vector propio generalizado

En álgebra lineal , un vector propio generalizado de un $n\times n$ matriz $A$ es un vector que satisface ciertos criterios que son más relajados que los de un vector propio (ordinario) . ^{[ 1 ]}

Dejar $V$ frijol $n$ espacio vectorial de dimensión y sea $A$ sea la representación matricial de un mapeo lineal desde $V$ a $V$ con respecto a alguna base ordenada .

Puede que no siempre exista un conjunto completo de $n$ autovectores linealmente independientes de $A$ que forman una base completa para $V$ . Es decir, la matriz $A$ puede que no sea diagonalizable . ^{[ 2 ]}^{[ 3 ]} Esto ocurre cuando la multiplicidad algebraica de al menos un valor propio es $\lambda _{i}$ es mayor que su multiplicidad geométrica (la nulidad de la matriz $(A-\lambda _{i}I)$ , o la dimensión de su espacio nulo ). En este caso, $\lambda _{i}$ se denomina valor propio defectuoso y $A$ se denomina matriz defectuosa . ^{[ 4 ]}

Un vector propio generalizado $x_{i}$ correspondiente a $\lambda _{i}$ , junto con la matriz $(A-\lambda _{i}I)$ generar una cadena de Jordan de autovectores generalizados linealmente independientes que forman una base para un subespacio invariante de $V$ . ^{[ 5 ]}^{[ 6 ]}^{[ 7 ]}

Utilizando autovectores generalizados, un conjunto de autovectores linealmente independientes de $A$ puede extenderse, si es necesario, a una base completa para $V$ . ^{[ 8 ]} Esta base se puede utilizar para determinar una "matriz casi diagonal". $J$ en forma normal de Jordania , similar a $A$ , que resulta útil para calcular ciertas funciones matriciales de $A$ . ^{[ 9 ]} La matriz $J$ También es útil para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales. $\mathbf {x} '=A\mathbf {x},$ dónde $A$ no es necesario que sea diagonalizable. ^{[ 10 ]}^{[ 11 ]}

La dimensión del espacio propio generalizado correspondiente a un valor propio dado $\lambda$ es la multiplicidad algebraica de $\lambda$ . ^{[ 12 ]}

Descripción general y definición

Hay varias formas equivalentes de definir un vector propio ordinario . ^{[ 13 ]}^{[ 14 ]}^{[ 15 ]}^{[ 16 ]}^{[ 17 ]}^{[ 18 ]}^{[ 19 ]}^{[ 20 ]} Para nuestros propósitos, un vector propio $\mathbf {u}$ asociado a un valor propio $\lambda$ de un $n$ × $n$ matriz $A$ es un vector distinto de cero para el cual $(A-\lambda I)\mathbf {u} =\mathbf {0}$ , dónde $I$ es el $n$ × $n$ matriz identidad y $\mathbf {0}$ es el vector cero de longitud $n$ . ^{[ 21 ]} Es decir, $\mathbf {u}$ está en el núcleo de la transformación $(A-\lambda I)$ . Si $A$ tiene $n$ vectores propios linealmente independientes, entonces $A$ es similar a una matriz diagonal $D$ . Es decir, existe una matriz invertible $M$ de tal manera que $A$ es diagonalizable a través de la transformación de similitud $D=M^{-1}AM$ . ^{[ 22 ]}^{[ 23 ]} La matriz $D$ se denomina matriz espectral para $A$ La matriz $M$ se denomina matriz modal para $A$ . ^{[ 24 ]} Las matrices diagonalizables son de particular interés ya que sus funciones matriciales se pueden calcular fácilmente. ^{[ 25 ]}

Por otro lado, si $A$ no tiene $n$ entonces los autovectores linealmente independientes asociados a él $A$ no es diagonalizable. ^{[ 26 ]}^{[ 27 ]}

Definición: Un vector $\mathbf {x} _{m}$ es un vector propio generalizado de rango m de la matriz $A$ y correspondiente al valor propio $\lambda$ si

(A-\lambda I)^{m}\mathbf {x} _{m}=\mathbf {0}

pero

(A-\lambda I)^{m-1}\mathbf {x} _{m}\neq \mathbf {0} .

