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Cardioide

Un cardioide La cáustica que aparece en la superficie de esta taza de café tiene forma de cardioide. En geometría , una cardioide ( del griego καρδιά (kardiá) ' corazón ' ) es u...

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Un cardioide
La cáustica que aparece en la superficie de esta taza de café tiene forma de cardioide.

En geometría , una cardioide ( del griego καρδιά (kardiá) ' corazón ' ) es una curva plana trazada por un punto en el perímetro de un círculo que gira alrededor de un círculo fijo del mismo radio. También puede definirse como una epicicloide con una sola cúspide . Es, además, un tipo de espiral sinusoidal y una curva inversa de la parábola con el foco como centro de inversión. [ 1 ] También puede definirse como el conjunto de puntos de reflexión de un punto fijo en un círculo que pasa por todas las tangentes al círculo. [ 2 ] 

Cardioide generada por un círculo rodante sobre un círculo con el mismo radio

Giovanni Salvemini acuñó el nombre cardioide en 1741, [ 3 ] pero el cardioide ya había sido objeto de estudio décadas antes. [ 4 ] Aunque se le dio ese nombre por su parecido con una forma convencional similar a un corazón , su forma se asemeja más al contorno de la sección transversal de una manzana redonda sin el pedúnculo. [ 5 ]

Un micrófono cardioide presenta un patrón de captación acústica que, al representarse gráficamente en dos dimensiones, se asemeja a una cardioide (cualquier plano bidimensional que contenga la línea recta tridimensional del cuerpo del micrófono). En tres dimensiones, la cardioide tiene la forma de una manzana centrada alrededor del micrófono, que actúa como el "tallo" de la manzana.

Ecuaciones

Generación de una cardioide y el sistema de coordenadas utilizado

Dejara{\displaystyle a}sea ​​el radio común de los dos círculos generadores con puntos medios(−a,0),(a,0){\displaystyle (-a,0),(a,0)},φ{\displaystyle \varphi }el ángulo de balanceo y el origen el punto de partida (ver imagen). Se obtiene el

  • representación paramétrica :incógnita(φ)=2a(1−porque⁡φ)⋅porque⁡φ ,y(φ)=2a(1−porque⁡φ)⋅pecado⁡φ ,0≤φ<2π{\displaystyle {\begin{aligned}x(\varphi )&=2a(1-\cos \varphi )\cdot \cos \varphi \ ,\\y(\varphi )&=2a(1-\cos \varphi )\cdot \sin \varphi \ ,\qquad 0\leq \varphi <2\pi \end{aligned}}}y de ahí la representación en
  • coordenadas polares :r(φ)=2a(1−porque⁡φ).{\displaystyle r(\varphi )=2a(1-\cos \varphi ).}
  • Introducción de las sustitucionesporque⁡φ=incógnita/r{\displaystyle \cos \varphi =x/r}yr=incógnita2+y2{\textstyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}Tras eliminar la raíz cuadrada, se obtiene la representación implícita en coordenadas cartesianas :(incógnita2+y2)2+4aincógnita(incógnita2+y2)−4a2y2=0.{\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}+4ax\left(x^{2}+y^{2}\right)-4a^{2}y^{2}=0.}

Demostración de la representación paramétrica

Se puede establecer una demostración utilizando números complejos y su descripción común como el plano complejo . El movimiento de rodadura del círculo negro sobre el azul se puede dividir en dos rotaciones. En el plano complejo, una rotación alrededor del punto0{\displaystyle 0}(el origen) por un ánguloφ{\displaystyle \varphi }se puede realizar multiplicando un puntoz{\displaystyle z}( número complejo ) pormiiφ{\displaystyle e^{i\varphi }}. Por eso

la rotaciónΦ+{\displaystyle \Phi _{+}}alrededor del puntoa{\displaystyle a}es:z↦a+(z−a)miiφ{\displaystyle :z\mapsto a+(z-a)e^{i\varphi }},
la rotaciónΦ−{\displaystyle \Phi _{-}}alrededor del punto−a{\displaystyle -a}es:z↦−a+(z+a)miiφ{\displaystyle z\mapsto -a+(z+a)e^{i\varphi }}.

