Modelo hiperboloide

En geometría , el modelo hiperboloide , también conocido como modelo de Minkowski en honor a Hermann Minkowski , es un modelo de geometría hiperbólica n- dimensional en el que los puntos se representan mediante puntos en la hoja frontal S ^{+ de un} hiperboloide de dos hojas en el espacio de Minkowski ( n +1)-dimensional o mediante los vectores de desplazamiento desde el origen hasta esos puntos, y los planos m se representan mediante las intersecciones de los planos ( m +1) que pasan por el origen en el espacio de Minkowski con S ⁺ o mediante productos de cuña de m vectores. El espacio hiperbólico está incrustado isométricamente en el espacio de Minkowski; es decir, la función de distancia hiperbólica se hereda del espacio de Minkowski, de forma análoga a como la distancia esférica se hereda de la distancia euclidiana cuando la n -esfera está incrustada en el espacio euclidiano ( n +1)-dimensional.

Otros modelos de espacio hiperbólico pueden considerarse proyecciones cartográficas de S ⁺ : el modelo de Beltrami-Klein es la proyección de S ⁺ a través del origen sobre un plano perpendicular a un vector desde el origen hasta un punto específico en S ^+, análogo a la proyección gnomónica de la esfera; el modelo de disco de Poincaré es una proyección de S ⁺ a través de un punto en la otra hoja S− sobre un plano perpendicular ^, análogo a la proyección estereográfica de la esfera; el modelo de Gans es la proyección ortogonal de S ⁺ sobre un plano perpendicular a un punto específico en S ⁺ , análogo a la proyección ortográfica ; el modelo de banda del plano hiperbólico es una proyección "cilíndrica" ​​conforme, análoga a la proyección de Mercator de la esfera; las coordenadas de Lobachevsky son una proyección cilíndrica análoga a la proyección equirrectangular (longitud, latitud) de la esfera.

Si ( x ₀ , x ₁ , ..., x _n ) es un vector en el espacio de coordenadas ( n + 1) dimensional R ^{n +1} , la forma cuadrática de Minkowski se define como

${\displaystyle Q(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})=-x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+\ldots +x_{n}^{2}.}$

Los vectores v ∈ R ^{n +1} tales que Q ( v ) = −1 forman un hiperboloide n -dimensional S que consta de dos componentes o láminas conectadas : la lámina hacia adelante, o futura, S ⁺ , donde x ₀ >0 y la lámina hacia atrás, o pasada, S ⁻ , donde x ₀ <0. Los puntos del modelo hiperboloide n- dimensional son los puntos en la lámina hacia adelante S ⁺ .

La métrica en el hiperboloide es$${\displaystyle ds^{2}=Q(dx_{0},dx_{1},\ldots ,dx_{n})=-dx_{0}^{2}+dx_{1}^{2}+\ldots +dx_{n}^{2}.}$$La forma bilineal de Minkowski B es la polarización de la forma cuadrática de Minkowski Q ,

${\displaystyle B(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=(Q(\mathbf {u} +\mathbf {v} )-Q(\mathbf {u} )-Q(\mathbf {v} ))/2.}$

(Esto a veces también se escribe utilizando la notación de producto escalar)${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} .}$) Explícitamente,

${\displaystyle B((x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n}),(y_{0},y_{1},\ldots ,y_{n}))=-x_{0}y_{0}+x_{1}y_{1}+\ldots +x_{n}y_{n}.}$

La distancia hiperbólica entre dos puntos u y v de S ⁺ viene dada por la fórmula

${\displaystyle d(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=\operatorname {arcosh} (-B(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )),}$

donde arcosh es la función inversa del coseno hiperbólico .

Una línea recta en el espacio hiperbólico n se modela mediante una geodésica en el hiperboloide. Una geodésica en el hiperboloide es la intersección (no vacía) del hiperboloide con un subespacio lineal bidimensional (un plano que pasa por el origen) del espacio de Minkowski n + 1 dimensional. Si tomamos u y v como vectores base de ese subespacio lineal con

${\displaystyle B(\mathbf {u} ,\mathbf {u} )=1}$

${\displaystyle B(\mathbf {v} ,\mathbf {v} )=-1}$

${\displaystyle B(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=B(\mathbf {v} ,\mathbf {u} )=0}$

y usar w como parámetro real para los puntos en la geodésica, entonces

${\displaystyle \mathbf {u} \sinh w+\mathbf {v} \cosh w}$

será un punto en la geodésica. ^{[ 1 ]}

De forma más general, un "plano" k -dimensional en el espacio hiperbólico n-dimensional se modelará mediante la intersección (no vacía) del hiperboloide con un subespacio lineal k +1-dimensional (que incluye el origen) del espacio de Minkowski.

