problema de valores propios no lineal

En matemáticas , un problema de autovalores no lineal , a veces llamado problema de autovalores no lineal , es una generalización del problema de autovalores (ordinario) a ecuaciones que dependen de forma no lineal del autovalor. Específicamente, se refiere a ecuaciones de la forma

$${\displaystyle M(\lambda )x=0,}$$

dónde${\displaystyle x\neq 0}$es un vector y${\displaystyle M}$es una función matricial del número${\displaystyle \lambda }$. El número${\displaystyle \lambda }$se conoce como el valor propio (no lineal) , el vector${\displaystyle x}$como el vector propio (no lineal) y${\displaystyle (\lambda ,x)}$como el par propio . La matriz${\displaystyle M(\lambda )}$es singular en un valor propio${\displaystyle \lambda }$.

En la disciplina del álgebra lineal numérica se suele utilizar la siguiente definición. ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}

Dejar${\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {C} }$y dejar${\displaystyle M:\Omega \rightarrow \mathbb {C} ^{n\times n}}$ser una función que mapea escalares a matrices. Un escalar${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$se denomina valor propio y vector distinto de cero${\displaystyle x\in \mathbb {C} ^{n}}$se denomina vector propio derecho si${\displaystyle M(\lambda )x=0}$Además, un vector distinto de cero${\displaystyle y\in \mathbb {C} ^{n}}$se denomina vector propio izquierdo si${\displaystyle y^{H}M(\lambda )=0^{H}}$, donde el superíndice${\displaystyle ^{H}}$denota la transpuesta hermitiana . La definición del valor propio es equivalente a${\displaystyle \det(M(\lambda ))=0}$, dónde${\displaystyle \det()}$denota el determinante . ^{[ 1 ]}

La función${\displaystyle M}$Por lo general, se requiere que sea una función holomorfa de${\displaystyle \lambda }$(en algún dominio)${\displaystyle \Omega }$).

En general,${\displaystyle M(\lambda )}$Podría ser una aplicación lineal , pero lo más común es que sea una matriz de dimensión finita, generalmente cuadrada.

Definición: Se dice que el problema es regular si existe un${\displaystyle z\in \Omega }$de tal manera que${\displaystyle \det(M(z))\neq 0}$. De lo contrario se dice que es singular . ^{[ 1 ] [ 4 ]}

Definición: Un valor propio${\displaystyle \lambda }$ Se dice que tiene multiplicidad algebraica.${\displaystyle k}$si${\displaystyle k}$es el entero más pequeño tal que el${\displaystyle k}$derivada de​${\displaystyle \det(M(z))}$con respecto a${\displaystyle z}$, en${\displaystyle \lambda }$es distinto de cero. En fórmulas que${\displaystyle \left.{\frac {d^{k}\det(M(z))}{dz^{k}}}\right|_{z=\lambda }\neq 0}$ pero ${\displaystyle \left.{\frac {d^{\ell }\det(M(z))}{dz^{\ell }}}\right|_{z=\lambda }=0}$ para${\displaystyle \ell =0,1,2,\dots ,k-1}$. ^{[ 1 ] [ 4 ]}

Definición: La multiplicidad geométrica de un valor propio.${\displaystyle \lambda }$ es la dimensión del espacio nulo de${\displaystyle M(\lambda )}$. ^{[ 1 ] [ 4 ]}

Los siguientes ejemplos son casos especiales del problema de valores propios no lineal.

• El problema de valores propios (ordinario) :${\displaystyle M(\lambda )=A-\lambda I.}$
• El problema generalizado de valores propios :${\displaystyle M(\lambda )=A-\lambda B.}$
• El problema de valores propios cuadráticos :${\displaystyle M(\lambda )=A_{0}+\lambda A_{1}+\lambda ^{2}A_{2}.}$
• El problema de los valores propios polinómicos:${\displaystyle M(\lambda )=\sum _{i=0}^{m}\lambda ^{i}A_{i}.}$
• El problema de los valores propios racionales:${\displaystyle M(\lambda )=\sum _{i=0}^{m_{1}}A_{i}\lambda ^{i}+\sum _{i=1}^{m_{2}}B_{i}r_{i}(\lambda ),}$dónde${\displaystyle r_{i}(\lambda )}$son funciones racionales .
• El problema de los valores propios con retardo :${\displaystyle M(\lambda )=-I\lambda +A_{0}+\sum _{i=1}^{m}A_{i}e^{-\tau _{i}\lambda },}$dónde${\displaystyle \tau _{1},\tau _{2},\dots,\tau _{m}}$Se les asignan valores escalares, conocidos como retardos.