Un puntopag(φ){\displaystyle p(\varphi )}de la cardioide se genera al rotar el origen alrededor del puntoa{\displaystyle a}y posteriormente girando alrededor−a{\displaystyle -a}por el mismo ánguloφ{\displaystyle \varphi }: pag(φ)=Φ−(Φ+(0))=Φ−(a−amiiφ)=−a+(a−amiiφ+a)miiφ=a(−mii2φ+2miiφ−1).{\displaystyle p(\varphi )=\Phi _{-}(\Phi _{+}(0))=\Phi _{-}\left(a-ae^{i\varphi }\right)=-a+\left(a-ae^{i\varphi }+a\right)e^{i\varphi }=a\;\left(-e^{i2\varphi }+2e^{i\varphi }-1\right).} A partir de aquí se obtiene la representación paramétrica anterior: incógnita(φ)=a(−porque⁡(2φ)+2porque⁡φ−1)=2a(1−porque⁡φ)⋅porque⁡φy(φ)=a(−pecado⁡(2φ)+2pecado⁡φ)=2a(1−porque⁡φ)⋅pecado⁡φ.{\displaystyle {\begin{array}{cclcccc}x(\varphi )&=&a\;(-\cos(2\varphi )+2\cos \varphi -1)&=&2a(1-\cos \varphi )\cdot \cos \varphi &&\\y(\varphi )&=&a\;(-\sin(2\varphi )+2\sin \varphi )&=&2a(1-\cos \varphi )\cdot \sin \varphi &.&\end{array}}} (Las identidades trigonométricas)miiφ=porque⁡φ+ipecado⁡φ, (porque⁡φ)2+(pecado⁡φ)2=1,{\displaystyle e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi ,\ (\cos \varphi )^{2}+(\sin \varphi )^{2}=1,}porque⁡(2φ)=(porque⁡φ)2−(pecado⁡φ)2,{\displaystyle \cos(2\varphi )=(\cos \varphi )^{2}-(\sin \varphi )^{2},}ypecado⁡(2φ)=2pecado⁡φporque⁡φ{\displaystyle \sin(2\varphi )=2\sin \varphi \cos \varphi }se utilizaron.)

Propiedades métricas

Para la cardioide definida anteriormente, se cumplen las siguientes fórmulas:

  • áreaA=6πa2{\displaystyle A=6\pi a^{2}},
  • longitud de arcoL=16a{\displaystyle L=16a}y
  • radio de curvaturaρ(φ)=83apecado⁡φ2.{\displaystyle \rho (\varphi )={\tfrac {8}{3}}a\sin {\tfrac {\varphi }{2}}\,.}

Las demostraciones de estas afirmaciones utilizan en ambos casos la representación polar de la cardioide. Para consultar las fórmulas adecuadas, véanse los apartados sobre sistema de coordenadas polares (longitud de arco) y sistema de coordenadas polares (área).

Demostración de la fórmula del área

A=2⋅12∫0π(r(φ))2dφ=∫0π4a2(1−porque⁡φ)2dφ=⋯=4a2⋅32π=6πa2.{\displaystyle A=2\cdot {\tfrac {1}{2}}\int _{0}^{\pi }{(r(\varphi ))^{2}}\;d\varphi =\int _{0}^{\pi }{4a^{2}(1-\cos \varphi )^{2}}\;d\varphi =\cdots =4a^{2}\cdot {\tfrac {3}{2}}\pi =6\pi a^{2}.}

Demostración de la fórmula de la longitud del arco

L=2∫0πr(φ)2+(r′(φ))2dφ=⋯=8a∫0π12(1−porque⁡φ)dφ=8a∫0πpecado⁡(φ2)dφ=16a.{\displaystyle L=2\int _{0}^{\pi }{\sqrt {r(\varphi )^{2}+(r'(\varphi ))^{2}}}\;d\varphi =\cdots =8a\int _{0}^{\pi }{\sqrt {{\tfrac {1}{2}}(1-\cos \varphi )}}\;d\varphi =8a\int _{0}^{\pi }\sin \left({\tfrac {\varphi }{2}}\right)d\varphi =16a.}

Demostración del radio de curvatura

El radio de curvaturaρ{\displaystyle \rho }de una curva en coordenadas polares con ecuaciónr=r(φ){\displaystyle r=r(\varphi )}es (s. curvatura ) ρ(φ)=[r(φ)2+r˙(φ)2]3/2r(φ)2+2r˙(φ)2−r(φ)r¨(φ) .{\displaystyle \rho (\varphi )={\frac {\left[r(\varphi )^{2}+{\dot {r}}(\varphi )^{2}\right]^{3/2}}{r(\varphi )^{2}+2{\dot {r}}(\varphi )^{2}-r(\varphi ){\ddot {r}}(\varphi )}}\ .}

Para el cardioider(φ)=2a(1−porque⁡φ)=4apecado2⁡(φ2){\displaystyle r(\varphi )=2a(1-\cos \varphi )=4a\sin ^{2}\left({\tfrac {\varphi }{2}}\right)}uno consigue ρ(φ)=⋯=[16a2pecado2⁡φ2]3224a2pecado2⁡φ2=83apecado⁡φ2 .{\displaystyle \rho (\varphi )=\cdots ={\frac {\left[16a^{2}\sin ^{2}{\frac {\varphi }{2}}\right]^{\frac {3}{2}}}{24a^{2}\sin ^{2}{\frac {\varphi }{2}}}}={\frac {8}{3}}a\sin {\frac {\varphi }{2}}\ .}

Propiedades

Cuerdas de un cardioide

Acordes a través de la cúspide

C1
Las cuerdas que pasan por la cúspide de la cardioide tienen la misma longitud.4a{\displaystyle 4a}.
C2
Los puntos medios de las cuerdas que pasan por la cúspide se encuentran en el perímetro del círculo generador fijo (véase la imagen).