^{[ 28 ]}

Claramente, un vector propio generalizado de rango 1 es un vector propio ordinario. ^{[ 29 ]} Cada $n$ × $n$ matriz $A$ tiene $n$ vectores propios generalizados linealmente independientes asociados a ella y se puede demostrar que son similares a una matriz "casi diagonal". $J$ en forma normal de Jordan. ^{[ 30 ]} Es decir, existe una matriz invertible $M$ de tal manera que $J=M^{-1}AM$ . ^{[ 31 ]} La matriz $M$ en este caso se denomina matriz modal generalizada para $A$ . ^{[ 32 ]} Si $\lambda$ es un valor propio de multiplicidad algebraica $\mu$ , entonces $A$ tendrá $\mu$ autovectores generalizados linealmente independientes correspondientes a $\lambda$ . ^{[ 33 ]} Estos resultados, a su vez, proporcionan un método sencillo para calcular ciertas funciones matriciales de $A$ . ^{[ 34 ]}

Nota: Para un $n\times n$ matriz $A$ sobre un campo $F$ para ser expresado en forma normal de Jordan, todos los valores propios de $A$ debe estar en $F$ . Es decir, el polinomio característico $f(x)$ debe ser completamente factorizado en factores lineales; $F$ debe ser un cuerpo algebraicamente cerrado. Por ejemplo, si $A$ tiene elementos de valor real , entonces puede ser necesario que los valores propios y las componentes de los vectores propios tengan valores complejos . ^{[ 35 ]}^{[ 36 ]}^{[ 37 ]}

El conjunto generado por todos los autovectores generalizados para un dado $\lambda$ forma el espacio propio generalizado para $\lambda$ . ^{[ 38 ]}

Ejemplos

Aquí se presentan algunos ejemplos para ilustrar el concepto de autovectores generalizados. Algunos detalles se describirán más adelante.

Ejemplo 1

Este ejemplo es simple pero ilustra claramente el punto. Este tipo de matriz se usa con frecuencia en los libros de texto. ^{[ 39 ]}^{[ 40 ]}^{[ 41 ]} Supongamos

A={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}.

Entonces solo hay un valor propio, $\lambda =1$ y su multiplicidad algebraica es $m=2$ .

Nótese que esta matriz está en forma normal de Jordan pero no es diagonal . Por lo tanto, esta matriz no es diagonalizable. Dado que hay una entrada superdiagonal , habrá un vector propio generalizado de rango mayor que 1 (o se podría notar que el espacio vectorial $V$ es de dimensión 2, por lo que puede haber como máximo un vector propio generalizado de rango mayor que 1). Alternativamente, se podría calcular la dimensión del espacio nulo de $A-\lambda I$ ser $p=1$ y por lo tanto hay $mp=1$ autovectores generalizados de rango mayor que 1.

El vector propio ordinario $\mathbf {v} _{1}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$ se calcula como de costumbre (consulte la página de autovectores para ver ejemplos). Usando este autovector, calculamos el autovector generalizado. $\mathbf {v} _{2}$ resolviendo

(A-\lambda I)\mathbf {v} _{2}=\mathbf {v} _{1}.

Escribir los valores:

\left({\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}-1{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\right){\begin{pmatrix}v_{21}\\v_{22}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{21}\\v_{22}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}.

Esto se simplifica a

v_{22}=1.

El elemento $v_{21}$ no tiene restricciones. El vector propio generalizado de rango 2 es entonces $\mathbf {v} _{2}={\begin{pmatrix}a\\1\end{pmatrix}}$ donde a puede tener cualquier valor escalar. La elección de a = 0 suele ser la más sencilla.

Tenga en cuenta que

(A-\lambda I)\mathbf {v} _{2}={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}=\mathbf {v} _{1},

de modo que $\mathbf {v} _{2}$ es un vector propio generalizado, porque

(A-\lambda I)^{2}\mathbf {v} _{2}=(A-\lambda I)[(A-\lambda I)\mathbf {v} _{2}]=(A-\lambda I)\mathbf {v} _{1}={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}=\mathbf {0} ,

de modo que $\mathbf {v} _{1}$ es un vector propio ordinario, y que $\mathbf {v} _{1}$ y $\mathbf {v} _{2}$ son linealmente independientes y, por lo tanto, constituyen una base para el espacio vectorial. $V$ .

Ejemplo 2

Este ejemplo es más complejo que el Ejemplo 1. Desafortunadamente, es un poco difícil construir un ejemplo interesante de orden bajo. ^{[ 42 ]} La matriz

A={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0\\3&1&0&0&0\\6&3&2&0&0\\10&6&3&2&0\\15&10&6&3&2\end{pmatrix}}

tiene valores propios $\lambda _{1}=1$ y $\lambda _{2}=2$ con multiplicidades algebraicas $\mu _{1}=2$ y $\mu _{2}=3$ pero multiplicidades geométricas $\gamma _{1}=1$ y $\gamma _{2}=1$ .

Los autoespacios generalizados de $A$ se calculan a continuación. $\mathbf {x} _{1}$ es el vector propio ordinario asociado con $\lambda _{1}$ . $\mathbf {x} _{2}$ es un vector propio generalizado asociado con $\lambda _{1}$ . $\mathbf {y} _{1}$ es el vector propio ordinario asociado con $\lambda _{2}$ . $\mathbf {y} _{2}$ y $\mathbf {y} _{3}$ son vectores propios generalizados asociados con $\lambda _{2}$ .

