poset continuo

Para cualesquiera dos elementos${\displaystyle a,b\in P}$de un conjunto continuo preordenado${\displaystyle (P,\lesssim )}$,${\displaystyle a\ll b}$si y solo si para cualquier conjunto dirigido${\displaystyle D\subseteq P}$de tal manera que${\displaystyle b\lesssim \sup D}$, hay un${\displaystyle d\in D}$de tal manera que${\displaystyle a\ll d}$De esto se deduce la propiedad de interpolación del conjunto preordenado continuo.${\displaystyle (P,\lesssim )}$: para cualquier${\displaystyle a,b\in P}$de tal manera que${\displaystyle a\ll b}$hay un${\displaystyle c\in P}$de tal manera que${\displaystyle a\ll c\ll b}$.

Para cualesquiera dos elementos${\displaystyle a,b\in P}$de un dcpo continuo${\displaystyle (P,\leq )}$, las dos condiciones siguientes son equivalentes. ^{[ 1 ] : pág. 61, Proposición I-1.19(i)}

• ${\displaystyle a\ll b}$y${\displaystyle a\neq b}$.
• Para cualquier conjunto dirigido${\displaystyle D\subseteq P}$de tal manera que${\displaystyle b\leq \sup D}$, hay un${\displaystyle d\in D}$de tal manera que${\displaystyle a\ll d}$y${\displaystyle a\neq d}$.

Utilizando esto, se puede demostrar que la siguiente propiedad de interpolación más fuerte es cierta para dcpos continuo. Para cualquier${\displaystyle a,b\in P}$de tal manera que${\displaystyle a\ll b}$y${\displaystyle a\neq b}$, hay un${\displaystyle c\in P}$de tal manera que${\displaystyle a\ll c\ll b}$y${\displaystyle a\neq c}$. ^{[ 1 ] : pág. 61, Proposición I-1.19(ii)}

Para un dcpo${\displaystyle (P,\leq )}$, las siguientes condiciones son equivalentes. ^{[ 1 ] : Teorema I-1.10}

• ${\displaystyle P}$es continuo.
• El mapa supremo${\displaystyle \sup \colon \operatorname {Ideal} (P)\to P}$del conjunto parcialmente ordenado de ideales de${\displaystyle P}$a${\displaystyle P}$tiene un adjunto izquierdo .

En este caso, el adjunto izquierdo real es

${\displaystyle {\Downarrow }\colon P\to \operatorname {Ideal} (P)}$

${\displaystyle {\mathord {\Downarrow }}\dashv \sup }$

Para cualesquiera dos elementos${\displaystyle a,b\in L}$de una red completa${\displaystyle L}$,${\displaystyle a\ll b}$si y solo si para cualquier subconjunto${\displaystyle A\subseteq L}$de tal manera que${\displaystyle b\leq \sup A}$, existe un subconjunto finito${\displaystyle F\subseteq A}$de tal manera que${\displaystyle a\leq \sup F}$.

Dejar${\displaystyle L}$Sea una red completa . Entonces las siguientes condiciones son equivalentes.

• ${\displaystyle L}$es continuo.
• El mapa supremo${\displaystyle \sup \colon \operatorname {Ideal} (L)\to L}$a partir de la red completa de ideales de${\displaystyle L}$a${\displaystyle L}$preserva ínfimos arbitrarios .
• Para cualquier familia${\displaystyle {\mathcal {D}}}$de conjuntos dirigidos de${\displaystyle L}$,${\displaystyle \textstyle \inf _{D\in {\mathcal {D}}}\sup D=\sup _{f\in \prod {\mathcal {D}}}\inf _{D\in {\mathcal {D}}}f(D)}$.
• ${\displaystyle L}$es isomorfo a la imagen de una aplicación idempotente continua de Scott${\displaystyle r\colon \{0,1\}^{\kappa }\to \{0,1\}^{\kappa }}$sobre el poder directo de un número arbitrario de retículos de dos puntos${\displaystyle \{0,1\}}$. ^{[ 2 ] : pág. 56, Teorema 44}

Una red completa continua se suele denominar red continua .

Para un espacio topológico${\displaystyle X}$Las siguientes condiciones son equivalentes.

• El álgebra completa de Heyting${\displaystyle \operatorname {Open} (X)}$de conjuntos abiertos de${\displaystyle X}$es un álgebra de Heyting continua y completa .
• La sobrificación de${\displaystyle X}$es un espacio localmente compacto (en el sentido de que cada punto tiene una base local compacta )
• ${\displaystyle X}$es un objeto exponencial en la categoría${\displaystyle \operatorname {Top} }$de espacios topológicos . ^{[ 1 ] : p.196, Teorema II-4.12} Es decir, el functor${\displaystyle (-)\times X\colon \operatorname {Top} \to \operatorname {Top} }$tiene un adjunto derecho .