Eje radical

En geometría euclidiana , el eje radical de dos circunferencias no concéntricas es el conjunto de puntos cuya potencia respecto de las circunferencias es igual. Por este motivo, el eje radical también se denomina recta de potencia o bisectriz de potencia de las dos circunferencias. En detalle:

Para dos círculos c ₁ , c ₂ con centros M ₁ , M ₂ y radios r ₁ , r ₂ las potencias de un punto P con respecto a los círculos son

${\displaystyle \Pi _{1}(P)=|PM_{1}|^{2}-r_{1}^{2},\qquad \Pi _{2}(P)=|PM_{2}|^{2}-r_{2}^{2}.}$

El punto P pertenece al eje radical, si

${\displaystyle \Pi_{1}(P)=\Pi_{2}(P).}$

Si los círculos tienen dos puntos en común, el eje radical es la línea secante común de los círculos.
Si el punto P está fuera de los círculos, P tiene la misma distancia tangencial a ambos círculos.
Si los radios son iguales, el eje radical es la bisectriz del segmento de línea de M ₁ , M ₂ .
En cualquier caso, el eje radical es una línea perpendicular a${\displaystyle {\overline {M_{1}M_{2}}}.}$

Sobre las notaciones

La notación eje radical fue utilizada por el matemático francés M. Chasles como ax radical . ^[1]
JV Poncelet utilizó chorde ideale . ^[2]
J. Plücker introdujo el término Chordale . ^[3]
J. Steiner llamó al eje radical línea de potencias iguales ( ‹Ver Tfd› Alemán : Linie der gleichen Potenzen ) lo que condujo a línea de potencia ( Potenzgerade ). ^[4]

Sean los vectores de posición de los puntos . Entonces la ecuación que define la recta radical se puede escribir como: ${\displaystyle {\vec {x}},{\vec {m}}_{1},{\vec {m}}_{2}}$$Estilo de visualización P, M_{1}, M_{2}$

${\displaystyle ({\vec {x}}-{\vec {m}}_{1})^{2}-r_{1}^{2}=({\vec {x}}-{\vec {m}}_{2})^{2}-r_{2}^{2}\quad \leftrightarrow \quad 2{\vec {x}}\cdot ({\vec {m}}_{2} -{\vec {m}}_{1})+{\vec {m}}_{1}^{2}-{\vec {m}}_{2}^{2}+r_{2} ^{2}-r_{1}^{2}=0}$

De la ecuación correcta se obtiene

• El conjunto de puntos del eje radical es de hecho una línea y es perpendicular a la línea que pasa por los centros del círculo.

( es un vector normal al eje radical !) ${\displaystyle {\vec {m}}_{2}-{\vec {m}}_{1}}$

Dividiendo la ecuación por , se obtiene la forma normal hessiana . Insertando los vectores de posición de los centros se obtienen las distancias de los centros al eje radical: ${\displaystyle 2|{\vec {m}}_{2}-{\vec {m}}_{1}|}$

${\displaystyle d_{1}={\frac {d^{2}+{r_{1}}^{2}-{r_{2}}^{2}}{2d}}\ ,\qquad d_{2}={\frac {d^{2}+{r_{2}}^{2}-{r_{1}}^{2}}{2d}}}$,

con .${\displaystyle d=|M_{1}M_{2}|}$

( puede ser negativo si no está entre .) ${\displaystyle d_{i}}$${\displaystyle L}$${\displaystyle M_{1},M_{2}}$

Si las circunferencias se cortan en dos puntos, la recta radical pasa por los puntos comunes. Si sólo se tocan entre sí, la recta radical es la recta tangente común.

• El eje radical de dos círculos que se intersectan es su línea secante común.

El eje radical de dos círculos en contacto es su tangente común.

El eje radical de dos círculos que no se intersectan es la secante común de dos círculos equipower convenientes (ver abajo).

