Lema de pegado

En topología , el lema de pegado o unión , y a veces la regla de pegado , es un resultado importante que dice que dos funciones continuas pueden "pegarse" para crear otra función continua. El lema está implícito en el uso de funciones definidas a trozos . Por ejemplo, en el libro Topología y grupoides , donde la condición dada para la afirmación siguiente es que${\displaystyle A\setminus B\subseteq \operatorname {Int} A}$y${\displaystyle B\setminus A\subseteq \operatorname {Int} B.}$

El lema de pegado es crucial para la construcción del grupo fundamental y el grupoide fundamental de un espacio topológico ; permite concatenar caminos para crear un nuevo camino.

Dejar${\displaystyle X,Y}$ser ambos subconjuntos cerrados (o ambos subconjuntos abiertos ) de un espacio topológico${\displaystyle A}$de tal manera que${\displaystyle A=X\cup Y}$y dejar${\displaystyle B}$también puede ser un espacio topológico. Si${\displaystyle f:A\to B}$es continuo cuando se restringe a ambos${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y,}$entonces${\displaystyle f}$es continuo. ^{[ 1 ]}

Este resultado permite tomar dos funciones continuas definidas en subconjuntos cerrados (o abiertos) de un espacio topológico y crear una nueva.

Prueba : si${\displaystyle U}$es un subconjunto cerrado de${\displaystyle B,}$entonces${\displaystyle f^{-1}(U)\cap X}$y${\displaystyle f^{-1}(U)\cap Y}$son ambos cerrados ya que cada uno es la preimagen de${\displaystyle f}$cuando se restringe a${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$respectivamente, que por supuesto son continuas. Entonces su unión ,${\displaystyle f^{-1}(U)}$También es cerrado, al ser una unión finita de conjuntos cerrados.

Un argumento similar se aplica cuando${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$Ambos están abiertos.${\displaystyle \Box }$

El análogo infinito de este resultado (donde${\displaystyle A=X_{1}\cup X_{2}\cup X_{3}\cup \cdots }$) no es cierto para cerrado${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\ldots .}$Por ejemplo, el mapa de inclusión${\displaystyle \iota$ :\mathbb {Z} \to \mathbb {R} } de los enteros a la recta real (con los enteros equipados con la topología cofinita ) es continua cuando se restringe a un entero, pero la preimagen de un conjunto abierto acotado en los reales con esta aplicación es como máximo un número finito de puntos, por lo que no es abierto en${\displaystyle \mathbb {Z} .}$

Sin embargo, es cierto si el${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3}\ldots }$forman una colección localmente finita ya que una unión de conjuntos cerrados localmente finitos es cerrada. De manera similar, es cierto si la${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\ldots }$En cambio, se asume que son abiertos, ya que la unión de conjuntos abiertos es abierta.

• Munkres, James R. (2000). Topología (2.ª  ed.). Upper Saddle River, NJ : Prentice Hall, Inc. ISBN 978-0-13-181629-9OCLC 42683260 .​ ( Accesible para usuarios con discapacidades visuales )
• Dugundji, James (1966). Topología . Boston: Allyn and Bacon. ISBN 978-0-697-06889-7OCLC 395340485​​ 
• Brown, Ronald ; Topología y grupoides (Booksurge) 2006 ISBN 1-4196-2722-8.