(A-1I)\mathbf {x} _{1}={\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\3&0&0&0&0\\6&3&1&0&0\\10&6&3&1&0\\15&10&6&3&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\3\\-9\\9\\-3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}=\mathbf {0} ,

(A-1I)\mathbf {x} _{2}={\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\3&0&0&0&0\\6&3&1&0&0\\10&6&3&1&0\\15&10&6&3&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\-15\\30\\-1\\-45\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\3\\-9\\9\\-3\end{pmatrix}}=\mathbf {x} _{1},

(A-2I)\mathbf {y} _{1}={\begin{pmatrix}-1&0&0&0&0\\3&-1&0&0&0\\6&3&0&0&0\\10&6&3&0&0\\15&10&6&3&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\9\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}=\mathbf {0} ,

(A-2I)\mathbf {y} _{2}={\begin{pmatrix}-1&0&0&0&0\\3&-1&0&0&0\\6&3&0&0&0\\10&6&3&0&0\\15&10&6&3&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\3\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\9\end{pmatrix}}=\mathbf {y} _{1},

(A-2I)\mathbf {y} _{3}={\begin{pmatrix}-1&0&0&0&0\\3&-1&0&0&0\\6&3&0&0&0\\10&6&3&0&0\\15&10&6&3&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\0\\1\\-2\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\3\\0\end{pmatrix}}=\mathbf {y} _{2}.

Esto da como resultado una base para cada uno de los autoespacios generalizados de $A$ . Juntas, las dos cadenas de autovectores generalizados abarcan el espacio de todos los vectores columna de 5 dimensiones.

\left\{\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2}\right\}=\left\{{\begin{pmatrix}0\\3\\-9\\9\\-3\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\-15\\30\\-1\\-45\end{pmatrix}}\right\},\left\{\mathbf {y} _{1},\mathbf {y} _{2},\mathbf {y} _{3}\right\}=\left\{{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\9\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\3\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\1\\-2\\0\end{pmatrix}}\right\}.

Una matriz "casi diagonal" $J$ en forma normal de Jordania , similar a $A$ se obtiene de la siguiente manera:

M={\begin{pmatrix}\mathbf {x} _{1}&\mathbf {x} _{2}&\mathbf {y} _{1}&\mathbf {y} _{2}&\mathbf {y} _{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1&0&0&0\\3&-15&0&0&0\\-9&30&0&0&1\\9&-1&0&3&-2\\-3&-45&9&0&0\end{pmatrix}},

J={\begin{pmatrix}1&1&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&2&1&0\\0&0&0&2&1\\0&0&0&0&2\end{pmatrix}},

dónde $M$ es una matriz modal generalizada para $A$ , las columnas de $M$ son una base canónica para $A$ , y $AM=MJ$ . ^{[ 43 ]}

Cadenas Jordan

Definición: Deje $\mathbf {x} _{m}$ sea un vector propio generalizado de rango m correspondiente a la matriz $A$ y el valor propio $\lambda$ . La cadena generada por $\mathbf {x} _{m}$ es un conjunto de vectores $\left\{\mathbf {x} _{m},\mathbf {x} _{m-1},\dots ,\mathbf {x} _{1}\right\}$ dado por

dónde $\mathbf {x} _{1}$ es siempre un vector propio ordinario con un valor propio dado. $\lambda$ . Por lo tanto, en general,

El vector $\mathbf {x} _{j}$ , dado por ( 2 ), es un vector propio generalizado de rango j que corresponde al valor propio $\lambda$ Una cadena es un conjunto de vectores linealmente independientes. ^{[ 44 ]}

Base canónica

Definición: Un conjunto de n autovectores generalizados linealmente independientes es una base canónica si está compuesto enteramente por cadenas de Jordan.

Así, una vez que hemos determinado que un vector propio generalizado de rango m está en una base canónica, se deduce que los m − 1 vectores $\mathbf {x} _{m-1},\mathbf {x} _{m-2},\ldots ,\mathbf {x} _{1}$ que se encuentran en la cadena de Jordan generada por $\mathbf {x} _{m}$ También están en la base canónica. ^{[ 45 ]}

Dejar $\lambda _{i}$ ser un valor propio de $A$ de multiplicidad algebraica $\mu _{i}$ Primero, halla los rangos (rangos de matriz) de las matrices $(A-\lambda _{i}I),(A-\lambda _{i}I)^{2},\ldots ,(A-\lambda _{i}I)^{m_{i}}$ . El número entero $m_{i}$ se determina que es el primer número entero para el cual $(A-\lambda _{i}I)^{m_{i}}$ tiene rango $n-\mu _{i}$ ( donde n es el número de filas o columnas de $A$ , eso es, $A$ es n × n ).

Ahora define

\rho _{k}=\operatorname {rank} (A-\lambda _{i}I)^{k-1}-\operatorname {rank} (A-\lambda _{i}I)^{k}\qquad (k=1,2,\ldots ,m_{i}).