• Para un punto fuera de un círculo y los dos puntos tangentes, la ecuación se cumple y se encuentra en el círculo con centro y radio . El círculo se interseca de forma ortogonal. Por lo tanto:${\displaystyle P}$${\displaystyle c_{i}}$${\displaystyle S_{i},T_{i}}$${\displaystyle |PS_{i}|^{2}=|PT_{i}|^{2}=\Pi _{i}(P)}$${\displaystyle S_{i},T_{i}}$${\displaystyle c_{o}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle {\sqrt {\Pi _{i}(P)}}}$${\displaystyle c_{o}}$${\displaystyle c_{i}}$

Si es un punto del eje radical, entonces los cuatro puntos se encuentran en el círculo , que interseca los círculos dados ortogonalmente .${\displaystyle P}$${\displaystyle S_{1},T_{1},S_{2},T_{2}}$${\displaystyle c_{o}}$${\displaystyle c_{1},c_{2}}$

• El eje radical está formado por todos los centros de los círculos que intersecan los círculos dados ortogonalmente.

El método descrito en la sección anterior para la construcción de un lápiz de círculos que intersecan ortogonalmente dos círculos dados se puede extender a la construcción de dos sistemas de círculos que se intersecan ortogonalmente: ^{[5] [6]}

Sean dos círculos que se encuentran separados (como en la sección anterior), sus centros y radios y su eje radical. Ahora, todos los círculos se determinarán con centros en la línea , que tienen junto con la línea como eje radical, también. Si es un círculo cuyo centro tiene distancia al centro y radio . Del resultado en la sección anterior se obtiene la ecuación ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$${\displaystyle M_{1},M_{2},r_{1},r_{2}}$${\displaystyle g_{12}}$${\displaystyle {\overline {M_{1}M_{2}}}}$${\displaystyle c_{1}}$${\displaystyle g_{12}}$${\displaystyle \gamma _{2}}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle M_{1}}$${\displaystyle \rho _{2}}$

${\displaystyle d_{1}={\frac {\delta ^{2}+r_{1}^{2}-\rho _{2}^{2}}{2\delta }}\quad }$, donde se fijan.${\displaystyle d_{1}>r_{1}}$

Con la ecuación se puede reescribir como: ${\displaystyle \delta _{2}=\delta -d_{1}}$

${\displaystyle \delta _{2}^{2}=d_{1}^{2}-r_{1}^{2}+\rho _{2}^{2}}$.

Si se da el radio, a partir de esta ecuación se encuentra la distancia al eje radical (fijo) del nuevo centro. En el diagrama, el color de los nuevos círculos es violeta. Cualquier círculo verde (ver diagrama) tiene su centro en el eje radical e interseca los círculos ortogonalmente y, por lo tanto, todos los nuevos círculos (violetas) también. Eligiendo el eje radical (rojo) como eje y y la línea como eje x, los dos lápices de círculos tienen las ecuaciones: ${\displaystyle \rho _{2}}$${\displaystyle \delta _{2}}$${\displaystyle c_{1},c_{2}}$${\displaystyle {\overline {M_{1}M_{2}}}}$

púrpura:${\displaystyle \ \ \ (x-\delta _{2})^{2}+y^{2}=\delta _{2}^{2}+r_{1}^{2}-d_{1}^{2}}$

verde:${\displaystyle \ x^{2}+(y-y_{g})^{2}=y_{g}^{2}+d_{1}^{2}-r_{1}^{2}\ .}$

( es el centro de un círculo verde.) ${\displaystyle \;(0,y_{g})}$

Propiedades:
a) Dos círculos verdes cualesquiera se intersecan en el eje x en los puntos , los polos del sistema ortogonal de círculos. Esto significa que el eje x es la línea radical de los círculos verdes. b) Los círculos morados no tienen puntos en común. Pero, si se considera el plano real como parte del plano complejo, entonces dos círculos morados cualesquiera se intersecan en el eje y (su eje radical común) en los puntos . ${\displaystyle P_{1/2}={\big (}\pm {\sqrt {d_{1}^{2}-r_{1}^{2}}},0{\big )}}$
${\displaystyle Q_{1/2}={\big (}0,\pm i{\sqrt {d_{1}^{2}-r_{1}^{2}}}{\big )}}$