El grupo ortogonal indefinido O(1, n ), también llamado grupo de Lorentz ( n +1)-dimensional , es el grupo de Lie de matrices reales ( n +1)×( n +1) que preservan la forma bilineal de Minkowski. En otro lenguaje, es el grupo de isometrías lineales del espacio de Minkowski . En particular, este grupo preserva el hiperboloide S. Recordemos que los grupos ortogonales indefinidos tienen cuatro componentes conexas, que corresponden a invertir o preservar la orientación en cada subespacio (aquí unidimensional y n -dimensional), y forman un grupo de Klein de cuatro dimensiones . El subgrupo de O(1, n ) que preserva el signo de la primera coordenada es el grupo de Lorentz ortócrono , denotado O ⁺ (1, n ), y tiene dos componentes, que corresponden a preservar o invertir la orientación del subespacio espacial. Su subgrupo SO ⁺ (1, n ) que consta de matrices con determinante uno es un grupo de Lie conexo de dimensión n ( n +1)/2 que actúa sobre S ⁺ mediante automorfismos lineales y preserva la distancia hiperbólica. Esta acción es transitiva y el estabilizador del vector (1,0,...,0) consta de las matrices de la forma

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&\ldots &0\\0&&&\\[-4mu]\vdots &&A&\\0&&&\\\end{pmatrix}}}$

Dónde${\displaystyle A}$ belongs to the compact special orthogonal group SO(n) (generalizing the rotation group SO(3) for n = 3). It follows that the n-dimensional hyperbolic space can be exhibited as the homogeneous space and a Riemannian symmetric space of rank 1,

${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}=\mathrm {SO} ^{+}(1,n)/\mathrm {SO} (n).}$

The group SO⁺(1,n) is the full group of orientation-preserving isometries of the n-dimensional hyperbolic space.

In more concrete terms, SO⁺(1,n) can be split into n(n−1)/2 rotations (formed with a regular Euclidean rotation matrix in the lower-right block) and n hyperbolic translations, which take the form

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\cosh \alpha &\sinh \alpha &0&\cdots \\[2mu]\sinh \alpha &\cosh \alpha &0&\cdots \\[2mu]0&0&1&\\[-7mu]\vdots &\vdots &&\ddots \\\end{pmatrix}}}$

where ${\displaystyle \alpha }$ is the distance translated (along the x-axis in this case), and the 2nd row/column can be exchanged with a different pair to change to a translation along a different axis. The general form of a translation in 3 dimensions along the vector ${\displaystyle (w,x,y,z)}$ is:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}w&x&y&z\\[2mu]x&\ {\dfrac {x^{2}}{w+1}}+1&{\dfrac {yx}{w+1}}&{\dfrac {zx}{w+1}}\\[2mu]y&{\dfrac {xy}{w+1}}&\,{\dfrac {y^{2}}{w+1}}+1&{\dfrac {zy}{w+1}}\\[2mu]z&{\dfrac {xz}{w+1}}&{\dfrac {yz}{w+1}}&{\dfrac {z^{2}}{w+1}}+1\end{pmatrix}}_{\vphantom {|}},}$

where ⁠${\displaystyle \textstyle w={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}+1}}}$⁠. This extends naturally to more dimensions, and is also the simplified version of a Lorentz boost when you remove the relativity-specific terms.

En varios artículos entre 1878 y 1885, Wilhelm Killing ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]} utilizó la representación que atribuyó a Karl Weierstrass para la geometría lobachevskiana . En particular, analizó formas cuadráticas como${\displaystyle k^{2}t^{2}+u^{2}+v^{2}+w^{2}=k^{2}}$o en dimensiones arbitrarias${\displaystyle k^{2}x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+\dots +x_{n}^{2}=k^{2}}$, dónde${\displaystyle k}$es la medida recíproca de la curvatura,${\displaystyle k^{2}=\infty }$denota geometría euclidiana ,${\displaystyle k^{2}>0}$geometría elíptica y${\displaystyle k^{2}<0}$geometría hiperbólica.

