Espacio localmente compacto

En topología y ramas afines de las matemáticas , un espacio topológico se denomina localmente compacto si, en términos generales, cada pequeña porción del espacio se asemeja a una pequeña porción de un espacio compacto . Más precisamente, es un espacio topológico en el que cada punto tiene un entorno compacto .

Cuando los espacios localmente compactos son de Hausdorff, se les llama espacios de Hausdorff localmente compactos , que son de particular interés en el análisis matemático . ^{[ 1 ]}

Definición formal

Sea X un espacio topológico . Lo más común es decir que X es localmente compacto si cada punto x de X tiene un entorno compacto , es decir, existe un conjunto abierto U y un conjunto compacto K , tales que $x\in U\subsetequ K$ .

Existen otras definiciones comunes, que son todas equivalentes si X es un espacio de Hausdorff (o preregular), pero no son equivalentes en general:

1. Cada punto de X tiene un vecindario compacto .

2. Cada punto de X tiene un entorno compacto cerrado .

2′. Cada punto de X tiene un vecindario relativamente compacto .

2″. Cada punto de X tiene una base local de vecindarios relativamente compactos.

3. Cada punto de X tiene una base local de vecindarios compactos.

4. Cada punto de X tiene una base local de vecindarios compactos cerrados.

5. X es Hausdorff y satisface cualquiera (o equivalentemente, todas) las condiciones anteriores.

Relaciones lógicas entre las condiciones: ^{[ 2 ]}

Cada condición implica (1).
Las condiciones (2), (2′), (2″) son equivalentes.
Ninguna de las condiciones (2), (3) implica la otra.
La condición (4) implica (2) y (3).
La compacidad implica las condiciones (1) y (2), pero no (3) ni (4).

La condición (1) es probablemente la definición más utilizada, ya que es la menos restrictiva y las demás son equivalentes a ella cuando X es Hausdorff . Esta equivalencia es consecuencia del hecho de que los subconjuntos compactos de espacios Hausdorff son cerrados, y los subconjuntos cerrados de espacios compactos son compactos. Los espacios que satisfacen (1) también se denominandébilmente localmente compactos ,^{[ 3 ]}^{[ 4 ]} ya que satisfacen la más débil de las condiciones aquí.

Como se definen en términos de conjuntos relativamente compactos, los espacios que satisfacen (2), (2'), (2") pueden llamarse más específicamente localmente relativamente compactos . ^{[ 5 ]}^{[ 6 ]} Steen y Seebach ^{[ 7 ]} llaman a (2), (2'), (2") fuertemente localmente compactos para contrastar con la propiedad (1), que ellos llaman localmente compacto .

Los espacios que satisfacen la condición (4) son exactamente losespacios regulares localmente compactos . ^{[ 8 ]}^{[ 2 ]} De hecho, tal espacio es regular, ya que cada punto tiene una base local de vecindarios cerrados. Recíprocamente, en un espacio regular localmente compacto supongamos que un punto $x$ tiene un vecindario compacto $K$ Por regularidad, dado un vecindario arbitrario $U$ de $x$ Hay un barrio cerrado. $V$ de $x$ contenido en $K\cap U$ y $V$ es compacto como un conjunto cerrado en un conjunto compacto.

La condición (5) se utiliza, por ejemplo, en Bourbaki . ^{[ 9 ]} Cualquier espacio que sea localmente compacto (en el sentido de la condición (1)) y también Hausdorff satisface automáticamente todas las condiciones anteriores. Dado que en la mayoría de las aplicaciones los espacios localmente compactos también son Hausdorff, estos espacios Hausdorff localmente compactos serán, por lo tanto, los espacios que este artículo considera principalmente.

Ejemplos y contraejemplos

Espacios compactos de Hausdorff

Todo espacio compacto de Hausdorff es también localmente compacto, y muchos ejemplos de espacios compactos se pueden encontrar en el artículo " espacio compacto" . Aquí solo mencionamos:

Espacios Hausdorff localmente compactos que no son compactos

Los espacios euclidianos R ⁿ (y en particular la recta real R ) son localmente compactos como consecuencia del teorema de Heine-Borel .
Las variedades topológicas comparten las propiedades locales de los espacios euclidianos y, por lo tanto, también son localmente compactas. Esto incluye incluso variedades no paracompactas como la línea larga .
Todos los espacios discretos son localmente compactos y de Hausdorff (son simplemente variedades de dimensión cero ). Estos son compactos solo si son finitos.
Todos los subconjuntos abiertos o cerrados de un espacio de Hausdorff localmente compacto son localmente compactos en la topología de subespacios . Esto proporciona varios ejemplos de subconjuntos localmente compactos de espacios euclidianos, como el disco unitario (ya sea la versión abierta o cerrada).
El espacio Q _p de números p -ádicos es localmente compacto, porque es homeomorfo al conjunto de Cantor menos un punto. Por lo tanto, los espacios localmente compactos son tan útiles en el análisis p -ádico como en el análisis clásico .

