Método generalizado del lápiz de funciones

El método generalizado de lápiz de función ( GPOF ), también conocido como método de lápiz matricial , es una técnica de procesamiento de señales para estimar una señal o extraer información con exponenciales complejos . Al ser similar a Prony y a los métodos de lápiz de función originales, generalmente se prefiere a estos por su robustez y eficiencia computacional. ^[1]

El método fue desarrollado originalmente por Yingbo Hua y Tapan Sarkar para estimar el comportamiento de los sistemas electromagnéticos por su respuesta transitoria, basándose en el trabajo anterior de Sarkar sobre el método original del lápiz de funciones. ^{[1] [2]} El método tiene una gran cantidad de aplicaciones en ingeniería eléctrica , particularmente relacionadas con problemas en electromagnetismo computacional , ingeniería de microondas y teoría de antenas . ^[1]

Una señal electromagnética transitoria se puede representar como: ^[3]

${\displaystyle y(t)=x(t)+n(t)\approx \sum _{i=1}^{M}R_{i}e^{s_{i}t}+n(t);0\leq t\leq T,}$

dónde

${\displaystyle y(t)}$es la señal observada en el dominio del tiempo,

${\estilo de visualización n(t)}$¿Es el ruido de la señal ?

${\estilo de visualización x(t)}$es la señal real,

${\displaystyle R_{i}}$son los residuos ( ),${\displaystyle R_{i}}$

$estilo de visualización s_{i}}$son los polos del sistema, definidos como ,${\displaystyle s_{i}=-\alpha _{i}+j\omega _{i}}$

${\displaystyle z_{i}=e^{(-\alpha _{i}+j\omega _{i})T_{s}}}$por las identidades de la transformada Z ,

${\displaystyle \alpha _{i}}$son los factores de amortiguamiento y

${\displaystyle \omega _{i}}$son las frecuencias angulares .

La misma secuencia, muestreada por un periodo de , puede escribirse de la siguiente manera: ${\displaystyle T_{s}}$

${\displaystyle y[kT_{s}]=x[kT_{s}]+n[kT_{s}]\approx \sum _{i=1}^{M}R_{i}z_{i}^{k}+n[kT_{s}];k=0,...,N-1;i=1,2,...,M}$,

Las estimaciones generalizadas de función de lápiz son las óptimas y las de ^[4] .${\estilo de visualización M}$$estilo de visualización z_{i}}$

Para el caso sin ruido, se producen dos matrices, y : ^[3]${\displaystyle (NL)\times L}$${\displaystyle Y_{1}}$${\displaystyle Y_{2}}$

${\displaystyle [Y_{1}]={\begin{bmatrix}x(0)&x(1)&\cdots &x(L-1)\\x(1)&x(2)&\cdots &x(L)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\x(NL-1)&x(NL)&\cdots &x(N-2)\end{bmatrix}}_{(NL)\times L};}$ ${\displaystyle [Y_{2}]={\begin{bmatrix}x(1)&x(2)&\cdots &x(L)\\x(2)&x(3)&\cdots &x(L+1)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\x(NL)&x(N-L+1)&\cdots &x(N-1)\end{bmatrix}}_{(NL)\times L}}$

donde se define como el parámetro lápiz y se puede descomponer en las siguientes matrices: ^[3]${\estilo de visualización L}$${\displaystyle Y_{1}}$${\displaystyle Y_{2}}$

${\displaystyle [Y_{1}]=[Z_{1}][B][Z_{2}]}$

${\displaystyle [Y_{2}]=[Z_{1}][B][Z_{0}][Z_{2}]}$

dónde

${\displaystyle [Z_{1}]={\begin{bmatrix}1&1&\cdots &1\\z_{1}&z_{2}&\cdots &z_{M}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\z_{1}^{(NL-1)}&z_{2}^{(NL-1)}&\cdots &z_{M}^{(NL-1)}\end{bmatrix}}_{(NL)\times M};}$ ${\displaystyle [Z_{2}]={\begin{bmatrix}1&z_{1}&\cdots &z_{1}^{L-1}\\1&z_{2}&\cdots &z_{2}^{L-1}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&z_{M}&\cdots &z_{M}^{L-1}\end{bmatrix}}_{M\times L}}$

${\textstyle [Z_{0}]}$y son matrices diagonales con valores y colocados secuencialmente , respectivamente. ^[3]${\estilo de texto [B]}$${\textstyle M\times M}$ ${\textstyle z_{i}}$${\textstyle R_{i}}$

Si , los valores propios generalizados de la matriz lápiz${\textstyle M\leq L\leq NM}$

${\displaystyle [Y_{2}]-\lambda [Y_{1}]=[Z_{1}][B]([Z_{0}]-\lambda [I])[Z_{2}]}$

Se obtienen los polos del sistema, que son . Luego, los vectores propios generalizados se pueden obtener mediante las siguientes identidades: ^[3]${\displaystyle \lambda =z_{i}}$$estilo de visualización p_{i}}$