Prueba de C1

Los puntosPAG:pag(φ),Q:pag(φ+π){\displaystyle P:p(\varphi ),\;Q:p(\varphi +\pi )}están en una cuerda que pasa por la cúspide (=origen). Por lo tanto|PAGQ|=r(φ)+r(φ+π)=2a(1−porque⁡φ)+2a(1−porque⁡(φ+π))=⋯=4a.{\displaystyle {\begin{aligned}|PQ|&=r(\varphi )+r(\varphi +\pi )\\&=2a(1-\cos \varphi )+2a(1-\cos(\varphi +\pi ))=\cdots =4a\end{aligned}}.}

Prueba para C2

Para la demostración se utiliza la representación en el plano complejo (véase más arriba). Para los puntosPAG: pag(φ)=a(−mii2φ+2miiφ−1){\displaystyle P:\ p(\varphi )=a\,\left(-e^{i2\varphi }+2e^{i\varphi }-1\right)}yQ: pag(φ+π)=a(−mii2(φ+π)+2mii(φ+π)−1)=a(−mii2φ−2miiφ−1),{\displaystyle Q:\ p(\varphi +\pi )=a\,\left(-e^{i2(\varphi +\pi )}+2e^{i(\varphi +\pi )}-1\right)=a\,\left(-e^{i2\varphi }-2e^{i\varphi }-1\right),}

el punto medio de la cuerdaPAGQ{\displaystyle PQ}esMETRO: 12(pag(φ)+pag(φ+π))=⋯=−a−amii2φ{\displaystyle M:\ {\tfrac {1}{2}}(p(\varphi )+p(\varphi +\pi ))=\cdots =-a-ae^{i2\varphi }}que se encuentra en el perímetro del círculo con punto medio−a{\displaystyle -a}y radioa{\displaystyle a}(Ver imagen).

Cardioide como curva inversa de una parábola

Cardioide generada por la inversión de una parábola a través del círculo unitario (línea discontinua).
Una cardioide es la curva inversa de una parábola con su foco en el centro de inversión (ver gráfico).

Para el ejemplo que se muestra en el gráfico, los círculos generadores tienen radioa=12{\textstyle a={\frac {1}{2}}}Por lo tanto, la cardioide tiene la representación polar. r(φ)=1−porque⁡φ{\displaystyle r(\varphi )=1-\cos \varphi } y su curva inversa r(φ)=11−porque⁡φ,{\displaystyle r(\varphi )={\frac {1}{1-\cos \varphi }},} que es una parábola (véase parábola en coordenadas polares ) con la ecuaciónincógnita=12(y2−1){\textstyle x={\tfrac {1}{2}}\left(y^{2}-1\right)}en coordenadas cartesianas.

Nota: No toda curva inversa de una parábola es una cardioide. Por ejemplo, si una parábola se invierte sobre un círculo cuyo centro se encuentra en el vértice de la parábola, el resultado es una cisoides de Diocles .

Cardioide como envoltura de un lápiz de círculos

Cardioide como envoltura de un lápiz de círculos

En la sección anterior, si se invierten adicionalmente las tangentes de la parábola, se obtiene un haz de círculos que pasa por el centro de inversión (origen). Un análisis detallado muestra que los puntos medios de los círculos se encuentran en el perímetro del círculo generador fijo. (El círculo generador es la curva inversa de la directriz de la parábola).

Esta propiedad da lugar al siguiente método sencillo para dibujar una cardioide:

  1. Elige un círculodo{\displaystyle c}y un puntoO{\displaystyle O}en su perímetro,
  2. dibujar círculos que contenganO{\displaystyle O}con centros endo{\displaystyle c}, y
  3. Dibuja la envoltura de estos círculos.
Prueba con sobre en buen estado

La envolvente del lápiz de curvas implícitamente dadasF(incógnita,y,t)=0{\displaystyle F(x,y,t)=0}con parámetrot{\displaystyle t}consta de tales puntos(incógnita,y){\displaystyle (x,y)}que son soluciones del sistema no lineal F(incógnita,y,t)=0,Ft(incógnita,y,t)=0,{\displaystyle F(x,y,t)=0,\quad F_{t}(x,y,t)=0,}que es la condición de envolvente . Tenga en cuenta queFt{\displaystyle F_{t}}significa la derivada parcial para el parámetrot{\displaystyle t}.