Espacios Hausdorff que no son localmente compactos

Como se menciona en la siguiente sección, si un espacio de Hausdorff es localmente compacto, entonces también es un espacio de Tychonoff . Por esta razón, en el artículo dedicado a los espacios de Tychonoff se pueden encontrar ejemplos de espacios de Hausdorff que no son localmente compactos porque no son espacios de Tychonoff . Pero también hay ejemplos de espacios de Tychonoff que no son localmente compactos, como por ejemplo:

el espacio Q de los números racionales (dotado de la topología de R ), ya que cualquier vecindario contiene una sucesión de Cauchy correspondiente a un número irracional, que no tiene ninguna subsucesión convergente en Q ;
el subespacio $\{(0,0)\}\cup ((0,\infty )\times \mathbf {R} )$ de $\mathbf {R} ^{2}$ , puesto que el origen no tiene un entorno compacto;
la topología del límite inferior o la topología del límite superior en el conjunto R de números reales (útil en el estudio de límites laterales );
cualquier T ₀ , por lo tanto Hausdorff, espacio vectorial topológico sobre $\mathbb {R}$ o $\mathbb {C}$ que sea de dimensión infinita, como un espacio de Hilbert de dimensión infinita .

Los dos primeros ejemplos demuestran que un subconjunto de un espacio localmente compacto no tiene por qué serlo, lo que contrasta con los subconjuntos abiertos y cerrados de la sección anterior. El último ejemplo contrasta con los espacios euclidianos de la sección anterior; más concretamente, un espacio vectorial topológico de Hausdorff es localmente compacto si y solo si es de dimensión finita (en cuyo caso es un espacio euclidiano). Este ejemplo también contrasta con el cubo de Hilbert como ejemplo de espacio compacto; no existe contradicción alguna, ya que el cubo no puede ser un entorno de ningún punto del espacio de Hilbert.

Ejemplos que no son de Hausdorff

La compactificación de un punto de los números racionales Q es compacta y por lo tanto localmente compacta en los sentidos (1) y (2), pero no es localmente compacta en los sentidos (3) o (4).
La topología de punto particular en cualquier conjunto infinito es localmente compacta en los sentidos (1) y (3) pero no en los sentidos (2) o (4), porque el cierre de cualquier vecindario es todo el espacio, que no es compacto.
La unión disjunta de los dos ejemplos anteriores es localmente compacta en el sentido (1) pero no en los sentidos (2), (3) o (4).
La topología de orden correcto en la línea real es localmente compacta en los sentidos (1) y (3), pero no en los sentidos (2) o (4), porque el cierre de cualquier vecindario es todo el espacio no compacto.
El espacio de Sierpiński es localmente compacto en los sentidos (1), (2) y (3), y también compacto, pero no es Hausdorff ni regular (ni siquiera preregular), por lo que no es localmente compacto en los sentidos (4) ni (5). La unión disjunta de un número numerable de copias del espacio de Sierpiński es un espacio no compacto que sigue siendo localmente compacto en los sentidos (1), (2) y (3), pero no en los sentidos (4) ni (5).
En términos más generales, la topología de puntos excluidos es localmente compacta en los sentidos (1), (2) y (3), y compacta, pero no localmente compacta en los sentidos (4) o (5).
La topología cofinita en un conjunto infinito es localmente compacta en los sentidos (1), (2) y (3), y también compacta, pero no es Hausdorff ni regular, por lo que no es localmente compacta en los sentidos (4) o (5).
La topología indiscreta en un conjunto con al menos dos elementos es localmente compacta en los sentidos (1), (2), (3) y (4), y también compacta, pero no es de Hausdorff, por lo que no es localmente compacta en el sentido (5).

