axiomas de cierre de Kuratowski

Dejar${\displaystyle X}$sea ​​un conjunto arbitrario y${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$su conjunto de potencias . Un operador de cierre de Kuratowski es una operación unaria.${\displaystyle \mathbf {c}$ :{\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(X)} con las siguientes propiedades:

[K1] Preserva el conjunto vacío :${\displaystyle \mathbf {c} (\varnothing )=\varnothing }$;

[K2] Es extenso : para todos${\displaystyle A\subsetequ X}$,${\displaystyle A\subseteq \mathbf {c} (A)}$;

[K3] Es idempotente : para todos${\displaystyle A\subsetequ X}$,${\displaystyle \mathbf {c} (A)=\mathbf {c} (\mathbf {c} (A))}$;

[K4] Preserva / distribuye sobre uniones binarias : para todo${\displaystyle A,B\subseteq X}$,${\displaystyle \mathbf {c} (A\cup B)=\mathbf {c} (A)\cup \mathbf {c} (B)}$.

Una consecuencia de${\displaystyle \mathbf {c} }$La preservación de las uniones binarias es la siguiente condición: ^{[ 4 ]}

[K4'] Es monótono :${\displaystyle A\subseteq B\Rightarrow \mathbf {c} (A)\subseteq \mathbf {c} (B)}$.

De hecho, si reescribimos la igualdad en [K4] como una inclusión, obtenemos el axioma más débil [K4 '' ] ( subaditividad ):

[K4''] Es subaditivo : para todo${\displaystyle A,B\subseteq X}$,${\displaystyle \mathbf {c} (A\cup B)\subseteq \mathbf {c} (A)\cup \mathbf {c} (B)}$,

Entonces es fácil ver que los axiomas [K4'] y [K4 '' ] juntos son equivalentes a [K4] (véase el penúltimo párrafo de la Prueba 2 a continuación).

Kuratowski (1966) incluye un quinto axioma (opcional) que requiere que los conjuntos unitarios sean estables bajo cierre: para todo${\displaystyle x\in X}$,${\displaystyle \mathbf {c} (\{x\})=\{x\}}$Se refiere a los espacios topológicos que satisfacen los cinco axiomas como espacios T1 _, en contraste con los espacios más generales que solo satisfacen los cuatro axiomas enumerados. De hecho, estos espacios se corresponden exactamente con los espacios topológicos T1 _mediante la correspondencia habitual (véase más adelante). ^{[ 5 ]}

Si se omite el requisito [K3] , entonces los axiomas definen un operador de cierre de Čech . ^{[ 6 ]} Si en cambio se omite [K1] , entonces un operador que satisface [K2] , [K3] y [K4'] se denomina operador de cierre de Moore . ^{[ 7 ]} Un par${\displaystyle (X,\mathbf {c} )}$se denomina espacio de cierre de Kuratowski , Čech o Moore dependiendo de los axiomas que satisface${\displaystyle \mathbf {c} }$.

Los cuatro axiomas de cierre de Kuratowski pueden ser reemplazados por una sola condición, dada por Pervin: ^{[ 8 ]}

[P] Para todos${\displaystyle A,B\subseteq X}$,${\displaystyle A\cup \mathbf {c} (A)\cup \mathbf {c} (\mathbf {c} (B))=\mathbf {c} (A\cup B)\setminus \mathbf {c} (\varnothing )}$.

Los axiomas [K1] – [K4] pueden derivarse como consecuencia de este requisito:

1. Elegir${\displaystyle A=B=\varnothing }$. Entonces${\displaystyle \varnothing \cup \mathbf {c} (\varnothing )\cup \mathbf {c} (\mathbf {c} (\varnothing ))=\mathbf {c} (\varnothing )\setminus \mathbf {c} (\varnothing )=\varnothing }$, o${\displaystyle \mathbf {c} (\varnothing )\cup \mathbf {c} (\mathbf {c} (\varnothing ))=\varnothing }$. Esto implica inmediatamente [K1] .
2. Elija un arbitrario${\displaystyle A\subseteq X}$y${\displaystyle B=\varnothing }$. Luego, aplicando el axioma [K1] ,${\displaystyle A\cup \mathbf {c} (A)=\mathbf {c} (A)}$, lo que implica [K2] .
3. Elegir${\displaystyle A=\varnothing }$y un arbitrario${\displaystyle B\subseteq X}$. Luego, aplicando el axioma [K1] ,${\displaystyle \mathbf {c} (\mathbf {c} (B))=\mathbf {c} (B)}$, que es [K3] .
4. Elija arbitrariamente${\displaystyle A,B\subseteq X}$. Aplicando los axiomas [K1] – [K3] , se obtiene [K4] .