Definición: Deje${\displaystyle (\lambda _{0},x_{0})}$ser un par propio. Una tupla de vectores${\displaystyle (x_{0},x_{1},\dots ,x_{r-1})\in \mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {C} ^{n}\times \dots \times \mathbb {C} ^{n}}$se llama cadena Jordan si$${\displaystyle \sum _{k=0}^{\ell }M^{(k)}(\lambda _{0})x_{\ell -k}=0,}$$para${\displaystyle \ell =0,1,\dots ,r-1}$, dónde${\displaystyle M^{(k)}(\lambda _{0})}$denota el${\displaystyle k}$derivada de​${\displaystyle M}$con respecto a${\displaystyle \lambda }$y evaluado en${\displaystyle \lambda =\lambda _ {0}}$. Los vectores${\displaystyle x_{0},x_{1},\dots ,x_{r-1}}$se denominan autovectores generalizados ,${\displaystyle r}$se denomina longitud de la cadena de Jordan, y la longitud máxima de una cadena de Jordan que comienza con${\displaystyle x_{0}}$se llama el rango de${\displaystyle x_{0}}$. ^{[ 1 ] [ 4 ]}

Teorema: ^{[ 1 ]} Una tupla de vectores${\displaystyle (x_{0},x_{1},\dots ,x_{r-1})\in \mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {C} ^{n}\times \dots \times \mathbb {C} ^{n}}$es una cadena de Jordan si y solo si la función${\displaystyle M(\lambda )\chi _{\ell }(\lambda )}$tiene raíz en${\displaystyle \lambda =\lambda _ {0}}$y la raíz es de multiplicidad al menos${\displaystyle \ell }$para${\displaystyle \ell =0,1,\dots ,r-1}$donde la función con valores vectoriales${\displaystyle \chi _{\ell }(\lambda )}$se define como$${\displaystyle \chi _{\ell }(\lambda )=\sum _{k=0}^{\ell }x_{k}(\lambda -\lambda _{0})^{k}.}$$

• El paquete de resolución de valores propios SLEPc contiene implementaciones en C de muchos métodos numéricos para problemas de valores propios no lineales. ^{[ 5 ]}
• La colección NLEVP de problemas de valores propios no lineales es un paquete de MATLAB que contiene muchos problemas de valores propios no lineales con diversas propiedades. ^{[ 6 ]}
• El solucionador de valores propios FEAST es un paquete de software para problemas de valores propios estándar, así como para problemas de valores propios no lineales, diseñado a partir de la representación de la matriz de densidad en mecánica cuántica combinada con técnicas de integración de contorno. ^{[ 7 ]}
• La caja de herramientas NLEIGS de MATLAB contiene una implementación del algoritmo de Krylov totalmente racional con un interpolante racional construido dinámicamente. ^{[ 8 ]}
• La caja de herramientas CORK de MATLAB contiene una implementación del algoritmo de Krylov racional compacto que explota la estructura de Kronecker de los haces de linealización. ^{[ 9 ]}
• La caja de herramientas AAA-EIGS de MATLAB contiene una implementación de CORK con aproximación racional mediante AAA con valores de conjunto. ^{[ 10 ]}
• La caja de herramientas de MATLAB RKToolbox (Rational Krylov Toolbox) contiene implementaciones del método de Krylov racional para problemas de valores propios no lineales, así como características para la aproximación racional. ^{[ 11 ]}
• El paquete Julia NEP-PACK contiene muchas implementaciones de varios métodos numéricos para problemas de valores propios no lineales, así como muchos problemas de referencia. ^{[ 12 ]}
• El artículo de revisión de Güttel y Tisseur ^{[ 1 ]} contiene fragmentos de código MATLAB que implementan métodos básicos de tipo Newton y métodos de integración de contorno para problemas de valores propios no lineales.

Las no linealidades de vector propio son una forma relacionada, pero diferente, de no linealidad que a veces se estudia. En este caso, la función${\displaystyle M}$mapea vectores a matrices, o a veces matrices hermíticas a matrices hermíticas. ^{[ 13 ] [ 14 ]}

• Françoise Tisseur y Karl Meerbergen, "El problema del valor propio cuadrático", SIAM Review 43 (2), 235–286 (2001) ( enlace ).
• Gene H. Golub y Henk A. van der Vorst, "Cálculo de valores propios en el siglo XX", Journal of Computational and Applied Mathematics 123 , 35–65 (2000).
• Philippe Guillaume, "Problemas propios no lineales", Revista SIAM sobre análisis y aplicaciones de matrices 20 (3), 575–595 (1999) ( enlace ).
• Cedric Effenberger, " Métodos de solución robustos para problemas de valores propios no lineales ", tesis doctoral EPFL (2013) ( enlace )
• Roel Van Beeumen, " Métodos de Krylov racionales para problemas de valores propios no lineales ", tesis doctoral KU Leuven (2015) ( enlace )