Movimiento hiperbólico

En geometría , los movimientos hiperbólicos son automorfismos isométricos de un espacio hiperbólico . Bajo la composición de aplicaciones, los movimientos hiperbólicos forman un grupo continuo . Se dice que este grupo caracteriza al espacio hiperbólico. Este enfoque de la geometría fue cultivado por Felix Klein en su programa de Erlangen . La idea de reducir la geometría a su grupo característico fue desarrollada particularmente por Mario Pieri en su reducción de las nociones primitivas de geometría a meramente punto y movimiento .

Los movimientos hiperbólicos se toman a menudo de la geometría inversa : se trata de aplicaciones compuestas de reflexiones en una línea o un círculo (o en un hiperplano o una hiperesfera para espacios hiperbólicos de más de dos dimensiones). Para distinguir los movimientos hiperbólicos, se toma una línea o un círculo particular como el absoluto . La condición es que el absoluto debe ser un conjunto invariante de todos los movimientos hiperbólicos. El absoluto divide el plano en dos componentes conectados , y los movimientos hiperbólicos no deben permutar estos componentes.

Uno de los contextos más frecuentes para la geometría inversa y los movimientos hiperbólicos es el estudio de las aplicaciones del plano complejo mediante transformaciones de Möbius . Los libros de texto sobre funciones complejas a menudo mencionan dos modelos comunes de geometría hiperbólica: el modelo de semiplano de Poincaré , donde el absoluto es la línea real en el plano complejo, y el modelo de disco de Poincaré , donde el absoluto es el círculo unitario en el plano complejo. Los movimientos hiperbólicos también se pueden describir en el modelo hiperboloide de la geometría hiperbólica. ^[1]

En este artículo se muestran estos ejemplos del uso de movimientos hiperbólicos: la extensión de la métrica al semiplano y al disco unitario . ${\displaystyle d(a,b)=\vert \log(b/a)\vert }$

Todo movimiento ( transformación o isometría ) del plano hiperbólico respecto de sí mismo puede realizarse como la composición de, como máximo, tres reflexiones . En un espacio hiperbólico de n dimensiones, pueden requerirse hasta n +1 reflexiones. (Esto también es válido para las geometrías esférica y euclidiana, pero la clasificación que se indica a continuación es diferente).

Todas las isometrías del plano hiperbólico se pueden clasificar en estas clases:

• Preservación de la orientación
  • la isometría de identidad : nada se mueve; cero reflexiones; cero grados de libertad .
  • inversión a través de un punto (media vuelta) — dos reflexiones a través de líneas mutuamente perpendiculares que pasan por el punto dado, es decir, una rotación de 180 grados alrededor del punto; dos grados de libertad .
  • rotación alrededor de un punto normal — dos reflexiones a través de líneas que pasan por el punto dado (incluye la inversión como caso especial); los puntos se mueven en círculos alrededor del centro; tres grados de libertad.
  • "rotación" alrededor de un punto ideal (horolación) — dos reflexiones a través de líneas que conducen al punto ideal; los puntos se mueven a lo largo de horociclos centrados en el punto ideal; dos grados de libertad.
  • traslación a lo largo de una línea recta — dos reflexiones a través de líneas perpendiculares a la línea dada; los puntos fuera de la línea dada se mueven a lo largo de hiperciclos; tres grados de libertad.
• Inversión de orientación
  • reflexión a través de una línea — una reflexión; dos grados de libertad.
  • reflexión combinada a través de una línea y traslación a lo largo de la misma línea — la reflexión y la traslación conmutan; se requieren tres reflexiones; tres grados de libertad. ^{[ cita requerida ]}

Los puntos del modelo de semiplano de Poincaré HP se dan en coordenadas cartesianas como {( x , y ): y > 0} o en coordenadas polares como {( r cos a , r sen a ): 0 < a < π, r > 0 }. Los movimientos hiperbólicos se tomarán como una composición de tres movimientos hiperbólicos fundamentales. Sea p = ( x,y ) o p = ( r cos a , r sen a ), p ∈ HP.

Los movimientos fundamentales son:

p → q = ( x + c , y ), c ​​∈ R (desplazamiento hacia la izquierda o hacia la derecha)

p → q = ( sx , sy ), s > 0 ( dilatación )

p → q = ( r ⁻¹ cos a , r ⁻¹ sen a ) ( inversión en semicírculo unitario ).