Dejardo{\displaystyle c}sea ​​el círculo con punto medio(−1,0){\displaystyle (-1,0)}y radio1{\displaystyle 1}. Entoncesdo{\displaystyle c}tiene representación paramétrica(−1+porque⁡t,pecado⁡t){\displaystyle (-1+\cos t,\sin t)}. El lápiz de círculos con centros endo{\displaystyle c}punto que contieneO=(0,0){\displaystyle O=(0,0)}puede representarse implícitamente por F(incógnita,y,t)=(incógnita+1−porque⁡t)2+(y−pecado⁡t)2−(2−2porque⁡t)=0,{\displaystyle F(x,y,t)=(x+1-\cos t)^{2}+(y-\sin t)^{2}-(2-2\cos t)=0,} lo cual es equivalente a F(incógnita,y,t)=incógnita2+y2+2incógnita(1−porque⁡t)−2ypecado⁡t=0.{\displaystyle F(x,y,t)=x^{2}+y^{2}+2x\;(1-\cos t)-2y\;\sin t=0\;.} La segunda condición del sobre es Ft(incógnita,y,t)=2incógnitapecado⁡t−2yporque⁡t=0.{\displaystyle F_{t}(x,y,t)=2x\;\sin t-2y\;\cos t=0.} Se puede comprobar fácilmente que los puntos de la cardioide con la representación paramétrica incógnita(t)=2(1−porque⁡t)porque⁡t,y(t)=2(1−porque⁡t)pecado⁡t{\displaystyle x(t)=2(1-\cos t)\cos t,\quad y(t)=2(1-\cos t)\sin t} cumplir con el sistema no lineal anterior. El parámetrot{\displaystyle t}es idéntico al parámetro angular de la cardioide.

Cardioide como envoltura de un lápiz de líneas

Cardioide como envoltura de un lápiz de líneas

Un método similar y sencillo para dibujar una cardioide utiliza un lápiz de líneas . Se debe a L. Cremona :

  1. Dibuja un círculo, divide su perímetro en partes espaciadas iguales con2norte{\displaystyle 2N}puntos (ver imagen) y numérelos consecutivamente.
  2. Dibuja las cuerdas:(1,2),(2,4),…,(norte,2norte),…,(norte,2norte),(norte+1,2),(norte+2,4),…{\displaystyle (1,2),(2,4),\dots ,(n,2n),\dots ,(N,2N),(N+1,2),(N+2,4),\dots }(Es decir, el segundo punto se mueve al doble de velocidad).
  3. La envolvente de estos acordes es cardioide.
Generación de un cardioide por Cremona

Prueba

La siguiente consideración utiliza fórmulas trigonométricas paraporque⁡α+porque⁡β{\displaystyle \cos \alpha +\cos \beta },pecado⁡α+pecado⁡β{\displaystyle \sin \alpha +\sin \beta },1+porque⁡2α{\displaystyle 1+\cos 2\alpha },porque⁡2α{\displaystyle \cos 2\alpha }, ypecado⁡2α{\displaystyle \sin 2\alpha }Para simplificar los cálculos, la demostración se presenta para la cardioide con representación polar. r=2(1+porque⁡φ){\displaystyle r=2(1\mathbin {\color {red}+} \cos \varphi )}( § Cardioides en diferentes posiciones ).

Ecuación de la tangente de la cardioide con representación polar r = 2(1 + cos 𝜑 )

A partir de la representación paramétrica incógnita(φ)=2(1+porque⁡φ)porque⁡φ,y(φ)=2(1+porque⁡φ)pecado⁡φ{\displaystyle {\begin{aligned}x(\varphi )&=2(1+\cos \varphi )\cos \varphi ,\\y(\varphi )&=2(1+\cos \varphi )\sin \varphi \end{aligned}}}

uno obtiene el vector normalnorte→=(y˙,−incógnita˙)T{\displaystyle {\vec {n}}=\left({\dot {y}},-{\dot {x}}\right)^{\mathsf {T}}}La ecuación de la tangente y˙(φ)⋅(incógnita−incógnita(φ))−incógnita˙(φ)⋅(y−y(φ))=0{\displaystyle {\dot {y}}(\varphi )\cdot (x-x(\varphi ))-{\dot {x}}(\varphi )\cdot (y-y(\varphi ))=0}es: (porque⁡2φ+porque⁡φ)⋅incógnita+(pecado⁡2φ+pecado⁡φ)⋅y=2(1+porque⁡φ)2.{\displaystyle (\cos 2\varphi +\cos \varphi )\cdot x+(\sin 2\varphi +\sin \varphi )\cdot y=2(1+\cos \varphi )^{2}\,.}

Con ayuda de fórmulas trigonométricas y posterior división porporque⁡12φ{\textstyle \cos {\frac {1}{2}}\varphi }, la ecuación de la tangente se puede reescribir como: porque⁡(32φ)⋅incógnita+pecado⁡(32φ)⋅y=4(porque⁡12φ)30<φ<2π, φ≠π.{\displaystyle \cos({\tfrac {3}{2}}\varphi )\cdot x+\sin \left({\tfrac {3}{2}}\varphi \right)\cdot y=4\left(\cos {\tfrac {1}{2}}\varphi \right)^{3}\quad 0<\varphi <2\pi ,\ \varphi \neq \pi .}

Ecuación de la cuerda de la circunferencia con punto medio ( 1, 0 ) y radio 3.