Casos especiales:
a) En el caso de que los círculos verdes se toquen entre sí en el origen con el eje x como tangente común y los círculos violetas tengan el eje y como tangente común. Un sistema de círculos de este tipo se llama círculos parabólicos coaxiales (ver más abajo). b) Al reducirse a su centro , es decir , las ecuaciones se convierten en una forma más simple y se obtiene . ${\displaystyle d_{1}=r_{1}}$
${\displaystyle c_{1}}$${\displaystyle M_{1}}$${\displaystyle r_{1}=0}$${\displaystyle M_{1}=P_{1}}$

Conclusión:
a) Para cualquier círculo real el lápiz ${\displaystyle w}$

${\displaystyle \;c(\xi ):\;(x-\xi )^{2}+y^{2}-\xi ^{2}-w=0\ :}$

tiene la propiedad: El eje y es el eje radical de .${\displaystyle c(\xi _{1}),c(\xi _{2})}$

En el caso de que los círculos se intersequen en los puntos .${\displaystyle w>0}$${\displaystyle c(\xi _{1}),c(\xi _{2})}$${\displaystyle P_{1/2}=(0,\pm {\sqrt {w}})}$

En caso de que no tengan puntos en común.${\displaystyle w<0}$

En caso de que se toquen en y el eje y sea su tangente común.${\displaystyle w=0}$${\displaystyle (0,0)}$

b) Para cualquier círculo real los dos lápices ${\displaystyle w}$

${\displaystyle c_{1}(\xi ):\;(x-\xi )^{2}+y^{2}-\xi ^{2}-w=0\ ,}$

${\displaystyle c_{2}(\eta ):\;x^{2}+(y-\eta )^{2}-\eta ^{2}+w=0\ }$

Forman un sistema de círculos ortogonales . Esto significa que dos círculos cualesquiera se intersecan ortogonalmente.${\displaystyle c_{1}(\xi ),c_{2}(\eta )}$

c) De las ecuaciones de b), se obtiene una representación libre de coordenadas:

Para los puntos dados , su punto medio y su segmento de línea bisectriz las dos ecuaciones ${\displaystyle P_{1},P_{2}}$${\displaystyle O}$${\displaystyle g_{12}}$

${\displaystyle |XM|^{2}=|OM|^{2}-|OP_{1}|^{2}\ ,}$

${\displaystyle |XN|^{2}=|ON|^{2}+|OP_{1}|^{2}=|NP_{1}|^{2}}$

con en , pero no entre , y en${\displaystyle M}$${\displaystyle {\overline {P_{1}P_{2}}}}$${\displaystyle P_{1},P_{2}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle g_{12}}$

describe el sistema ortogonal de círculos determinado unívocamente por cuáles son los polos del sistema.${\displaystyle P_{1},P_{2}}$

También hay que prescribir los ejes del sistema. El sistema es parabólico : ${\displaystyle P_{1}=P_{2}=O}$${\displaystyle a_{1},a_{2}}$

${\displaystyle |XM|^{2}=|OM|^{2}\ ,\quad |XN|^{2}=|ON|^{2}}$

con una y otra vez .${\displaystyle M}$${\displaystyle a_{1}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle a_{2}}$

Construcción con regla y compás:

Un sistema de círculos ortogonales está determinado únicamente por sus polos : ${\displaystyle P_{1},P_{2}}$

1. Los ejes (ejes radicales) son las rectas y la bisectriz del segmento de recta de los polos.${\displaystyle {\overline {P_{1}P_{2}}}}$${\displaystyle g_{12}}$
2. Los círculos (verdes en el diagrama) tienen su centro en . Se pueden dibujar fácilmente. Para un punto, el radio es .${\displaystyle P_{1},P_{2}}$${\displaystyle g_{12}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \;r_{N}=|NP_{1}|\;}$
3. Para dibujar un círculo del segundo lápiz (en el diagrama azul) con centro en , se determina el radio aplicando el teorema de Pitágoras : (ver diagrama).${\displaystyle M}$${\displaystyle {\overline {P_{1}P_{2}}}}$${\displaystyle r_{M}}$${\displaystyle \;r_{M}^{2}=|OM|^{2}-|OP_{1}|^{2}\;}$