La variable $\rho _{k}$ designa el número de autovectores generalizados linealmente independientes de rango k correspondientes al autovalor $\lambda _{i}$ que aparecerá en una base canónica para $A$ . Tenga en cuenta que

\operatorname {rank} (A-\lambda _{i}I)^{0}=\operatorname {rank} (I)=n

. ^{[ 46 ]}

Cálculo de autovectores generalizados

En las secciones anteriores hemos visto técnicas para obtener la $n$ autovectores generalizados linealmente independientes de una base canónica para el espacio vectorial $V$ asociado con un $n\times n$ matriz $A$ Estas técnicas se pueden combinar en un procedimiento:

Resuelva la ecuación característica de

A

para valores propios

\lambda _{i}

y sus multiplicidades algebraicas

\mu _{i}

;

Para cada

\lambda _{i}:

Determinar

n-\mu _{i}

;

Determinar

m_{i}

;

Determinar

\rho _{k}

para

(k=1,\ldots ,m_{i})

;

Determina cada cadena de Jordan para

\lambda _{i}

;

Ejemplo 3

La matriz

A={\begin{pmatrix}5&1&-2&4\\0&5&2&2\\0&0&5&3\\0&0&0&4\end{pmatrix}}

tiene un valor propio $\lambda _{1}=5$ de multiplicidad algebraica $\mu _{1}=3$ y un valor propio $\lambda _{2}=4$ de multiplicidad algebraica $\mu _{2}=1$ También tenemos $n=4$ . Para $\lambda _{1}$ tenemos $n-\mu _{1}=4-3=1$ .

(A-5I)={\begin{pmatrix}0&1&-2&4\\0&0&2&2\\0&0&0&3\\0&0&0&-1\end{pmatrix}},\qquad \operatorname {rank} (A-5I)=3.

(A-5I)^{2}={\begin{pmatrix}0&0&2&-8\\0&0&0&4\\0&0&0&-3\\0&0&0&1\end{pmatrix}},\qquad \operatorname {rank} (A-5I)^{2}=2.

(A-5I)^{3}={\begin{pmatrix}0&0&0&14\\0&0&0&-4\\0&0&0&3\\0&0&0&-1\end{pmatrix}},\qquad \operatorname {rank} (A-5I)^{3}=1.

El primer número entero $m_{1}$ para qué $(A-5I)^{m_{1}}$ tiene rango $n-\mu _{1}=1$ es $m_{1}=3$ .

Ahora definimos

\rho _{3}=\operatorname {rank} (A-5I)^{2}-\operatorname {rank} (A-5I)^{3}=2-1=1,

\rho _{2}=\operatorname {rank} (A-5I)^{1}-\operatorname {rank} (A-5I)^{2}=3-2=1,

\rho _{1}=\operatorname {rank} (A-5I)^{0}-\operatorname {rank} (A-5I)^{1}=4-3=1.

En consecuencia, habrá tres autovectores generalizados linealmente independientes; uno de rango 3, uno de rango 2 y uno de rango 1. Dado que $\lambda _{1}$ corresponde a una única cadena de tres autovectores generalizados linealmente independientes, sabemos que hay un autovector generalizado $\mathbf {x} _{3}$ de rango 3 correspondiente a $\lambda _{1}$ de tal manera que

pero

Las ecuaciones ( 3 ) y ( 4 ) representan sistemas lineales que pueden resolverse para $\mathbf {x} _{3}$ . Dejar

\mathbf {x} _{3}={\begin{pmatrix}x_{31}\\x_{32}\\x_{33}\\x_{34}\end{pmatrix}}.

Entonces

(A-5I)^{3}\mathbf {x} _{3}={\begin{pmatrix}0&0&0&14\\0&0&0&-4\\0&0&0&3\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{31}\\x_{32}\\x_{33}\\x_{34}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}14x_{34}\\-4x_{34}\\3x_{34}\\-x_{34}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}

y

(A-5I)^{2}\mathbf {x} _{3}={\begin{pmatrix}0&0&2&-8\\0&0&0&4\\0&0&0&-3\\0&0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{31}\\x_{32}\\x_{33}\\x_{34}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2x_{33}-8x_{34}\\4x_{34}\\-3x_{34}\\x_{34}\end{pmatrix}}\neq {\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}.

