Espacio compacto central

En topología general y ramas afines de las matemáticas , un espacio topológico núcleo-compacto es un espacio topológico cuyo conjunto parcialmente ordenado de subconjuntos abiertos es un poset continuo . ^{[ 1 ]} De forma equivalente, es núcleo-compacto si es exponenciable en la categoría Top de espacios topológicos. ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} Esto significa que el functor tiene un adjunto derecho . De forma equivalente, para cada espacio topológico , existe una topología en el conjunto de funciones continuas tal que la aplicación de funciones es continua, y cada aplicación continua puede ser currificada a una aplicación continua . Nótese que esta es la topología Compacto-abierta si (y solo si) ^{[ 4 ]} es localmente compacta . (En este artículo, localmente compacta significa que cada punto tiene una base de vecindades compactas; esta es la definición (3) en el artículo enlazado).${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X\times -:{\bf {{Top}\to {\bf {Top}}}}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle {\mathcal {C}}(X,Y)}$${\displaystyle X\times {\mathcal {C}}(X,Y)\to Y}$${\displaystyle X\times Z\to Y}$${\displaystyle Z\to {\mathcal {C}}(X,Y)}$${\displaystyle X}$

Otra definición concreta equivalente es que todo entorno abierto de un punto contiene un entorno abierto de que está muy por debajo de ; está muy por debajo (o relativamente compacto en) si y solo si toda cubierta abierta que contiene contiene una subcubierta finita de . ^{[ 1 ]} Como resultado, todo espacio localmente compacto es núcleo-compacto. Para espacios de Hausdorff (o más generalmente, espacios sobrios ^{[ 5 ]} ), el espacio núcleo-compacto es equivalente a localmente compacto. En este sentido, la definición es un ligero debilitamiento de la definición de un espacio localmente compacto en el caso no Hausdorff.${\displaystyle U}$${\displaystyle x}$${\displaystyle V}$${\displaystyle x}$${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$${\displaystyle U}$${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$

• "Núcleo compacto pero no localmente compacto" . Stack Exchange . 20 de junio de 2016.