Según Jeremy Gray (1986), ^{[ 5 ]} Poincaré utilizó el modelo hiperboloide en sus notas personales en 1880. Poincaré publicó sus resultados en 1881, en los que discutió la invariancia de la forma cuadrática.${\displaystyle \xi ^{2}+\eta ^{2}-\zeta ^{2}=-1}$. ^{[ 6 ]} Gray muestra dónde el modelo hiperboloide está implícito en escritos posteriores de Poincaré. ^{[ 7 ]}

También Homersham Cox en 1882 ^{[ 8 ] [ 9 ]} utilizó coordenadas de Weierstrass (sin usar este nombre) que satisfacen la relación${\displaystyle z^{2}-x^{2}-y^{2}=1}$así como${\displaystyle w^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}=1}$.

Alfred Clebsch y Ferdinand Lindemann dieron mayor difusión al modelo en 1891 al discutir la relación${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-4k^{2}x_{3}^{2}=-4k^{2}}$y${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-4k^{2}x_{4}^{2}=-4k^{2}}$. ^{[ 10 ]}

Las coordenadas de Weierstrass también fueron utilizadas por Gérard (1892), ^{[ 11 ]} Felix Hausdorff (1899), ^{[ 12 ]} Frederick S. Woods (1903)], ^{[ 13 ]} Heinrich Liebmann (1905). ^{[ 14 ]}

El hiperboloide fue explorado como un espacio métrico por Alexander Macfarlane en sus Papers in Space Analysis (1894). Observó que los puntos en el hiperboloide podían escribirse como

${\displaystyle \cosh A+\alpha \sinh A,}$

donde α es un vector base ortogonal al eje del hiperboloide. Por ejemplo, obtuvo la ley hiperbólica de los cosenos mediante el uso de su Álgebra de la Física . ^{[ 1 ]}

H. Jansen convirtió el modelo hiperboloide en el foco explícito de su artículo de 1909 «Representación de la geometría hiperbólica en un hiperboloide de dos hojas». ^{[ 15 ]} En 1993, WF Reynolds relató parte de la historia temprana del modelo en su artículo en el American Mathematical Monthly . ^{[ 16 ]}

Siendo un modelo común en el siglo XX, Hermann Minkowski lo identificó con los Geschwindigkeitsvectoren (vectores de velocidad) en su conferencia de 1907 en Göttingen, «El principio de relatividad». Scott Walter, en su artículo de 1999 «El estilo no euclidiano de la relatividad minkowskiana» ^{[ 17 ],} recuerda que Minkowski ya lo sabía, pero atribuye el origen del modelo a Hermann Helmholtz en lugar de a Weierstrass y Killing.

En los primeros años de la relatividad, Vladimir Varićak utilizó el modelo hiperboloide para explicar la física de la velocidad. En su discurso ante la Unión Matemática Alemana en 1912, se refirió a las coordenadas de Weierstrass. ^{[ 18 ]}

• modelo de disco de Poincaré
• cuaterniones hiperbólicos

• Alekseevskij, DV; Vinberg, EB ; Solodovnikov, AS (1993), Geometría de espacios de curvatura constante , Enciclopedia de ciencias matemáticas, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-52000-9
• Anderson, James (2005), Geometría hiperbólica , Springer Undergraduate Mathematics Series (2.ª  ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-1-85233-934-0
• Ratcliffe, John G. (1994), Fundamentos de variedades hiperbólicas , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94348-0Capítulo 3
• Miles Reid y Balázs Szendröi (2005) Geometría y topología , Figura 3.10, p. 45, Cambridge University Press , ISBN 0-521-61325-6, MR 2194744 . 
• Ryan, Patrick J. (1986), Geometría euclidiana y no euclidiana: Un enfoque analítico , Cambridge, Londres, Nueva York, New Rochelle, Melbourne, Sídney: Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-25654-4
• Parkkonen, Jouni. «GEOMETRÍA HIPERBÓLICA» (PDF) . Consultado el 5 de septiembre de 2020 .