Por lo tanto, para satisfacer las condiciones ( 3 ) y ( 4 ), debemos tener $x_{34}=0$ y $x_{33}\neq 0$ No se imponen restricciones a $x_{31}$ y $x_{32}$ . Al elegir $x_{31}=x_{32}=x_{34}=0,x_{33}=1$ , obtenemos

\mathbf {x} _{3}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}}

como un vector propio generalizado de rango 3 correspondiente a $\lambda _{1}=5$ . Nótese que es posible obtener infinitos otros autovectores generalizados de rango 3 eligiendo diferentes valores de $x_{31}$ , $x_{32}$ y $x_{33}$ , con $x_{33}\neq 0$ . Sin embargo, nuestra primera opción es la más sencilla. ^{[ 47 ]}

Ahora, usando las ecuaciones ( 1 ), obtenemos $\mathbf {x} _{2}$ y $\mathbf {x} _{1}$ como autovectores generalizados de rango 2 y 1, respectivamente, donde

\mathbf {x} _{2}=(A-5I)\mathbf {x} _{3}={\begin{pmatrix}-2\\2\\0\\0\end{pmatrix}},

y

\mathbf {x} _{1}=(A-5I)\mathbf {x} _{2}={\begin{pmatrix}2\\0\\0\\0\end{pmatrix}}.

El valor propio simple $\lambda _{2}=4$ puede tratarse utilizando técnicas estándar y tiene un vector propio ordinario

\mathbf {y} _{1}={\begin{pmatrix}-14\\4\\-3\\1\end{pmatrix}}.

Una base canónica para $A$ es

\left\{\mathbf {x} _{3},\mathbf {x} _{2},\mathbf {x} _{1},\mathbf {y} _{1}\right\}=\left\{{\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-2\\2\\0\\0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2\\0\\0\\0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-14\\4\\-3\\1\end{pmatrix}}\right\}.

$\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2}$ y $\mathbf {x} _{3}$ son vectores propios generalizados asociados con $\lambda _{1}$ , mientras $\mathbf {y} _{1}$ es el vector propio ordinario asociado con $\lambda _{2}$ .

Este es un ejemplo bastante simple. En general, los números $\rho _{k}$ de autovectores generalizados linealmente independientes de rango $k$ no siempre serán iguales. Es decir, puede haber varias cadenas de diferentes longitudes que correspondan a un valor propio particular. ^{[ 48 ]}

Matriz modal generalizada

Dejar $A$ Sea una matriz n × n . Una matriz modal generalizada . $M$ para $A$ es una matriz n × n cuyas columnas, consideradas como vectores, forman una base canónica para $A$ y aparecen en $M$ Según las siguientes reglas:

Todas las cadenas de Jordan que constan de un vector (es decir, un vector de longitud) aparecen en las primeras columnas de $M$ .
Todos los vectores de una cadena aparecen juntos en columnas adyacentes de $M$ .
Cada cadena aparece en $M$ en orden de rango creciente (es decir, el vector propio generalizado de rango 1 aparece antes que el vector propio generalizado de rango 2 de la misma cadena, que aparece antes que el vector propio generalizado de rango 3 de la misma cadena, etc.). ^{[ 49 ]}

Jordan forma normal

{\begin{bmatrix}{\color {red}\ulcorner }\lambda _{1}1{\hphantom {\lambda _{1}\lambda _{1}}}{\color {red}\urcorner }{\hphantom {\ulcorner \lambda _{2}1\lambda _{2}\urcorner [\lambda _{3}]\ddots \ulcorner \lambda _{n}1\lambda _{n}\urcorner }}\\{\hphantom {\ulcorner \lambda _{1}1}}\lambda _{1}1{\hphantom {\lambda _{1}\urcorner \ulcorner \lambda _{2}1\lambda _{2}\urcorner [\lambda _{3}]\ddots \ulcorner \lambda _{n}1\lambda _{n}\urcorner }}\\{\color {red}\llcorner }{\hphantom {\lambda _{1}1\lambda _{1}}}\lambda _{1}{\color {red}\lrcorner }{\hphantom {\ulcorner \lambda _{2}1\lambda _{2}\urcorner [\lambda _{3}]\ddots \ulcorner \lambda _{n}1\lambda _{n}\urcorner }}\\{\hphantom {\ulcorner \lambda _{1}1\lambda _{1}1\lambda _{1}\urcorner }}{\color {red}\ulcorner }\lambda _{2}1{\hphantom {n}}{\color {red}\urcorner }{\hphantom {[\lambda _{3}]\ddots \ulcorner \lambda _{n}1\lambda _{n}\urcorner }}\\{\hphantom {\ulcorner \lambda _{1}1\lambda _{1}1\lambda _{1}\lrcorner }}{\color {red}\llcorner }{\hphantom {\lambda _{2}}}\lambda _{2}{\color {red}\lrcorner }{\hphantom {[\lambda _{3}]\ddots \ulcorner \lambda _{n}1\lambda _{n}\urcorner }}\\{\hphantom {\ulcorner \lambda _{1}1\lambda _{1}1\lambda _{1}\urcorner \ulcorner \lambda _{2}1\lambda _{2}\urcorner }}{\color {red}[}\lambda _{3}{\color {red}]}{\hphantom {\ddots \ulcorner \lambda _{n}1\lambda _{n}\urcorner }}\\{\hphantom {\ulcorner \lambda _{1}1\lambda _{1}1\lambda _{1}\urcorner \ulcorner \lambda _{2}1\lambda _{2}\urcorner [\lambda _{3}]}}\ddots {\hphantom {\ulcorner \lambda _{n}1\lambda _{n}\urcorner }}\\{\hphantom {\ulcorner \lambda _{1}1\lambda _{1}1\lambda _{1}\urcorner \ulcorner \lambda _{2}1\lambda _{2}\urcorner [\lambda _{3}]\ddots }}{\color {red}\ulcorner }\lambda _{n}1{\hphantom {n}}{\color {red}\urcorner }\\{\hphantom {\llcorner \lambda _{1}1\lambda _{1}1\lambda _{1}\urcorner \ulcorner \lambda _{2}1\lambda _{2}\urcorner [\lambda _{3}]\ddots }}{\color {red}\llcorner }{\hphantom {\lambda _{n}}}\lambda _{n}{\color {red}\lrcorner }\end{bmatrix}}