En caso de que se deban elegir los ejes adicionales, el sistema es parabólico y se puede dibujar fácilmente. ${\displaystyle P_{1}=P_{2}}$

Definición y propiedades:

Sean dos círculos y sus funciones de potencia. Entonces, para cualquier${\displaystyle c_{1},c_{2}}$${\displaystyle \Pi _{1},\Pi _{2}}$${\displaystyle \lambda \neq 1}$

• ${\displaystyle \Pi _{1}(x,y)-\lambda \Pi _{2}(x,y)=0}$

es la ecuación de un círculo (ver más abajo). Un sistema de círculos de este tipo se denomina círculos coaxiales generados por los círculos . (En el caso de la ecuación describe el eje radical de .) ^{[7] [8]}${\displaystyle c(\lambda )}$${\displaystyle c_{1},c_{2}}$${\displaystyle \lambda =1}$${\displaystyle c_{1},c_{2}}$

La función de potencia de es ${\displaystyle c(\lambda )}$

${\displaystyle \ \Pi (\lambda ,x,y)={\frac {\Pi _{1}(x,y)-\lambda \Pi _{2}(x,y)}{1-\lambda }}}$.

La ecuación normada (los coeficientes de son ) de es . ${\displaystyle x^{2},y^{2}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle c(\lambda )}$${\displaystyle \ \Pi (\lambda ,x,y)=0}$

Un cálculo simple muestra:

• ${\displaystyle c(\lambda ),c(\mu ),\ \lambda \neq \mu \ ,}$tienen el mismo eje radical que .${\displaystyle c_{1},c_{2}}$

Permitiendo moverse hasta el infinito, se reconoce, que son miembros del sistema de círculos coaxiales: . ${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle c_{1},c_{2}}$${\displaystyle c_{1}=c(0),\;c_{2}=c(\infty )}$

(E): Si se cortan en dos puntos , cualquier círculo contiene , también, y la recta es su eje radical común. Un sistema de este tipo se llama elíptico . (P): Si son tangentes en , cualquier círculo es tangente a en el punto , también. La tangente común es su eje radical común. Un sistema de este tipo se llama parabólico . (H): Si no tienen ningún punto en común , entonces cualquier par del sistema, también. El eje radical de cualquier par de círculos es el eje radical de . El sistema se llama hiperbólico . ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$ ${\displaystyle P_{1},P_{2}}$${\displaystyle c(\lambda )}$${\displaystyle P_{1},P_{2}}$${\displaystyle {\overline {P_{1}P_{2}}}}$
${\displaystyle c_{1},c_{2}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle c_{1},c_{2}}$${\displaystyle P}$
${\displaystyle c_{1},c_{2}}$${\displaystyle c_{1},c_{2}}$

En detalle:

Introduciendo coordenadas tales que

${\displaystyle c_{1}:(x-d_{1})^{2}+y^{2}=r_{1}^{2}}$

${\displaystyle c_{2}:(x-d_{2})^{2}+y^{2}=d_{2}^{2}+r_{1}^{2}-d_{1}^{2}}$,

entonces el eje y es su eje radical (ver arriba).

El cálculo de la función potencia da como resultado la ecuación del círculo normado: ${\displaystyle \Pi (\lambda ,x,y)}$

${\displaystyle c(\lambda ):\ x^{2}+y^{2}-2{\tfrac {d_{1}-\lambda d_{2}}{1-\lambda }}\;x+d_{1}^{2}-r_{1}^{2}=0\ .}$

Completando el cuadrado y la sustitución (coordenada x del centro) se obtiene la forma centrada de la ecuación. ${\displaystyle \delta _{2}={\tfrac {d_{1}-\lambda d_{2}}{1-\lambda }}}$

${\displaystyle c(\lambda ):\ (x-\delta _{2})^{2}+y^{2}=\delta _{2}^{2}+r_{1}^{2}-d_{1}^{2}}$.