Alternativamente, Monteiro (1945) había propuesto un axioma más débil que solo implica [K2] – [K4] : ^{[ 9 ]}

[M] Para todos${\displaystyle A,B\subseteq X}$,${\textstyle A\cup \mathbf {c} (A)\cup \mathbf {c} (\mathbf {c} (B))\subseteq \mathbf {c} (A\cup B)}$.

El requisito [K1] es independiente de [M]  : de hecho, si${\displaystyle X\neq \varnothing }$, el operador${\displaystyle \mathbf {c} ^{\star }:{\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(X)}$definido por la asignación constante${\displaystyle A\mapsto \mathbf {c} ^{\star }(A):=X}$satisface [M] pero no preserva el conjunto vacío , ya que${\displaystyle \mathbf {c} ^{\star }(\varnothing )=X}$Nótese que, por definición, cualquier operador que satisfaga [M] es un operador de cierre de Moore.

MO Botelho y MH Teixeira también demostraron que una alternativa más simétrica a [M] implica los axiomas [K2] – [K4] : ^{[ 2 ]}

[BT] Para todos${\displaystyle A,B\subseteq X}$,${\textstyle A\cup B\cup \mathbf {c} (\mathbf {c} (A))\cup \mathbf {c} (\mathbf {c} (B))=\mathbf {c} (A\cup B)}$.

Una noción dual a los operadores de cierre de Kuratowski es la del operador interior de Kuratowski , que es un mapa.${\displaystyle \mathbf {i}$ :{\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(X)} que satisface los siguientes requisitos similares: ^{[ 3 ]}

[I1] Conserva el espacio total :${\displaystyle \mathbf {i} (X)=X}$;

[I2] Es intensivo : para todos${\displaystyle A\subseteq X}$,${\displaystyle \mathbf {i} (A)\subseteq A}$;

[I3] Es idempotente : para todos${\displaystyle A\subseteq X}$,${\displaystyle \mathbf {i} (\mathbf {i} (A))=\mathbf {i} (A)}$;

[I4] Preserva las intersecciones binarias : para todo${\displaystyle A,B\subseteq X}$,${\displaystyle \mathbf {i} (A\cap B)=\mathbf {i} (A)\cap \mathbf {i} (B)}$.

Para estos operadores, se pueden obtener conclusiones completamente análogas a las que se dedujeron para los cierres de Kuratowski. Por ejemplo, todos los operadores interiores de Kuratowski son isotónicos , es decir, satisfacen [K4'] , y debido a la intensividad [I2] , es posible debilitar la igualdad en [I3] a una simple inclusión.

La dualidad entre los cierres de Kuratowski y los interiores viene dada por el operador de complemento natural en${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$, el mapa${\displaystyle \mathbf {n}$ :{\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(X)} enviando${\displaystyle A\mapsto \mathbf {n} (A):=X\setminus A}$. Este mapa es una ortocomplementación en el retículo del conjunto potencia, lo que significa que satisface las leyes de De Morgan : si${\displaystyle {\mathcal {I}}}$es un conjunto arbitrario de índices y${\displaystyle \{A_{i}\}_{i\in {\mathcal {I}}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}$, $${\displaystyle \mathbf {n} \left(\bigcup _{i\in {\mathcal {I}}}A_{i}\right)=\bigcap _{i\in {\mathcal {I}}}\mathbf {n} (A_{i}),\qquad \mathbf {n} \left(\bigcap _{i\in {\mathcal {I}}}A_{i}\right)=\bigcup _{i\in {\mathcal {I}}}\mathbf {n} (A_{i}).}$$

Al emplear estas leyes, junto con las propiedades definitorias de${\displaystyle \mathbf {n} }$, se puede demostrar que cualquier interior de Kuratowski induce un cierre de Kuratowski (y viceversa), a través de la relación definitoria${\displaystyle \mathbf {c}$ :=\mathbf {nin} } (y${\displaystyle \mathbf {i}$ :=\mathbf {ncn} } ). Cada resultado obtenido con respecto a${\displaystyle \mathbf {c} }$puede convertirse en un resultado relativo${\displaystyle \mathbf {i} }$empleando estas relaciones junto con las propiedades de la ortocomplementación${\displaystyle \mathbf {n} }$.

Pervin (1964) proporciona además axiomas análogos para los operadores exteriores de Kuratowski ^{[ 3 ]} y los operadores de frontera de Kuratowski ^{[ 10 ]} , que también inducen cierres de Kuratowski a través de las relaciones${\displaystyle \mathbf {c}$ :=\mathbf {ne} } y${\displaystyle \mathbf {c} (A):=A\cup \mathbf {b} (A)}$.