Ejemplo de una matriz en forma normal de Jordan. Los bloques rojos se denominan bloques de Jordan.

Dejar $V$ Sea un espacio vectorial n -dimensional; $\phi$ sea una aplicación lineal en $L (V)$ , el conjunto de todas las aplicaciones lineales desde $V$ en sí mismo; y dejar $A$ sea la representación matricial de $\phi$ con respecto a alguna base ordenada. Se puede demostrar que si el polinomio característico $f(\lambda )$ de $A$ factores en factores lineales, de modo que $f(\lambda )$ tiene la forma

f(\lambda )=\pm (\lambda -\lambda _{1})^{\mu _{1}}(\lambda -\lambda _{2})^{\mu _{2}}\cdots (\lambda -\lambda _{r})^{\mu _{r}},

dónde $\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{r}$ son los valores propios distintos de $A$ , luego cada uno $\mu _{i}$ es la multiplicidad algebraica de su autovalor correspondiente $\lambda _{i}$ y $A$ es similar a una matriz $J$ en forma normal de Jordania , donde cada $\lambda _{i}$ aparece $\mu _{i}$ veces consecutivas en la diagonal, y la entrada directamente encima de cada $\lambda _{i}$ (es decir, en la superdiagonal ) es 0 o 1: en cada bloque la entrada sobre la primera aparición de cada $\lambda _{i}$ siempre es 0 (excepto en el primer bloque); todas las demás entradas en la superdiagonal son 1. Todas las demás entradas (es decir, fuera de la diagonal y la superdiagonal) son 0. (Pero no se impone ningún orden entre los valores propios, ni entre los bloques para un valor propio dado). La matriz $J$ es lo más cerca que se puede estar de una diagonalización de $A$ . Si $A$ Si es diagonalizable, entonces todas las entradas por encima de la diagonal son cero. ^{[ 50 ]} Nótese que algunos libros de texto tienen las que están en la subdiagonal , es decir, inmediatamente debajo de la diagonal principal en lugar de en la superdiagonal. Los autovalores siguen estando en la diagonal principal. ^{[ 51 ]}^{[ 52 ]}

Cada matriz n × n $A$ es similar a una matriz $J$ en forma normal de Jordan, obtenida a través de la transformación de similitud $J=M^{-1}AM$ , dónde $M$ es una matriz modal generalizada para $A$ . ^{[ 53 ]} (Véase la nota anterior.)

Ejemplo 4

Encuentra una matriz en forma normal de Jordan que sea similar a

A={\begin{pmatrix}0&4&2\\-3&8&3\\4&-8&-2\end{pmatrix}}.

Solución: La ecuación característica de $A$ es $(\lambda -2)^{3}=0$ , por eso, $\lambda =2$ es un autovalor de multiplicidad algebraica tres. Siguiendo los procedimientos de las secciones anteriores, encontramos que

\operatorname {rank} (A-2I)=1

y

\operatorname {rank} (A-2I)^{2}=0=n-\mu .

De este modo, $\rho _{2}=1$ y $\rho _{1}=2$ , lo que implica que una base canónica para $A$ contendrá un vector propio generalizado linealmente independiente de rango 2 y dos vectores propios generalizados linealmente independientes de rango 1, o equivalentemente, una cadena de dos vectores. $\left\{\mathbf {x} _{2},\mathbf {x} _{1}\right\}$ y una cadena de un vector $\left\{\mathbf {y} _{1}\right\}$ . Designación $M={\begin{pmatrix}\mathbf {y} _{1}&\mathbf {x} _{1}&\mathbf {x} _{2}\end{pmatrix}}$ , encontramos que