Clases generales de ejemplos

Todo espacio con una topología de Alexandrov es localmente compacto en los sentidos (1) y (3). ^{[ 10 ]}

Propiedades

Todo espacio preregular localmente compacto es, de hecho, completamente regular . ^{[ 11 ]}^{[ 12 ]} De ello se deduce que todo espacio de Hausdorff localmente compacto es un espacio de Tychonoff . ^{[ 13 ]} Dado que la regularidad recta es una condición más familiar que la preregularidad (que suele ser más débil) o la regularidad completa (que suele ser más fuerte), los espacios preregulares localmente compactos se denominan normalmente en la literatura matemática como espacios regulares localmente compactos . De manera similar, los espacios de Tychonoff localmente compactos se denominan simplemente espacios de Hausdorff localmente compactos .

Todo espacio regular localmente compacto, en particular todo espacio de Hausdorff localmente compacto, es un espacio de Baire . ^{[ 14 ]}^{[ 15 ]} Es decir, se cumple la conclusión del teorema de la categoría de Baire : el interior de toda unión numerable de subconjuntos densos en ninguna parte es vacío.

Un subespacio X de un espacio de Hausdorff localmente compacto Y es localmente compacto si y solo si X es localmente cerrado en Y (es decir, X puede escribirse como la diferencia conjuntista de dos subconjuntos cerrados de Y ). En particular, todo conjunto cerrado y todo conjunto abierto en un espacio de Hausdorff localmente compacto es localmente compacto. Además, como corolario, un subespacio denso X de un espacio de Hausdorff localmente compacto Y es localmente compacto si y solo si X es abierto en Y. Asimismo, si un subespacio X de cualquier espacio de Hausdorff Y es localmente compacto, entonces X debe ser localmente cerrado en Y , aunque la recíproca no se cumple en general.

Sin la hipótesis de Hausdorff, algunos de estos resultados fallan con nociones más débiles de compacidad local. Todo conjunto cerrado en un espacio débilmente localmente compacto (= condición (1) en las definiciones anteriores) es débilmente localmente compacto. Pero no todo conjunto abierto en un espacio débilmente localmente compacto es débilmente localmente compacto. Por ejemplo, la compactificación de un punto. $\mathbb {Q} ^{*}$ de los números racionales $\mathbb {Q}$ es compacto y, por lo tanto, débilmente compacto localmente. Pero contiene $\mathbb {Q}$ como un conjunto abierto que no es débilmente localmente compacto.

Los espacios cociente de espacios de Hausdorff localmente compactos son generados de forma compacta . Recíprocamente, todo espacio de Hausdorff generado de forma compacta es un cociente de algún espacio de Hausdorff localmente compacto.

Para funciones definidas en un espacio localmente compacto, la convergencia uniforme local es lo mismo que la convergencia compacta .

El punto en el infinito

Esta sección explora las compactificaciones de espacios localmente compactos. Todo espacio compacto es su propia compactificación. Por lo tanto, para evitar trivialidades, se supone a continuación que el espacio X no es compacto.

Dado que todo espacio de Hausdorff localmente compacto X es de Tychonoff, puede estar incrustado en un espacio de Hausdorff compacto. $b(X)$ utilizando la compactificación de Stone-Čech . Pero, de hecho, existe un método más sencillo disponible en el caso localmente compacto; la compactificación de un punto incrustará X en un espacio de Hausdorff compacto. $a(X)$ con solo un punto extra. (La compactificación de un punto se puede aplicar a otros espacios, pero $a(X)$ será Hausdorff si y solo si X es localmente compacto y Hausdorff.) Los espacios Hausdorff localmente compactos pueden caracterizarse, por lo tanto, como los subconjuntos abiertos de los espacios Hausdorff compactos.

Intuitivamente, el punto extra en $a(X)$ puede pensarse como un punto en el infinito . El punto en el infinito debe pensarse como situado fuera de todo subconjunto compacto de X. Muchas nociones intuitivas sobre la tendencia hacia el infinito pueden formularse en espacios de Hausdorff localmente compactos utilizando esta idea. Por ejemplo, se dice que una función continua de valores reales o complejos f con dominio X se anula en el infinito si, dado cualquier número positivo e , existe un subconjunto compacto K de X tal que $|f(x)|<e$ siempre que el punto x se encuentre fuera de K. Esta definición tiene sentido para cualquier espacio topológico X. Si X es localmente compacto y de Hausdorff, dichas funciones son precisamente aquellas que se pueden extender a una función continua g en su compactificación de un punto. $a(X)=X\cup \{\infty \}$ dónde $g(\infty )=0.$

Representación de Gelfand

Para un espacio Hausdorff X localmente compacto, el conjunto $C_{0}(X)$ de todas las funciones continuas de valor complejo en X que se anulan en el infinito es un álgebra C* conmutativa . De hecho, todo álgebra C* conmutativa es isomorfa a $C_{0}(X)$ para algún espacio de Hausdorff localmente compacto X único ( salvo homeomorfismo ) . Esto se muestra utilizando la representación de Gelfand .