Nota: el desplazamiento y la dilatación son mapeos de geometría inversa compuesta por un par de reflexiones en líneas verticales o círculos concéntricos respectivamente.

Consideremos el triángulo {(0,0),(1,0),(1,tan a )}. Puesto que 1 + tan ² a = sec ² a , la longitud de la hipotenusa del triángulo es sec a , donde sec denota la función secante ^{[ ancla rota ]} . Establezcamos r = sec a y apliquemos el tercer movimiento hiperbólico fundamental para obtener q = ( r cos a , r sen a ) donde r = sec ⁻¹ a = cos a . Ahora

| q – (½, 0)| ² = (cos ² a – ½) ² +cos ² a sen ² a = ¼

de modo que q se encuentra en el semicírculo Z de radio ½ y centro (½, 0). Por lo tanto, el rayo tangente en (1, 0) se mapea a Z por el tercer movimiento hiperbólico fundamental. Cualquier semicírculo puede redimensionarse mediante una dilatación a radio ½ y desplazarse a Z , luego la inversión lo lleva al rayo tangente. Por lo tanto, la colección de movimientos hiperbólicos permuta los semicírculos con diámetros en y = 0 a veces con rayos verticales, y viceversa. Supongamos que uno acepta medir la longitud en rayos verticales usando la medida logarítmica :

d (( x , y ),( x , z )) = |log( z / y )|.

Luego, mediante movimientos hiperbólicos también se pueden medir distancias entre puntos en semicírculos: primero se mueven los puntos a Z con el desplazamiento y la dilatación adecuados, luego se colocan por inversión en el rayo tangente donde se conoce la distancia logarítmica.

Para m y n en HP, sea b la bisectriz perpendicular del segmento de línea que conecta m y n . Si b es paralela a la abscisa , entonces m y n están conectados por un rayo vertical; de lo contrario, b interseca la abscisa, por lo que hay un semicírculo centrado en esta intersección que pasa por m y n . El conjunto HP se convierte en un espacio métrico cuando se le asigna la distancia d ( m , n ) para m , n ∈ HP tal como se encuentra en el rayo o semicírculo vertical. A los rayos y semicírculos verticales se les llama líneas hiperbólicas en HP. La geometría de puntos y líneas hiperbólicas en HP es un ejemplo de geometría no euclidiana ; sin embargo, la construcción de los conceptos de línea y distancia para HP se basa en gran medida en la geometría original de Euclides.

Consideremos el disco D = { z ∈ C  : zz * < 1 } en el plano complejo C . El plano geométrico de Lobachevsky se puede representar en D con arcos circulares perpendiculares al límite de D que significan líneas hiperbólicas . Utilizando la aritmética y la geometría de los números complejos, y las transformaciones de Möbius , existe el modelo del disco de Poincaré del plano hiperbólico:

Supongamos que a y b son números complejos con aa * −  bb * = 1. Nótese que

| bz + a *| ² - | az + b *| ² = ( aa * − bb *)(1 − | z | ² ),

de modo que | z | < 1 implica |( a z + b *)/( bz + a *)| < 1 . Por lo tanto, el disco D es un conjunto invariante de la transformación de Möbius

f( z ) = ( az + b *)/( bz + a *).

Como también permuta las líneas hiperbólicas, vemos que estas transformaciones son movimientos del modelo D de la geometría hiperbólica . Una matriz compleja

${\displaystyle q={\begin{pmatrix}a&b\\b^{*}&a^{*}\end{pmatrix}}}$

con aa * − bb * = 1, que es un elemento del grupo unitario especial SU(1,1) .

• Lars Ahlfors (1967) Movimientos hiperbólicos, Nagoya Mathematical Journal 29:163–5 a través del Proyecto Euclid
• Francis Bonahon (2009) Geometría de baja dimensión: de superficies euclidianas a nudos hiperbólicos , Capítulo 2 "El plano hiperbólico", páginas 11–39, American Mathematical Society : Student Mathematical Library , volumen 49 ISBN 978-0-8218-4816-6 . 
• Victor V. Prasolov y VM Tikhomirov (1997, 2001) Geometría , American Mathematical Society : Traducciones de monografías matemáticas , volumen 200, ISBN 0-8218-2038-9 . 
• AS Smogorzhevsky (1982) Geometría lobachevskiana , Mir Publishers , Moscú.