M={\begin{pmatrix}2&2&0\\1&3&0\\0&-4&1\end{pmatrix}},

y

J={\begin{pmatrix}2&0&0\\0&2&1\\0&0&2\end{pmatrix}},

dónde $M$ es una matriz modal generalizada para $A$ , las columnas de $M$ son una base canónica para $A$ , y $AM=MJ$ . ^{[ 54 ]} Nótese que dado que los autovectores generalizados no son únicos, y dado que algunas de las columnas de ambos $M$ y $J$ pueden ser intercambiados, por lo tanto, ambos $M$ y $J$ no son únicos. ^{[ 55 ]}

Ejemplo 5

En el Ejemplo 3 , encontramos una base canónica de autovectores generalizados linealmente independientes para una matriz $A$ . Una matriz modal generalizada para $A$ es

M={\begin{pmatrix}\mathbf {y} _{1}&\mathbf {x} _{1}&\mathbf {x} _{2}&\mathbf {x} _{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-14&2&-2&0\\4&0&2&0\\-3&0&0&1\\1&0&0&0\end{pmatrix}}.

Una matriz en forma normal de Jordan, similar a $A$ es

J={\begin{pmatrix}4&0&0&0\\0&5&1&0\\0&0&5&1\\0&0&0&5\end{pmatrix}},

de modo que $AM=MJ$ .

Aplicaciones

funciones matriciales

Tres de las operaciones más fundamentales que se pueden realizar en matrices cuadradas son la suma de matrices, la multiplicación por un escalar y la multiplicación de matrices. ^{[ 56 ]} Estas son precisamente las operaciones necesarias para definir una función polinómica de una matriz n × n. $A$ . ^{[ 57 ]} Si recordamos del cálculo básico que muchas funciones pueden escribirse como una serie de Maclaurin , entonces podemos definir funciones más generales de matrices con bastante facilidad. ^{[ 58 ]} Si $A$ es diagonalizable, es decir

D=M^{-1}AM,

con

D={\begin{pmatrix}\lambda _{1}&0&\cdots &0\\0&\lambda _{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{n}\end{pmatrix}},

entonces

D^{k}={\begin{pmatrix}\lambda _{1}^{k}&0&\cdots &0\\0&\lambda _{2}^{k}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{n}^{k}\end{pmatrix}}

y la evaluación de la serie de Maclaurin para funciones de $A$ se simplifica enormemente. ^{[ 59 ]} Por ejemplo, para obtener cualquier potencia k de $A$ , solo necesitamos calcular $D^{k}$ , premultiplicar $D^{k}$ por $M$ y postmultiplicar el resultado por $M^{-1}$ . ^{[ 60 ]}

Utilizando autovectores generalizados, podemos obtener la forma normal de Jordan para $A$ y estos resultados pueden generalizarse a un método sencillo para calcular funciones de matrices no diagonalizables. ^{[ 61 ]} (Véase Función de matriz#Descomposición de Jordan ).

Ecuaciones diferenciales

Consideremos el problema de resolver el sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales.

dónde

\mathbf {x} ={\begin{pmatrix}x_{1}(t)\\x_{2}(t)\\\vdots \\x_{n}(t)\end{pmatrix}},\quad \mathbf {x} '={\begin{pmatrix}x_{1}'(t)\\x_{2}'(t)\\\vdots \\x_{n}'(t)\end{pmatrix}},

y

A=(a_{ij}).

Si la matriz $A$ es una matriz diagonal de modo que $a_{ij}=0$ para $i\neq j$ , entonces el sistema ( 5 ) se reduce a un sistema de n ecuaciones que toman la forma

En este caso, la solución general viene dada por

x_{1}=k_{1}e^{a_{11}t}

x_{2}=k_{2}e^{a_{22}t}

\vdots

x_{n}=k_{n}e^{a_{nn}t}.

En el caso general, intentamos diagonalizar $A$ y reducir el sistema ( 5 ) a un sistema como ( 6 ) de la siguiente manera. Si $A$ es diagonalizable, tenemos $D=M^{-1}AM$ , dónde $M$ es una matriz modal para $A$ Sustituyendo $A=MDM^{-1}$ La ecuación ( 5 ) toma la forma $M^{-1}\mathbf {x} '=D(M^{-1}\mathbf {x} )$ , o

dónde

La solución de ( 7 ) es

y_{1}=k_{1}e^{\lambda _{1}t}

y_{2}=k_{2}e^{\lambda _{2}t}

\vdots

y_{n}=k_{n}e^{\lambda _{n}t}.

