dos paralelas a q , una que pasa por A y la otra por rp

dos paralelas a r , una que pasa por B , la otra que pasa por pq .

La sugerencia de Hugo Steinhaus es que el triángulo (central) con lados p, q, r se refleje en sus lados y vértices. ^{[ 1 ]} Estos seis triángulos adicionales cubren parcialmente ABC y dejan seis triángulos adicionales sobresalientes fuera de ABC . Centrándonos en el paralelismo de la construcción completa (ofrecida por Martin Gardner a través de la revista en línea de James Randi ), las congruencias por pares de las piezas sobresalientes y faltantes de ABC son evidentes. Como se ve en la solución gráfica, seis más el original es igual al triángulo ABC completo . ^{[ 2 ]}

Una de las primeras demostraciones de esta construcción geométrica y cálculo de área fue presentada por Robert Potts en 1859 en su libro de texto de geometría euclidiana. ^{[ 3 ]}

Según Cook y Wood (2004), este triángulo desconcertó a Richard Feynman en una conversación durante una cena; a continuación, ofrecen cuatro pruebas diferentes. ^{[ 4 ]}

Un resultado más general se conoce como el teorema de Routh . Véase también el teorema de Marion Walter .

• HSM Coxeter (1969) Introducción a la geometría , página 211, John Wiley & Sons .