Para la ecuación de la recta secante que pasa por los dos puntos(1+3porque⁡θ,3pecado⁡θ), (1+3porque⁡2θ,3pecado⁡2θ)){\displaystyle (1+3\cos \theta ,3\sin \theta ),\ (1+3\cos {\color {red}2}\theta ,3\sin {\color {red}2}\theta ))}uno obtiene: (pecado⁡θ−pecado⁡2θ)incógnita+(porque⁡2θ−pecado⁡θ)y=−2porque⁡θ−pecado⁡(2θ).{\displaystyle (\sin \theta -\sin 2\theta )x+(\cos 2\theta -\sin \theta )y=-2\cos \theta -\sin(2\theta )\,.}

Con ayuda de fórmulas trigonométricas y la posterior división porpecado⁡12θ{\textstyle \sin {\frac {1}{2}}\theta }La ecuación de la recta secante se puede reescribir de la siguiente manera: porque⁡(32θ)⋅incógnita+pecado⁡(32θ)⋅y=4(porque⁡12θ)30<θ<2π.{\displaystyle \cos \left({\tfrac {3}{2}}\theta \right)\cdot x+\sin \left({\tfrac {3}{2}}\theta \right)\cdot y=4\left(\cos {\tfrac {1}{2}}\theta \right)^{3}\quad 0<\theta <2\pi .}

Conclusión

A pesar de los dos ángulosφ,θ{\displaystyle \varphi ,\theta }tienen diferentes significados (imagen) uno obtiene paraφ=θ{\displaystyle \varphi =\theta }la misma línea. Por lo tanto, cualquier línea secante del círculo, definida anteriormente, es también tangente de la cardioide:

La cardioide es la envoltura formada por las cuerdas de un círculo.

Nota: La demostración puede realizarse con la ayuda de las condiciones de envolvente (véase la sección anterior) de un haz implícito de curvas: F(incógnita,y,t)=porque⁡(32t)incógnita+pecado⁡(32t)y−4(porque⁡12t)3=0{\displaystyle F(x,y,t)=\cos \left({\tfrac {3}{2}}t\right)x+\sin \left({\tfrac {3}{2}}t\right)y-4\left(\cos {\tfrac {1}{2}}t\right)^{3}=0}

es el lápiz de líneas secantes de un círculo (ver arriba) y Ft(incógnita,y,t)=−32pecado⁡(32t)incógnita+32porque⁡(32t)y+3porque⁡(12t)pecado⁡t=0.{\displaystyle F_{t}(x,y,t)=-{\tfrac {3}{2}}\sin \left({\tfrac {3}{2}}t\right)x+{\tfrac {3}{2}}\cos \left({\tfrac {3}{2}}t\right)y+3\cos \left({\tfrac {1}{2}}t\right)\sin t=0\,.}

Para un parámetro t fijo, ambas ecuaciones representan líneas. Su punto de intersección es incógnita(t)=2(1+porque⁡t)porque⁡t,y(t)=2(1+porque⁡t)pecado⁡t,{\displaystyle x(t)=2(1+\cos t)\cos t,\quad y(t)=2(1+\cos t)\sin t,}

que es un punto de la cardioide con ecuación polarr=2(1+porque⁡t).{\displaystyle r=2(1+\cos t).}

Cardioide como cáustico : fuente de luzZ{\displaystyle Z}rayo de luzs→{\displaystyle {\vec {s}}}rayo reflejador→{\displaystyle {\vec {r}}}
Cardioide como cáustica de un círculo con fuente de luz (derecha) en el perímetro.

Cardioide como cáustica de un círculo

Las consideraciones realizadas en la sección anterior demuestran que la cáustica de un círculo con una fuente de luz en el perímetro del círculo es una cardioide.

Si en el plano hay una fuente de luz en un puntoZ{\displaystyle Z}Si un rayo se encuentra en el perímetro de un círculo que refleja cualquier rayo, entonces los rayos reflejados dentro del círculo son tangentes de una cardioide.
Prueba