${\displaystyle [Y_{1}]^{+}[Y_{1}]p_{i}=p_{i};}$    ${\displaystyle i=1,...,M}$

${\displaystyle [Y_{1}]^{+}[Y_{2}]p_{i}=z_{i}p_{i};}$    ${\displaystyle i=1,...,M}$

donde denota la inversa de Moore-Penrose , también conocida como pseudoinversa. Se puede emplear la descomposición en valores singulares para calcular la pseudoinversa. ${\estilo de visualización ^{+}}$

Si hay ruido presente en el sistema y se combinan en una matriz de datos general, : ^[3]${\textstyle [Y_{1}]}$${\textstyle [Y_{2}]}$${\textstyle [Y]}$

${\displaystyle [Y]={\begin{bmatrix}y(0)&y(1)&\cdots &y(L)\\y(1)&y(2)&\cdots &y(L+1)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\y(N-L-1)&y(N-L)&\cdots &y(N-1)\end{bmatrix}}_{(N-L)\times (L+1)}}$

donde son los datos ruidosos. Para un filtrado eficiente , se elige L entre y . Una descomposición en valores singulares en da como resultado: ${\displaystyle y}$${\textstyle {\frac {N}{3}}}$${\textstyle {\frac {N}{2}}}$${\textstyle [Y]}$

${\displaystyle [Y]=[U][\Sigma ][V]^{H}}$

En esta descomposición, y son matrices unitarias con respectivos vectores propios y y es una matriz diagonal con valores singulares de . El superíndice denota la transpuesta conjugada . ^{[3] [4]}${\textstyle [U]}$${\textstyle [V]}$ ${\textstyle [Y][Y]^{H}}$${\textstyle [Y]^{H}[Y]}$${\textstyle [\Sigma ]}$${\textstyle [Y]}$${\textstyle H}$

A continuación, se elige el parámetro que se va a filtrar. Los valores singulares posteriores a , que se encuentran por debajo del umbral de filtrado, se establecen en cero; para un valor singular arbitrario , el umbral se denota mediante la siguiente fórmula: ^[1]${\textstyle M}$${\textstyle M}$${\textstyle \sigma _{c}}$

${\displaystyle {\frac {\sigma _{c}}{\sigma _{max}}}=10^{-p}}$,

${\textstyle \sigma _{max}}$y p son el valor singular máximo y los dígitos decimales significativos , respectivamente. Para datos con dígitos significativos precisos hasta p , los valores singulares inferiores se consideran ruido. ^[4]${\textstyle 10^{-p}}$

${\textstyle [V_{1}']}$y se obtienen eliminando la última y la primera fila y columna de la matriz filtrada , respectivamente; las columnas de representan . Las matrices filtradas y se obtienen como: ^[4]${\textstyle [V_{2}']}$${\textstyle [V']}$${\textstyle M}$${\textstyle [\Sigma ]}$${\textstyle [\Sigma ']}$${\textstyle [Y_{1}]}$${\textstyle [Y_{2}]}$

${\displaystyle [Y_{1}]=[U][\Sigma '][V_{1}']^{H}}$

${\displaystyle [Y_{2}]=[U][\Sigma '][V_{2}']^{H}}$

El prefiltrado se puede utilizar para combatir el ruido y mejorar la relación señal-ruido (SNR). ^[1] El método de lápiz de matriz de paso de banda (BPMP) es una modificación del método GPOF a través de filtros de paso de banda FIR o IIR . ^{[1] [5]}

GPOF puede manejar una relación señal/ruido de hasta 25 dB. Para GPOF, así como para BPMP, la varianza de las estimaciones alcanza aproximadamente el límite de Cramér-Rao . ^{[3] [5] [4]}

Los residuos de los polos complejos se obtienen mediante el problema de mínimos cuadrados : ^[1]

${\displaystyle {\begin{bmatrix}y(0)\\y(1)\\\vdots \\y(N-1)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1&\cdots &1\\z_{1}&z_{2}&\cdots &z_{M}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\z_{1}^{N-1}&z_{2}^{N-1}&\cdots &z_{M}^{N-1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}R_{1}\\R_{2}\\\vdots \\R_{M}\end{bmatrix}}}$

El método se utiliza generalmente para la evaluación de forma cerrada de integrales de Sommerfeld en el método de imagen compleja discreta para aplicaciones del método de momentos , donde la función de Green espectral se aproxima como una suma de exponenciales complejos. ^{[1] [6]} Además, el método se utiliza en análisis de antenas , estimación de parámetros S en circuitos integrados de microondas , análisis de propagación de ondas, indicación de objetivos en movimiento , procesamiento de señales de radar , ^{[1] [7] [8]} y aceleración en serie en problemas electromagnéticos. ^[9]

• Estimación de parámetros de señal mediante técnicas de invariancia rotacional
• Problema de valor propio generalizado
• Lápiz matriz
• MÚSICA (algoritmo)
• El método de Prony