La solución $\mathbf {x}$ de ( 5 ) se obtiene entonces utilizando la relación ( 8 ). ^{[ 62 ]}

Por otro lado, si $A$ no es diagonalizable, elegimos $M$ ser una matriz modal generalizada para $A$ , de tal manera que $J=M^{-1}AM$ es la forma normal de Jordan $A$ El sistema $\mathbf {y} '=J\mathbf {y}$ tiene la forma

donde el $\lambda _{i}$ son los valores propios de la diagonal principal de $J$ y el $\epsilon _{i}$ son los unos y ceros de la superdiagonal de $J$ El sistema ( 9 ) suele ser más fácil de resolver que el ( 5 ). Podemos resolver la última ecuación en ( 9 ) para $y_{n}$ , obteniendo $y_{n}=k_{n}e^{\lambda _{n}t}$ . Luego sustituimos esta solución por $y_{n}$ en la penúltima ecuación en ( 9 ) y resolver para $y_{n-1}$ . Continuando con este procedimiento, trabajamos a través de ( 9 ) desde la última ecuación hasta la primera, resolviendo todo el sistema para $\mathbf {y}$ La solución $\mathbf {x}$ se obtiene entonces utilizando la relación ( 8 ). ^{[ 63 ]}

Lema:

Dada la siguiente cadena de autovectores generalizados de longitud $r,$

X_{1}=v_{1}e^{\lambda t}

X_{2}=(tv_{1}+v_{2})e^{\lambda t}

X_{3}=\left({\frac {t^{2}}{2}}v_{1}+tv_{2}+v_{3}\right)e^{\lambda t}

\vdots

X_{r}=\left({\frac {t^{r-1}}{(r-1)!}}v_{1}+...+{\frac {t^{2}}{2}}v_{r-2}+tv_{r-1}+v_{r}\right)e^{\lambda t}

,

Estas funciones resuelven el sistema de ecuaciones,

X'=AX.

Prueba:

Definir

v_{0}=0

X_{j}(t)=e^{\lambda t}\sum _{i=1}^{j}{\frac {t^{j-i}}{(j-i)!}}v_{i}.

Entonces, como ${t^{0}}=1$ y $1'=0$ ,

X'_{j}(t)=e^{\lambda t}\sum _{i=1}^{j-1}{\frac {t^{j-i-1}}{(j-i-1)!}}v_{i}+e^{\lambda t}\lambda \sum _{i=1}^{j}{\frac {t^{j-i}}{(j-i)!}}v_{i}

.

Por otro lado tenemos, $v_{0}=0$ y entonces

AX_{j}(t)=e^{\lambda t}\sum _{i=1}^{j}{\frac {t^{j-i}}{(j-i)!}}Av_{i}

=e^{\lambda t}\sum _{i=1}^{j}{\frac {t^{j-i}}{(j-i)!}}(v_{i-1}+\lambda v_{i})

=e^{\lambda t}\sum _{i=2}^{j}{\frac {t^{j-i}}{(j-i)!}}v_{i-1}+e^{\lambda t}\lambda \sum _{i=1}^{j}{\frac {t^{j-i}}{(j-i)!}}v_{i}

=e^{\lambda t}\sum _{i=1}^{j-1}{\frac {t^{j-i-1}}{(j-i-1)!}}v_{i}+e^{\lambda t}\lambda \sum _{i=1}^{j}{\frac {t^{j-i}}{(j-i)!}}v_{i}

=X'_{j}(t)

según sea necesario.

Notas

↑ Bronson (1970 , pág. 189)
^ Beauregard y Fraleigh (1973 , pág. 310)
↑ Nering (1970 , pág. 118)
↑ Préstamo Golub y Van (1996 , pág. 316)
^ Beauregard y Fraleigh (1973 , pág. 319)
↑ Bronson (1970 , págs. 194–195)
↑ Préstamo Golub y Van (1996 , pág. 311)
↑ Bronson (1970 , pág. 196)
↑ Bronson (1970 , pág. 189)
^ Beauregard y Fraleigh (1973 , págs. 316–318)
↑ Nering (1970 , pág. 118)
↑ Bronson (1970 , pág. 196)
^ Antón (1987 , págs. 301–302)
^ Beauregard y Fraleigh (1973 , pág. 266)
^ Carga y ferias (1993 , p. 401)
^ Préstamo Golub y Van (1996 , págs. 310–311)
↑ Harper (1976 , pág. 58)
↑ Herstein (1964 , pág. 225)
↑ Kreyszig (1972 , págs. 273, 684)
↑ Nering (1970 , pág. 104)
^ Carga y ferias (1993 , p. 401)
^ Beauregard y Fraleigh (1973 , págs. 270-274)
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↑ Bronson (1970 , pág. 205)
↑ Bronson (1970 , pág. 196)
↑ Bronson (1970 , págs. 189, 209–215)
↑ Préstamo Golub y Van (1996 , pág. 316)
↑ Herstein (1964 , pág. 259)
↑ Nering (1970 , pág. 118)
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^ Beauregard y Fraleigh (1973 , pág. 310)
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↑ Bronson (1970 , pág. 207)
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Referencias

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[7] Préstamo Golub y Van (1996 , pág. 311)

[8] Bronson (1970 , pág. 196)

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[14] Beauregard y Fraleigh (1973 , pág. 266)

[15] Carga y ferias (1993 , p. 401)

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