Como en la sección anterior, el círculo puede tener un punto medio.(1,0){\displaystyle (1,0)}y radio3{\displaystyle 3}Su representación paramétrica es do(φ)=(1+3porque⁡φ,3pecado⁡φ) .{\displaystyle c(\varphi )=(1+3\cos \varphi ,3\sin \varphi )\ .} La tangente en el punto del círculodo: k(φ){\displaystyle C:\ k(\varphi )}tiene vector normalnorte→t=(porque⁡φ,pecado⁡φ)T{\displaystyle {\vec {n}}_{t}=(\cos \varphi ,\sin \varphi )^{\mathsf {T}}}Por lo tanto, el rayo reflejado tiene el vector normalnorte→r=(porque⁡32φ,pecado⁡32φ)T{\displaystyle {\vec {n}}_{r}=\left(\cos {\color {red}{\tfrac {3}{2}}}\varphi ,\sin {\color {red}{\tfrac {3}{2}}}\varphi \right)^{\mathsf {T}}}(ver gráfico) y contiene un puntodo: (1+3porque⁡φ,3pecado⁡φ){\displaystyle C:\ (1+3\cos \varphi ,3\sin \varphi )}. El rayo reflejado forma parte de la línea con ecuación (ver sección anterior) porque⁡(32φ)incógnita+pecado⁡(32φ)y=4(porque⁡12φ)3,{\displaystyle \cos \left({\tfrac {3}{2}}\varphi \right)x+\sin \left({\tfrac {3}{2}}\varphi \right)y=4\left(\cos {\tfrac {1}{2}}\varphi \right)^{3}\,,} que es tangente de la cardioide con ecuación polar r=2(1+porque⁡φ){\displaystyle r=2(1+\cos \varphi )} de la sección anterior.

Nota: Para tales consideraciones, generalmente se omiten las reflexiones múltiples en el círculo.

Cardioide como curva pedal de un círculo

El vértice de una cardioide es el pie de la perpendicular trazada sobre la tangente de un círculo.

La generación Cremona de un cardioide no debe confundirse con la siguiente generación:

Dejark{\displaystyle k}ser un círculo yO{\displaystyle O}un punto en el perímetro de este círculo. Lo siguiente es cierto:

Los pies de las perpendiculares desde el puntoO{\displaystyle O}sobre las tangentes del círculok{\displaystyle k}son puntos de una cardioide.

Por lo tanto, una cardioide es una curva pedal especial de un círculo.

Prueba

En un círculo del sistema de coordenadas cartesianask{\displaystyle k}puede tener punto medio(2a,0){\displaystyle (2a,0)}y radio2a{\displaystyle 2a}La tangente en el punto del círculo(2a+2aporque⁡φ,2apecado⁡φ){\displaystyle (2a+2a\cos \varphi ,2a\sin \varphi )}tiene la ecuación (incógnita−2a)⋅porque⁡φ+y⋅pecado⁡φ=2a.{\displaystyle (x-2a)\cdot \cos \varphi +y\cdot \sin \varphi =2a\,.} El pie de la perpendicular desde el puntoO{\displaystyle O}en la tangente es el punto(rporque⁡φ,rpecado⁡φ){\displaystyle (r\cos \varphi ,r\sin \varphi )}con la distancia aún desconocidar{\displaystyle r}al origenO{\displaystyle O}Al insertar el punto en la ecuación de la tangente se obtiene (rporque⁡φ−2a)porque⁡φ+rpecado2⁡φ=2a→r=2a(1+porque⁡φ){\displaystyle (r\cos \varphi -2a)\cos \varphi +r\sin ^{2}\varphi =2a\quad \rightarrow \quad r=2a(1+\cos \varphi )} que es la ecuación polar de una cardioide. Se puede dar una demostración geométrica mediante reflexión.k{\displaystyle k}sobre la línea tangente. La imagen deO{\displaystyle O}llámaloO′{\displaystyle O'}, es exactamente dondeO{\displaystyle O}estaría en el círculo reflejado mientras rueda, por lo que el lugar geométrico deO′{\displaystyle O'}es una cardioide. Una0,5×{\displaystyle 0.5\times }dilatación enO{\displaystyle O}entonces nos da la cardioide deseada. Nota: Si el puntoO{\displaystyle O}no está en el perímetro del círculok{\displaystyle k}, uno obtiene un limón de Pascal .

La evoluta de un cardioide

  Un cardioide
  Evolución del cardioide
  Un punto P; su centro de curvatura M; y su círculo osculador.

La evoluta de una curva es el lugar geométrico de los centros de curvatura. En detalle: Para una curvaincógnita→(s)=do→(s){\displaystyle {\vec {x}}(s)={\vec {c}}(s)}con radio de curvaturaρ(s){\displaystyle \rho (s)}el evolucionado tiene la representación incógnita→(s)=do→(s)+ρ(s)norte→(s).{\displaystyle {\vec {X}}(s)={\vec {c}}(s)+\rho (s){\vec {n}}(s).} connorte→(s){\displaystyle {\vec {n}}(s)}la unidad orientada adecuadamente normal.

Para una cardioide se obtiene:

La evoluta de una cardioide es otra cardioide, un tercio más grande y orientada en la dirección opuesta (véase la imagen).

