Espacio Hausdorff

En topología y ramas afines de las matemáticas , un espacio de Hausdorff ( / ˈ h aʊ s d ɔːr f / HOWSS -dorf , / ˈ h aʊ z d ɔːr f / HOWZ -dorf ^{[ 1 ]} ), espacio T ₂ o espacio separado , es un espacio topológico donde los puntos distintos tienen vecindarios disjuntos . De los muchos axiomas de separación que se pueden imponer a un espacio topológico, la "condición de Hausdorff" (T ₂ ) es la más utilizada y discutida. Implica la unicidad de los límites de secuencias , redes y filtros . ^{[ 2 ]}

Los espacios de Hausdorff reciben su nombre de Felix Hausdorff , uno de los fundadores de la topología. La definición original de Hausdorff de un espacio topológico (en 1914) incluía la condición de Hausdorff como axioma . ^{[ 3 ]}

Agujas${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$en un espacio topológico${\displaystyle X}$pueden separarse por barrios si existe un barrio${\displaystyle U}$de${\displaystyle x}$y un vecindario${\displaystyle V}$de${\displaystyle y}$de tal manera que${\displaystyle U}$y${\displaystyle V}$son disjuntos${\displaystyle (U\cap V=\varnothing )}$.${\displaystyle X}$es un espacio de Hausdorff si cualesquiera dos puntos distintos en${\displaystyle X}$están separados por vecindarios. Esta condición es el tercer axioma de separación (después de T ₀ y T ₁ ), razón por la cual los espacios de Hausdorff también se denominan espacios T ₂ . También se utiliza el nombre de espacio separado .

Una noción relacionada, pero más débil, es la de espacio preregular .${\displaystyle X}$Un espacio es preregular si dos puntos cualesquiera topológicamente distinguibles pueden separarse mediante vecindades disjuntas. Un espacio preregular también se denomina espacio R ₁ .

La relación entre estas dos condiciones es la siguiente: Un espacio topológico es de Hausdorff si y solo si es preregular (es decir, los puntos topológicamente distinguibles están separados por vecindades) y de Kolmogorov (es decir, los puntos distintos son topológicamente distinguibles). Un espacio topológico es preregular si y solo si su cociente de Kolmogorov es de Hausdorff.

Para un espacio topológico${\displaystyle X}$, los siguientes son equivalentes: ^{[ 2 ]}

• ${\displaystyle X}$Es un espacio Hausdorff.
• Límites de las redes en${\displaystyle X}$son únicos. ^{[ 4 ]}
• Límites de los filtros en${\displaystyle X}$son únicos. ^{[ 4 ]}
• Cualquier conjunto de elementos únicos${\displaystyle \{x\}\subset X}$es igual a la intersección de todos los barrios cerrados de${\displaystyle x}$. ^{[ 5 ]} (Un vecindario cerrado de${\displaystyle x}$es un conjunto cerrado que contiene un conjunto abierto que contiene${\displaystyle x}$.)
• La diagonal${\displaystyle \Delta =\{(x,x)\mid x\in X\}}$está cerrado como un subconjunto del espacio de productos${\displaystyle X\times X}$.
• Cualquier inyección desde el espacio discreto con dos puntos a${\displaystyle X}$tiene la propiedad de elevación izquierda con respecto al mapeo del espacio topológico finito con dos puntos abiertos y un punto cerrado a un solo punto.

Casi todos los espacios que se encuentran en análisis son de Hausdorff; lo más importante es que los números reales (bajo la topología métrica estándar sobre números reales) constituyen un espacio de Hausdorff. En términos más generales, todos los espacios métricos son de Hausdorff. De hecho, muchos espacios útiles en análisis, como los grupos topológicos y las variedades topológicas , tienen la condición de Hausdorff explícitamente definida.

Un ejemplo sencillo de una topología que es T ₁ pero no es Hausdorff es la topología cofinita definida en un conjunto infinito , al igual que la topología cocontable definida en un conjunto no numerable .

Los espacios pseudométricos generalmente no son de Hausdorff, pero sí son preregulares, y su uso en análisis se limita normalmente a la construcción de espacios de calibre de Hausdorff . De hecho, cuando los analistas se topan con un espacio que no es de Hausdorff, probablemente sea al menos preregular, y entonces simplemente lo reemplazan por su cociente de Kolmogorov, que sí es de Hausdorff. ^{[ 6 ]}

En contraste, los espacios no preregulares se encuentran con mucha más frecuencia en el álgebra abstracta y la geometría algebraica , en particular como la topología de Zariski en una variedad algebraica o el espectro de un anillo . También surgen en la teoría de modelos de la lógica intuicionista : toda álgebra de Heyting completa es el álgebra de conjuntos abiertos de algún espacio topológico, pero este espacio no tiene por qué ser preregular, y mucho menos de Hausdorff, y de hecho, generalmente no lo es. El concepto relacionado de dominio de Scott también consiste en espacios no preregulares.