En el caso de los círculos tienen los dos puntos ${\displaystyle r_{1}>d_{1}}$${\displaystyle c_{1},c_{2},c(\lambda )}$

${\displaystyle P_{1}={\big (}0,{\sqrt {r_{1}^{2}-d_{1}^{2}}}{\big )},\quad P_{2}={\big (}0,-{\sqrt {r_{1}^{2}-d_{1}^{2}}}{\big )}}$

en común y el sistema de círculos coaxiales es elíptico .

En el caso de que los círculos tengan punto en común y el sistema sea parabólico . ${\displaystyle r_{1}=d_{1}}$${\displaystyle c_{1},c_{2},c(\lambda )}$${\displaystyle P_{0}=(0,0)}$

En el caso de que los círculos no tengan ningún punto en común y el sistema sea hiperbólico . ${\displaystyle r_{1}<d_{1}}$${\displaystyle c_{1},c_{2},c(\lambda )}$

Ecuaciones alternativas:
1) En la ecuación definitoria de un sistema coaxial de círculos se pueden utilizar también múltiplos de las funciones de potencia.
2) La ecuación de uno de los círculos se puede sustituir por la ecuación del eje radical deseado. El eje radical se puede ver como un círculo con un radio infinitamente grande. Por ejemplo:

${\displaystyle (x-x_{1})^{2}+y^{2}-r_{1}^{2}\ -\ \lambda \;2(x-x_{2})\ =0\ \Leftrightarrow }$

${\displaystyle (x-(x_{1}+\lambda ))^{2}+y^{2}=(x_{1}+\lambda )^{2}+r_{1}^{2}-x_{1}^{2}-2\lambda x_{2}}$,

describe todos los círculos que tienen como eje radical la línea en el primer círculo. 3) Para expresar la igualdad de condiciones de los dos círculos se suele utilizar la siguiente forma: ${\displaystyle x=x_{2}}$

${\displaystyle \mu \Pi _{1}(x,y)+\nu \Pi _{2}(x,y)=0\;.}$

Pero en este caso la representación de un círculo por los parámetros no es única . ${\displaystyle \mu ,\nu }$

Aplicaciones:
a) Las inversiones de círculos y las transformaciones de Möbius preservan los ángulos y los círculos generalizados . Por lo tanto, los sistemas ortogonales de círculos desempeñan un papel esencial en las investigaciones sobre estas aplicaciones. ^{[9] [10]}
b) En el electromagnetismo, los círculos coaxiales aparecen como líneas de campo . ^[11]

• Para tres círculos , de los cuales ninguno es concéntrico, hay tres ejes radicales . Si los centros de los círculos no están sobre una línea, los ejes radicales se cortan en un punto común , el centro radical de los tres círculos. El círculo ortogonal centrado en dos círculos también es ortogonal al tercer círculo ( círculo radical ).${\displaystyle c_{1},c_{2},c_{3}}$${\displaystyle g_{12},g_{23},g_{31}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$

Demostración: el eje radical contiene todos los puntos que tienen la misma distancia tangencial a los círculos . El punto de intersección de y tiene la misma distancia tangencial a los tres círculos. Por lo tanto , también es un punto del eje radical .${\displaystyle g_{ik}}$${\displaystyle c_{i},c_{k}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle g_{12}}$${\displaystyle g_{23}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle g_{31}}$

Esta propiedad permite construir el eje radical de dos círculos que no se intersectan y que tienen centros : Dibuje un tercer círculo con centro no colineal a los centros dados que interseca a . Se pueden dibujar los ejes radicales . Su punto de intersección es el centro radical de los tres círculos y se encuentra en . La línea a través de la cual es perpendicular a es el eje radical .${\displaystyle c_{1},c_{2}}$${\displaystyle M_{1},M_{2}}$${\displaystyle c_{3}}$${\displaystyle c_{1},c_{2}}$${\displaystyle g_{13},g_{23}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle g_{12}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle {\overline {M_{1}M_{2}}}}$${\displaystyle g_{12}}$