Prueba

Para la cardioide con representación paramétrica incógnita(φ)=2a(1−porque⁡φ)porque⁡φ=4apecado2⁡φ2porque⁡φ,{\displaystyle x(\varphi )=2a(1-\cos \varphi )\cos \varphi =4a\sin ^{2}{\tfrac {\varphi }{2}}\cos \varphi \,,}y(φ)=2a(1−porque⁡φ)pecado⁡φ=4apecado2⁡φ2pecado⁡φ{\displaystyle y(\varphi )=2a(1-\cos \varphi )\sin \varphi =4a\sin ^{2}{\tfrac {\varphi }{2}}\sin \varphi } la unidad normal es norte→(φ)=(−pecado⁡32φ,porque⁡32φ){\displaystyle {\vec {n}}(\varphi )=(-\sin {\tfrac {3}{2}}\varphi ,\cos {\tfrac {3}{2}}\varphi )} y el radio de curvatura ρ(φ)=83apecado⁡φ2.{\displaystyle \rho (\varphi )={\tfrac {8}{3}}a\sin {\tfrac {\varphi }{2}}\,.} Por lo tanto, las ecuaciones paramétricas de la evoluta son incógnita(φ)=4apecado2⁡φ2porque⁡φ−83apecado⁡φ2⋅pecado⁡32φ=⋯=43aporque2⁡φ2porque⁡φ−43a,{\displaystyle X(\varphi )=4a\sin ^{2}{\tfrac {\varphi }{2}}\cos \varphi -{\tfrac {8}{3}}a\sin {\tfrac {\varphi }{2}}\cdot \sin {\tfrac {3}{2}}\varphi =\cdots ={\tfrac {4}{3}}a\cos ^{2}{\tfrac {\varphi }{2}}\cos \varphi -{\tfrac {4}{3}}a\,,}Y(φ)=4apecado2⁡φ2pecado⁡φ+83apecado⁡φ2⋅porque⁡32φ=⋯=43aporque2⁡φ2pecado⁡φ.{\displaystyle Y(\varphi )=4a\sin ^{2}{\tfrac {\varphi }{2}}\sin \varphi +{\tfrac {8}{3}}a\sin {\tfrac {\varphi }{2}}\cdot \cos {\tfrac {3}{2}}\varphi =\cdots ={\tfrac {4}{3}}a\cos ^{2}{\tfrac {\varphi }{2}}\sin \varphi \,.} Estas ecuaciones describen una cardioide un tercio más grande, rotada 180 grados y desplazada a lo largo del eje x por−43a{\displaystyle -{\tfrac {4}{3}}a}.

(Se utilizaron fórmulas trigonométricas:pecado⁡32φ=pecado⁡φ2porque⁡φ+porque⁡φ2pecado⁡φ , porque⁡32φ=⋯, pecado⁡φ=2pecado⁡φ2porque⁡φ2, porque⁡φ=⋯ .{\displaystyle \sin {\tfrac {3}{2}}\varphi =\sin {\tfrac {\varphi }{2}}\cos \varphi +\cos {\tfrac {\varphi }{2}}\sin \varphi \ ,\ \cos {\tfrac {3}{2}}\varphi =\cdots ,\ \sin \varphi =2\sin {\tfrac {\varphi }{2}}\cos {\tfrac {\varphi }{2}},\ \cos \varphi =\cdots \ .})

Trayectorias ortogonales

cardioides ortogonales

Una trayectoria ortogonal de un haz de curvas es una curva que interseca ortogonalmente cualquier curva del haz. Para las cardioides se cumple lo siguiente:

Las trayectorias ortogonales del haz de cardioides con ecuacionesr=2a(1−porque⁡φ) ,a>0 , {\displaystyle r=2a(1-\cos \varphi )\ ,\;a>0\ ,\ }son las cardioides con ecuacionesr=2b(1+porque⁡φ) ,b>0 .{\displaystyle r=2b(1+\cos \varphi )\ ,\;b>0\ .}

(El segundo lápiz puede considerarse como un reflejo del primero en el eje y. Véase el diagrama.)

Prueba

Para una curva dada en coordenadas polares por una funciónr(φ){\displaystyle r(\varphi )}Se cumple la siguiente relación con las coordenadas cartesianas: incógnita(φ)=r(φ)porque⁡φ,y(φ)=r(φ)pecado⁡φ{\displaystyle {\begin{aligned}x(\varphi )&=r(\varphi )\cos \varphi \,,\\y(\varphi )&=r(\varphi )\sin \varphi \end{aligned}}}

y para los derivados dincógnitadφ=r′(φ)porque⁡φ−r(φ)pecado⁡φ,dydφ=r′(φ)pecado⁡φ+r(φ)porque⁡φ.{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx}{d\varphi }}&=r'(\varphi )\cos \varphi -r(\varphi )\sin \varphi \,,\\{\frac {dy}{d\varphi }}&=r'(\varphi )\sin \varphi +r(\varphi )\cos \varphi \,.\end{aligned}}}