Si bien la existencia de límites únicos para redes y filtros convergentes implica que un espacio es Hausdorff, existen espacios T _{1 no Hausdorff en los que toda secuencia convergente tiene un límite único.} ^{[ 7 ]} Dichos espacios se denominan espacios US . ^{[ 8 ]} Para espacios secuenciales , esta noción es equivalente a ser débilmente Hausdorff .

Los subespacios y productos de espacios de Hausdorff son de Hausdorff, pero los espacios cociente de espacios de Hausdorff no necesariamente lo son. De hecho, todo espacio topológico puede realizarse como el cociente de algún espacio de Hausdorff. ^{[ 9 ]}

Los espacios de Hausdorff son T ₁ , lo que significa que cada conjunto unitario es un conjunto cerrado. De manera similar, los espacios preregulares son R ₀ . Todo espacio de Hausdorff es un espacio de Sober, aunque lo contrario no suele ser cierto.

Otra propiedad de los espacios de Hausdorff es que cada conjunto compacto es un conjunto cerrado. Para los espacios que no son de Hausdorff, puede ser que cada conjunto compacto sea un conjunto cerrado (por ejemplo, la topología cocontable en un conjunto no numerable) o no (por ejemplo, la topología cofinita en un conjunto infinito y el espacio de Sierpiński ).

La definición de un espacio de Hausdorff establece que los puntos pueden separarse mediante vecindades. Resulta que esto implica algo aparentemente más fuerte: en un espacio de Hausdorff, cada par de conjuntos compactos disjuntos también puede separarse mediante vecindades, ^{[ 10 ]} es decir, existe una vecindad de un conjunto y una vecindad del otro, tales que ambas vecindades son disjuntas. Este es un ejemplo de la regla general de que los conjuntos compactos suelen comportarse como puntos.

Las condiciones de compacidad junto con la preregularidad a menudo implican axiomas de separación más fuertes. Por ejemplo, cualquier espacio preregular localmente compacto es completamente regular . ^{[ 11 ] [ 12 ]} Los espacios preregulares compactos son normales , ^{[ 13 ]} lo que significa que satisfacen el lema de Urysohn y el teorema de extensión de Tietze y tienen particiones de la unidad subordinadas a cubiertas abiertas localmente finitas . Las versiones de Hausdorff de estas afirmaciones son: todo espacio de Hausdorff localmente compacto es de Tychonoff , y todo espacio de Hausdorff compacto es normal de Hausdorff.

Los siguientes resultados son algunas propiedades técnicas relativas a las aplicaciones ( continuas y de otro tipo) hacia y desde espacios de Hausdorff.

Dejar${\displaystyle f\colon X\to Y}$sea ​​una función continua y supongamos que es.${\displaystyle Y}$es Hausdorff. Entonces la gráfica de${\displaystyle f}$,${\displaystyle \{(x,f(x))\mid x\in X\}}$, es un subconjunto cerrado de${\displaystyle X\times Y}$.

Dejar${\displaystyle f\colon X\to Y}$ser una función y dejar${\displaystyle \ker(f)\triangleq \{(x,x')\mid f(x)=f(x')\}}$sea ​​su núcleo considerado como un subespacio de${\displaystyle X\times X}$.

• Si${\displaystyle f}$es continuo y${\displaystyle Y}$¿Es Hausdorff entonces?${\displaystyle \ker(f)}$es un conjunto cerrado.
• Si${\displaystyle f}$es una sobreyección abierta y${\displaystyle \ker(f)}$es un conjunto cerrado entonces${\displaystyle Y}$es Hausdorff.
• Si${\displaystyle f}$es una sobreyección abierta continua (es decir, una aplicación cociente abierta) entonces${\displaystyle Y}$es Hausdorff si y solo si${\displaystyle \ker(f)}$es un conjunto cerrado.

Si${\displaystyle f,g\colon X\to Y}$son mapas continuos y${\displaystyle Y}$¿Es Hausdorff entonces el igualador?${\displaystyle {\mbox{eq}}(f,g)=\{x\mid f(x)=g(x)\}}$es un conjunto cerrado en${\displaystyle X}$. De ello se deduce que si${\displaystyle Y}$es Hausdorff y${\displaystyle f}$y${\displaystyle g}$estar de acuerdo en un subconjunto denso de${\displaystyle X}$entonces${\displaystyle f=g}$En otras palabras, las funciones continuas en espacios de Hausdorff están determinadas por sus valores en subconjuntos densos.