Grupos compactos a nivel local

La noción de compacidad local es importante en el estudio de los grupos topológicos principalmente porque todo grupo localmente compacto de Hausdorff G posee medidas naturales llamadas medidas de Haar que permiten integrar funciones medibles definidas en G. La medida de Lebesgue en la recta real $\mathbb {R}$ es un caso especial de esto.

El dual de Pontryagin de un grupo abeliano topológico A es localmente compacto si y solo si A es localmente compacto. Más precisamente, la dualidad de Pontryagin define una autodualidad de la categoría de grupos abelianos localmente compactos. El estudio de los grupos abelianos localmente compactos constituye la base del análisis armónico , un campo que posteriormente se ha extendido a grupos localmente compactos no abelianos.

Véase también

Grupo compacto – Grupo topológico con topología compacta
Teorema de F. Riesz
Campo localmente compacto
Grupo cuántico localmente compacto
Grupo localmente compacto : un tipo de grupo topológico en matemáticas.
Espacio σ-compacto – Tipo de espacio topológico
Espacio compacto central
Núcleo de un espacio localmente compacto

Citas

↑ Folland 1999 , pág. 131, art. 4.5.
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Referencias

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Schechter, Eric (1996). Manual de análisis y sus fundamentos . San Diego, CA: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4OCLC 175294365
Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978]. Contraejemplos en topología ( reimpresión de Dover de la edición de 1978 ). Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-486-68735-3. MR 0507446 .
Willard, Stephen (1970). Topología general . Addison-Wesley . ISBN 978-0486434797.

[FOOTNOTEFolland1999131Sec._4.5-1] Folland 1999 , pág. 131, art. 4.5.

[Gompa1992-2] 1 2 Gompa, Raghu (Primavera de 1992). "¿Qué es "localmente compacto"?" (PDF) . Pi Mu Epsilon Journal . 9 (6): 390–392 . JSTOR 24340250. Archivado (PDF) del original el 10 de septiembre de 2015 .

[3] Lawson, J.; Madison, B. (1974). "Cocientes de k-semigrupos". Semigroup Forum . 9 : 1–18 . doi : 10.1007/BF02194829 .pág. 3

[4] Breuckmann, Tomas; Kudri, Soraya; Aygün, Halis (2004). «Sobre espacios débilmente localmente compactos». Metodología blanda y sistemas de información aleatorios . Springer. págs. 638–644 . doi : 10.1007/978-3-540-44465-7_79 . ISBN 978-3-540-22264-4.

[5] Lowen-Colebunders, Eva (1983), "Sobre la convergencia de conjuntos cerrados y compactos" , Pacific Journal of Mathematics , 108 (1): 133– 140, doi : 10.2140/pjm.1983.108.133 , MR 0709705 , S2CID 55084221 , Zbl 0522.54003

[6] Bice, Tristán; Kubiś, Wiesław (2020). "Dualidad de Wallman para subbases de semirrejilla". arXiv : 2002.05943 [ matemáticas.GN ].

[7] Steen y Seebach, pág. 20

[FOOTNOTEKelley1975ch._5,_Theorem_17,_p._146-8] Kelley 1975 , cap. 5, Teorema 17, pág. 146.

[9] Bourbaki, Nicolas (1989). Topología general, parte I (reimpresión de la edición de 1966). Berlín: Springer-Verlag. ISBN 3-540-19374-X.

[10] Speer, Timothy (16 de agosto de 2007). "Un breve estudio de los espacios de Alexandroff". arXiv : 0708.2136 [ math.GN ].Teorema 5

[FOOTNOTESchechter199617.14(d),_p._460-11] Schechter 1996 , 17.14(d), pág. 460.

[12] "Topología general: los espacios preregulares localmente compactos son completamente regulares" . Mathematics Stack Exchange .

[FOOTNOTEWillard1970theorem_19.3,_p.136-13] Willard 1970 , teorema 19.3, pág. 136.

[FOOTNOTEKelley1975Theorem_34,_p._200-14] Kelley 1975 , Teorema 34, pág. 200.

[FOOTNOTESchechter1996Theorem_20.18,_p._538-15] Schechter 1996 , Teorema 20.18, p. 538.

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