Teorema de los ultraparalelos

En geometría hiperbólica , se dice que dos líneas son ultraparalelas si no se intersecan y no son paralelas límite .

El teorema ultraparalelo establece que cada par de líneas ultraparalelas (distintas) tiene una única perpendicular común (una línea hiperbólica que es perpendicular a ambas líneas).

Sean r y s dos rectas ultraparalelas.

Desde dos puntos distintos A y C en s, trace AB y CB' perpendiculares a r con B y B' en r .

Si sucede que AB = CB', entonces la perpendicular común buscada une los puntos medios de AC y BB' (por la simetría del cuadrilátero de Saccheri ACB'B).

En caso contrario, podemos suponer que AB < CB' sin pérdida de generalidad. Sea E un punto de la línea s en el lado opuesto de A desde C. Tómese A' en CB' de modo que A'B' = AB. A través de A' trace una línea s' (A'E') en el lado más cercano a E, de modo que el ángulo B'A'E' sea el mismo que el ángulo BAE. Entonces s' corta a s en un punto ordinario D'. Construya un punto D en el rayo AE de modo que AD = A'D'.

Entonces D' ≠ D. Están a la misma distancia de r y ambos se encuentran en s. Por lo tanto, la bisectriz perpendicular de D'D (un segmento de s) también es perpendicular a r. ^[1]

(Si r y s fueran asintóticamente paralelos en lugar de ultraparalelos, esta construcción fallaría porque s' no se encontraría con s. Más bien, s' sería paralelo limitante tanto a s como a r).

Dejar

${\estilo de visualización a<b<c<d}$

Sean cuatro puntos distintos en la abscisa del plano cartesiano . Sean y semicírculos por encima de la abscisa con diámetros y respectivamente. Luego , en el modelo de semiplano de Poincaré HP, y representan líneas ultraparalelas. ${\estilo de visualización p}$${\estilo de visualización q}$${\estilo de visualización ab}$${\estilo de visualización cd}$${\estilo de visualización p}$${\estilo de visualización q}$

Componga los dos movimientos hiperbólicos siguientes :

${\displaystyle x\to xa}$

${\displaystyle {\mbox{inversión en el semicírculo unitario.}}}$

Entonces${\displaystyle a\to \infty ,\quad b\to (ba)^{-1},\quad c\to (ca)^{-1},\quad d\to (da)^{-1}.}$

Ahora continuamos con estos dos movimientos hiperbólicos:

${\displaystyle x\to x-(ba)^{-1}}$

${\displaystyle x\to \left[(ca)^{-1}-(ba)^{-1}\right]^{-1}x}$

Entonces se queda en , , , (digamos). El único semicírculo, con centro en el origen, perpendicular al de debe tener un radio tangente al radio del otro. El triángulo rectángulo formado por la abscisa y los radios perpendiculares tiene hipotenusa de longitud . Como es el radio del semicírculo en , la perpendicular común buscada tiene radio cuadrado ${\estilo de visualización a}$${\estilo de visualización\infty}$${\displaystyle b\to 0}$${\displaystyle c\to 1}$${\displaystyle d\to z}$${\estilo de visualización 1z}$${\displaystyle {\begin{matriz}{\frac {1}{2}}\end{matriz}}(z+1)}$${\displaystyle {\begin{matriz}{\frac {1}{2}}\end{matriz}}(z-1)}$${\estilo de visualización 1z}$

${\displaystyle {\frac {1}{4}}\left[(z+1)^{2}-(z-1)^{2}\right]=z.}$

Los cuatro movimientos hiperbólicos producidos anteriormente se pueden invertir y aplicar en orden inverso al semicírculo centrado en el origen y de radio para producir la única línea hiperbólica perpendicular a ambos ultraparalelos y . ${\estilo de visualización z}$${\displaystyle {\sqrt {z}}}$${\estilo de visualización p}$${\estilo de visualización q}$

En el modelo de Beltrami-Klein de la geometría hiperbólica:

• Dos líneas ultraparalelas corresponden a dos cuerdas que no se intersecan .
• Los polos de estas dos líneas son las respectivas intersecciones de las líneas tangentes al círculo límite en los puntos finales de las cuerdas.
• Las líneas perpendiculares a la línea l están modeladas por cuerdas cuya extensión pasa por el polo de l .
• Por tanto, trazamos la línea única entre los polos de las dos líneas dadas y la intersectamos con el círculo límite; la cuerda de intersección será la perpendicular común deseada de las líneas ultraparalelas.

Si una de las cuerdas resulta ser un diámetro, no tenemos un polo, pero en este caso cualquier cuerda perpendicular al diámetro también es perpendicular en el modelo de Beltrami-Klein, y entonces trazamos una línea a través del polo de la otra línea que interseca el diámetro en ángulos rectos para obtener la perpendicular común.

La prueba se completa mostrando que esta construcción siempre es posible:

• Si ambas cuerdas son diámetros, se intersecan (en el centro del círculo límite).
• Si sólo una de las cuerdas es un diámetro, la otra cuerda se proyecta ortogonalmente hacia abajo hasta una sección de la primera cuerda contenida en su interior, y una línea desde el polo ortogonal al diámetro intersecta tanto el diámetro como la cuerda.
• Si ambas líneas no son diámetros, entonces podemos extender las tangentes trazadas desde cada polo para producir un cuadrilátero con el círculo unitario inscrito en él. ^{[ ¿cómo? ]} Los polos son vértices opuestos de este cuadrilátero, y las cuerdas son líneas trazadas entre lados adyacentes del vértice, a través de esquinas opuestas. Dado que el cuadrilátero es convexo, ^{[ ¿por qué? ]} la línea entre los polos intersecta ambas cuerdas trazadas a través de las esquinas, y el segmento de la línea entre las cuerdas define la cuerda requerida perpendicular a las otras dos cuerdas.

Alternativamente, podemos construir la perpendicular común de las líneas ultraparalelas de la siguiente manera: las líneas ultraparalelas en el modelo de Beltrami-Klein son dos cuerdas que no se intersecan, pero en realidad se intersecan fuera del círculo. La polar del punto de intersección es la perpendicular común deseada. ^[2]

• Karol Borsuk y Wanda Szmielew (1960) Fundamentos de geometría , página 291.