Dejar${\displaystyle f\colon X\to Y}$sea ​​una sobreyección cerrada tal que${\displaystyle f^{-1}(y)}$es compacto para todos${\displaystyle y\in Y}$. Entonces si${\displaystyle X}$es Hausdorff también lo es${\displaystyle Y}$.

Dejar${\displaystyle f\colon X\to Y}$ser un mapa de cociente con${\displaystyle X}$un espacio compacto de Hausdorff. Entonces, lo siguiente es equivalente:

• ${\displaystyle Y}$es Hausdorff.
• ${\displaystyle f}$es un mapa cerrado .
• ${\displaystyle \ker(f)}$es un conjunto cerrado.

Todos los espacios regulares son preregulares, al igual que todos los espacios de Hausdorff. Existen numerosos resultados para espacios topológicos que son válidos tanto para espacios regulares como para espacios de Hausdorff. En la mayoría de los casos, estos resultados son válidos para todos los espacios preregulares; se enumeraron por separado para espacios regulares y de Hausdorff porque el concepto de espacios preregulares surgió posteriormente. Por otro lado, aquellos resultados que tratan sobre regularidad generalmente no se aplican también a los espacios de Hausdorff no regulares.

Existen numerosas situaciones en las que otra condición de los espacios topológicos (como la paracompacidad o la compacidad local ) implica regularidad si se cumple la preregularidad. Estas condiciones suelen presentarse en dos versiones: una regular y otra de Hausdorff. Si bien los espacios de Hausdorff no son, en general, regulares, un espacio de Hausdorff que además sea (por ejemplo) localmente compacto será regular, puesto que todo espacio de Hausdorff es preregular. Por lo tanto, desde cierto punto de vista, en estas situaciones lo que realmente importa es la preregularidad, más que la regularidad. Sin embargo, las definiciones suelen formularse en términos de regularidad, dado que esta condición es más conocida que la preregularidad.

Consulte la sección Historia de los axiomas de separación para obtener más información sobre este tema.

Los términos «Hausdorff», «separado» y «preregular» también pueden aplicarse a variantes de espacios topológicos como espacios uniformes , espacios de Cauchy y espacios de convergencia . La característica que unifica el concepto en todos estos ejemplos es que los límites de las redes y los filtros (cuando existen) son únicos (para espacios separados) o únicos salvo indistinguibilidad topológica (para espacios preregulares).

Resulta que los espacios uniformes, y más generalmente los espacios de Cauchy, son siempre preregulares, por lo que la condición de Hausdorff en estos casos se reduce a la condición T _0. Estos son también los espacios en los que la completitud tiene sentido, y la condición de Hausdorff es un complemento natural de la completitud en estos casos. Específicamente, un espacio es completo si y solo si toda red de Cauchy tiene al menos un límite, mientras que un espacio es de Hausdorff si y solo si toda red de Cauchy tiene como máximo un límite (ya que solo las redes de Cauchy pueden tener límites).

El álgebra de funciones continuas (reales o complejas) en un espacio compacto de Hausdorff es un álgebra C* conmutativa , y, a la inversa, mediante el teorema de Banach-Stone se puede recuperar la topología del espacio a partir de las propiedades algebraicas de su álgebra de funciones continuas. Esto conduce a la geometría no conmutativa , donde se consideran las álgebras C* no conmutativas como álgebras de funciones en un espacio no conmutativo.

• La condición de Hausdorff se ilustra con el juego de palabras que dice que en los espacios de Hausdorff, cualesquiera dos puntos pueden estar "acotados" uno del otro por conjuntos abiertos . ^{[ 14 ]}
• En el Instituto de Matemáticas de la Universidad de Bonn , donde Felix Hausdorff investigó e impartió clases, hay una sala denominada Hausdorff-Raum . Se trata de un juego de palabras , ya que Raum significa tanto habitación como espacio en alemán.

• Espacio de punto fijo : espacio donde todas las funciones tienen puntos fijos , un espacio de Hausdorff X tal que toda función continua f : X → X tiene un punto fijo.  
• Espacio Hausdorff local : espacio tal que cada punto tiene un vecindario Hausdorff. 
• Variedad no Hausdorff – Generalización de variedades 
• Espacio cuasitopológico : función en topología 
• Axioma de separación – Axiomas en topología que definen las nociones de "separación" 
• Espacio de Hausdorff débil

• Arkhangelskii, AV ; Pontryagin, LS (1990). Topología general I. Saltador . ISBN 3-540-18178-4.
• Bourbaki (1966). Elementos de matemáticas: Topología general . Addison-Wesley .
• "Espacio de Hausdorff" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Schechter, Eric (1996). Manual de análisis y sus fundamentos . San Diego, CA: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4OCLC 175294365​​ 
• Willard, Stephen (2004). Topología general . Dover Publications . ISBN 0-486-43479-6.