Método de construcción adicional:

Todos los puntos que tienen la misma potencia respecto de un círculo dado se encuentran en un círculo concéntrico a . Lo llamaremos círculo de equipower . Esta propiedad se puede utilizar para un método de construcción adicional del eje radical de dos círculos: ${\displaystyle c}$${\displaystyle c}$

Para dos círculos que no se cortan , se pueden dibujar dos círculos equipower , que tienen la misma potencia con respecto a (ver diagrama). En detalle: . Si la potencia es suficientemente grande, los círculos tienen dos puntos en común, que se encuentran en el eje radical . ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$${\displaystyle c'_{1},c'_{2}}$${\displaystyle c_{1},c_{2}}$${\displaystyle \Pi _{1}(P_{1})=\Pi _{2}(P_{2})}$${\displaystyle c'_{1},c'_{2}}$${\displaystyle g_{12}}$

En general, dos círculos disjuntos y no concéntricos pueden alinearse con los círculos de un sistema de coordenadas bipolares . En ese caso, el eje radical es simplemente el eje de este sistema de coordenadas. Cada círculo sobre el eje que pasa por los dos focos del sistema de coordenadas interseca los dos círculos ortogonalmente. Una colección máxima de círculos, todos con centros en una línea dada y todos los pares con el mismo eje radical, se conoce como un lápiz de círculos coaxiales . ${\displaystyle y}$

Si los círculos se representan en coordenadas trilineales de la forma habitual, entonces su centro radical se da convenientemente como un determinado determinante. En concreto, sea X = x  :  y  :  z un punto variable en el plano de un triángulo ABC con lados a = | BC |, b = | CA |, c = | AB |, y representemos los círculos de la siguiente manera:

( dx + ey + fz ) ( ax + by + cz ) + g ( ayz + bzx + cxy ) = 0

( hx + iy + jz ) ( ax + by + cz ) + k ( ayz + bzx + cxy ) = 0

( lx + my + nz ) ( ax + by + cz ) + p ( ayz + bzx + cxy ) = 0

Entonces el centro radical es el punto

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}g&k&p\\e&i&m\\f&j&n\end{bmatrix}}:\det {\begin{bmatrix}g&k&p\\f&j&n\\d&h&l\end{bmatrix}}:\det {\begin{bmatrix}g&k&p\\d&h&l\\e&i&m\end{bmatrix}}.}$

El plano radical de dos esferas no concéntricas en tres dimensiones se define de manera similar: es el lugar geométrico de los puntos desde los cuales las tangentes a las dos esferas tienen la misma longitud. ^[12] El hecho de que este lugar geométrico sea un plano se deduce por rotación en la tercera dimensión del hecho de que el eje radical es una línea recta.

La misma definición se puede aplicar a las hiperesferas en el espacio euclidiano de cualquier dimensión, dando el hiperplano radical de dos hiperesferas no concéntricas.

• RA Johnson (1960). Advanced Euclidean Geometry: An Elementary Treatise on the Geometry of the Triangle and the Circle (reimpresión de la edición de 1929 de Houghton Mifflin ed.). Nueva York: Dover Publications. pp. 31–43. ISBN 978-0-486-46237-0.

• C. Stanley Ogilvy (1990). Excursiones en geometría. Dover. Págs. 17-23. ISBN. 0-486-26530-7.
• HSM Coxeter , SL Greitzer (1967). Geometry Revisited . Washington, DC : Asociación Matemática de Estados Unidos . Págs. 31-36, 160-161. ISBN. 978-0-88385-619-2.
• Clark Kimberling, "Centros triangulares y triángulos centrales", Congressus Numerantium 129 (1998) i–xxv, 1–295.

• Weisstein, Eric W. "Línea radical". MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Teorema de cuerdas". MathWorld .
• Animación en Cut-the-knot