Dividiendo la segunda ecuación por la primera se obtiene la pendiente cartesiana de la recta tangente a la curva en el punto(r(φ),φ){\displaystyle (r(\varphi ),\varphi )}: dydincógnita=r′(φ)pecado⁡φ+r(φ)porque⁡φr′(φ)porque⁡φ−r(φ)pecado⁡φ.{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {r'(\varphi )\sin \varphi +r(\varphi )\cos \varphi }{r'(\varphi )\cos \varphi -r(\varphi )\sin \varphi }}.}

Para las cardioides con las ecuacionesr=2a(1−porque⁡φ){\displaystyle r=2a(1-\cos \varphi )\;}yr=2b(1+porque⁡φ) {\displaystyle r=2b(1+\cos \varphi )\ }respectivamente se obtiene: dyadincógnita=porque⁡(φ)−porque⁡(2φ)pecado⁡(2φ)−pecado⁡(φ){\displaystyle {\frac {dy_{a}}{dx}}={\frac {\cos(\varphi )-\cos(2\varphi )}{\sin(2\varphi )-\sin(\varphi )}}}ydybdincógnita=−porque⁡(φ)+porque⁡(2φ)pecado⁡(2φ)+pecado⁡(φ) .{\displaystyle {\frac {dy_{b}}{dx}}=-{\frac {\cos(\varphi )+\cos(2\varphi )}{\sin(2\varphi )+\sin(\varphi )}}\ .}

(La pendiente de cualquier curva depende deφ{\displaystyle \varphi }solamente, y no en los parámetrosa{\displaystyle a}ob{\displaystyle b}!)

Por eso dyadincógnita⋅dybdincógnita=⋯=−porque2⁡φ−porque2⁡(2φ)pecado2⁡(2φ)−pecado2⁡φ=−−1+porque2⁡φ+1−porque2⁡2φpecado2⁡(2φ)−pecado2⁡(φ)=−1.{\displaystyle {\frac {dy_{a}}{dx}}\cdot {\frac {dy_{b}}{dx}}=\cdots =-{\frac {\cos ^{2}\varphi -\cos ^{2}(2\varphi )}{\sin ^{2}(2\varphi )-\sin ^{2}\varphi }}=-{\frac {-1+\cos ^{2}\varphi +1-\cos ^{2}2\varphi }{\sin ^{2}(2\varphi )-\sin ^{2}(\varphi )}}=-1\,.} Eso significa que cualquier curva del primer lápiz interseca ortogonalmente cualquier curva del segundo lápiz.

4 cardioides en representación polar y su posición en el sistema de coordenadas

En diferentes posiciones

Elegir otras posiciones de la cardioide dentro del sistema de coordenadas da como resultado ecuaciones diferentes. La imagen muestra las cuatro posiciones más comunes de una cardioide y sus ecuaciones polares.

En análisis complejo

El límite de la región central, de periodo 1, del conjunto de Mandelbrot es una cardioide precisa.

En análisis complejo , la imagen de cualquier círculo que pase por el origen bajo el mapaz→z2{\displaystyle z\to z^{2}}es una cardioide. Una aplicación de este resultado es que el límite del componente central de periodo 1 del conjunto de Mandelbrot es una cardioide dada por la ecuacióndo=1−(miit−1)24.{\displaystyle c\,=\,{\frac {1-\left(e^{it}-1\right)^{2}}{4}}.}

El conjunto de Mandelbrot contiene un número infinito de copias ligeramente distorsionadas de sí mismo, y el centro de cualquiera de estas copias más pequeñas tiene forma de cardioide aproximada.

Cardioide formado por la luz en la esfera de un reloj .

Cáusticas

Ciertas cáusticas pueden adoptar la forma de cardioides. La catacáustica de un círculo con respecto a un punto de la circunferencia es una cardioide. Asimismo, la catacáustica de un cono con respecto a rayos paralelos a una línea generatriz es una superficie cuya sección transversal es una cardioide. Esto se puede observar, como en la fotografía de la derecha, en una copa cónica parcialmente llena de líquido cuando una luz incide desde una distancia y con un ángulo igual al ángulo del cono. [ 6 ] La forma de la curva en el fondo de una copa cilíndrica es la mitad de un nefroide , que se parece bastante.

Generando una cardioide como curva pedal de un círculo.

Véase también

Notas

  1. ^ Weisstein, Eric W. "Curva inversa de parábola" . MundoMatemático .
  2. ↑ S Balachandra Rao. Cálculo diferencial , pág. 457
  3. ↑ Lockwood
  4. ↑ Yates
  5. ↑ Gutenmacher, Victor; Vasilyev, NB (2004). Líneas y curvas . Boston: Birkhäuser. p. 90. doi : 10.1007/978-1-4757-3809-4 . ISBN  9781475738094.
  6. ^ "Surface Caustique" en la Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables

Referencias

  • RC Yates (1952). "Cardioide". Un manual sobre curvas y sus propiedades . Ann Arbor, MI: JW Edwards. págs.  4 y siguientes.
  • Wells D (1991). The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry . Nueva York: Penguin Books. págs. 24–25 . ISBN  0-14-011813-6.
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