Mapa perfecto

En matemáticas , especialmente en topología , una aplicación perfecta es un tipo particular de función continua entre espacios topológicos . Las aplicaciones perfectas son más débiles que los homeomorfismos , pero lo suficientemente fuertes como para preservar algunas propiedades topológicas, como la compacidad local , que no siempre se conservan en las aplicaciones continuas.

Dejar${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$sean espacios topológicos y dejemos que${\displaystyle p}$ser un mapa de${\displaystyle X}$a${\displaystyle Y}$que es continua , cerrada , sobreyectiva y tal que cada fibra${\displaystyle p^{-1}(y)}$es compacto en relación con${\displaystyle X}$para cada${\displaystyle y}$en${\displaystyle Y}$. Entonces${\displaystyle p}$Se le conoce como un mapa perfecto.

1. Si${\displaystyle p\colon X\to Y}$es un mapa perfecto y${\displaystyle Y}$es compacto , entonces${\displaystyle X}$es compacto.
2. Si${\displaystyle p\colon X\to Y}$es un mapa perfecto y${\displaystyle X}$es regular , entonces${\displaystyle Y}$es regular. (Si${\displaystyle p}$es simplemente continuo, entonces incluso si${\displaystyle X}$es regular,${\displaystyle Y}$no tiene por qué ser regular. Un ejemplo de esto es si${\displaystyle X}$es un espacio regular y${\displaystyle Y}$es un conjunto infinito en la topología indiscreta.)
3. Si${\displaystyle p\colon X\to Y}$es un mapa perfecto y si${\displaystyle X}$es localmente compacto , entonces${\displaystyle Y}$es localmente compacto.
4. Si${\displaystyle p\colon X\to Y}$es un mapa perfecto y si${\displaystyle X}$es segundo contable, entonces${\displaystyle Y}$es segundo contable .
5. Toda aplicación perfecta inyectiva es un homeomorfismo . Esto se deduce del hecho de que una aplicación cerrada biyectiva tiene una inversa continua.
6. Si${\displaystyle p\colon X\to Y}$es un mapa perfecto y si${\displaystyle Y}$está conectado , entonces${\displaystyle X}$No es necesario que estén conectados. Por ejemplo, la aplicación constante de un espacio compacto desconectado a un espacio unitario es una aplicación perfecta.
7. Un mapa perfecto no tiene por qué ser abierto. De hecho, considere el mapa.${\displaystyle p\colon [1,2]\cup [3,4]\to [1,3]}$dado por${\displaystyle p(x)=x}$si${\displaystyle x\in [1,2]}$y${\displaystyle p(x)=x-1}$si${\displaystyle x\in {}[3,4]}$Esta aplicación es cerrada, continua (por el lema de pegado ) y sobreyectiva, por lo que es una aplicación perfecta (la otra condición se cumple trivialmente). Sin embargo, p no es un intervalo abierto, ya que la imagen de [1, 2] bajo p es [1, 2] , que no es abierto con respecto a [1, 3] (el rango de p ). Nótese que esta aplicación es una aplicación cociente y la operación de cociente consiste en "pegar" dos intervalos.
8. Nótese cómo, para preservar propiedades como la conectividad local , la segunda numerabilidad, la compacidad local , etc., la aplicación debe ser no solo continua, sino también abierta. Una aplicación perfecta no tiene por qué ser abierta (véase el ejemplo anterior), pero estas propiedades se conservan igualmente en aplicaciones perfectas.
9. Todo homeomorfismo es una aplicación perfecta. Esto se deduce del hecho de que una aplicación biyectiva abierta es cerrada y de que, dado que un homeomorfismo es inyectivo, la inversa de cada elemento de su coordenada debe ser finita en el dominio (de hecho, la inversa debe tener exactamente un elemento).
10. Toda aplicación perfecta es una aplicación cociente. Esto se deduce del hecho de que una aplicación sobreyectiva, continua y cerrada es siempre una aplicación cociente.
11. Sea G un grupo topológico compacto que actúa continuamente sobre X. Entonces, la aplicación cociente de X a X / G es una aplicación perfecta.
12. Los mapas perfectos son propios . Los mapas propios sobreyectivos son perfectos, siempre que la topología de Y sea de Hausdorff y esté generada de forma compacta. ^{[ 1 ]}

• Mapas abiertos y cerrados : funciones que envían subconjuntos abiertos (o cerrados) a subconjuntos abiertos (o cerrados). 
• Espacio cociente – Construcción de espacios topológicos 
• Mapa propio – Mapa matemático entre espacios topológicos 

• Munkres, James (1999). Topología (2.ª  ed.). Prentice Hall . ISBN 0-13-181629-2.