Obsérvese que los axiomas [K1] – [K4] pueden adaptarse para definir una operación unaria abstracta .${\displaystyle \mathbf {c} :L\to L}$en una red acotada general${\displaystyle (L,\land ,\lor ,\mathbf {0} ,\mathbf {1} )}$, sustituyendo formalmente la inclusión conjuntista por el orden parcial asociado al retículo, la unión conjuntista por la operación de unión y las intersecciones conjuntistas por la operación de encuentro; de forma similar para los axiomas [I1] – [I4] . Si el retículo es ortocomplementado, estas dos operaciones abstractas se inducen mutuamente de la forma habitual. Se pueden utilizar operadores abstractos de cierre o de interior para definir una topología generalizada en el retículo.

Dado que ni las uniones ni el conjunto vacío aparecen en el requisito para un operador de cierre de Moore, la definición puede adaptarse para definir un operador unario abstracto.${\displaystyle \mathbf {c} :S\to S}$en un conjunto parcialmente ordenado arbitrario${\displaystyle S}$.

Un operador de cierre induce naturalmente una topología como sigue. Sea${\displaystyle X}$Sea un conjunto arbitrario. Diremos que un subconjunto${\displaystyle C\subseteq X}$está cerrado con respecto a un operador de cierre de Kuratowski${\displaystyle \mathbf {c}$ :{\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(X)} si y solo si es un punto fijo de dicho operador, o en otras palabras es estable bajo${\displaystyle \mathbf {c} }$, es decir${\displaystyle \mathbf {c} (C)=C}$. La afirmación es que la familia de todos los subconjuntos del espacio total que son complementos de conjuntos cerrados satisface los tres requisitos usuales para una topología, o equivalentemente, la familia${\displaystyle {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} ]}$De todos los conjuntos cerrados, se cumple lo siguiente:

[T1] Es una subred acotada de${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$, es decir${\displaystyle X,\varnothing \in {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} ]}$;

[T2] ​​Es completo bajo intersecciones arbitrarias , es decir, si${\displaystyle {\mathcal {I}}}$es un conjunto arbitrario de índices y${\displaystyle \{C_{i}\}_{i\in {\mathcal {I}}}\subseteq {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} ]}$, entonces${\textstyle \bigcap _{i\in {\mathcal {I}}}C_{i}\in {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} ]}$;

[T3] Es completo bajo uniones finitas , es decir, si${\displaystyle {\mathcal {I}}}$es un conjunto finito de índices y${\displaystyle \{C_{i}\}_{i\in {\mathcal {I}}}\subseteq {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} ]}$, entonces${\textstyle \bigcup _{i\in {\mathcal {I}}}C_{i}\in {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} ]}$.

Nótese que, por idempotencia [K3] , se puede escribir sucintamente${\displaystyle {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} ]=\operatorname {im} (\mathbf {c} )}$.

Por el contrario, dada una familia${\displaystyle \kappa }$Satisfaciendo los axiomas [T1] – [T3] , es posible construir un operador de cierre de Kuratowski de la siguiente manera: si${\displaystyle A\in {\mathcal {P}}(X)}$y${\displaystyle A^{\uparrow }=\{B\in {\mathcal {P}}(X)\ |\ A\subseteq B\}}$es la inclusión molesta de${\displaystyle A}$, entonces $${\displaystyle \mathbf {c} _{\kappa }(A):=\bigcap _{B\in (\kappa \cap A^{\uparrow })}B}$$

define un operador de cierre de Kuratowski${\displaystyle \mathbf {c} _{\kappa }}$en${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$.

De hecho, estas dos construcciones complementarias son inversas entre sí: si${\displaystyle \mathrm {Cls} _{\text{K}}(X)}$es la colección de todos los operadores de cierre de Kuratowski en${\displaystyle X}$, y${\displaystyle \mathrm {Atp} (X)}$es la colección de todas las familias que consisten en complementos de todos los conjuntos en una topología, es decir, la colección de todas las familias que satisfacen [T1] – [T3] , entonces${\displaystyle {\mathfrak {S}}:\mathrm {Cls} _{\text{K}}(X)\to \mathrm {Atp} (X)}$de tal manera que${\displaystyle \mathbf {c} \mapsto {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} ]}$es una biyección , cuya inversa viene dada por la asignación${\displaystyle {\mathfrak {C}}:\kappa \mapsto \mathbf {c} _{\kappa }}$.

Observamos que también se puede extender la biyección.${\displaystyle {\mathfrak {S}}}$a la colección${\displaystyle \mathrm {Cls} _{\check {C}}(X)}$de todos los operadores de cierre checos, que estrictamente contiene${\displaystyle \mathrm {Cls} _{\text{K}}(X)}$; esta extensión${\displaystyle {\overline {\mathfrak {S}}}}$también es sobreyectivo, lo que significa que todos los operadores de cierre checos en${\displaystyle X}$también induce una topología en${\displaystyle X}$. ^{[ 11 ]} Sin embargo, esto significa que${\displaystyle {\overline {\mathfrak {S}}}}$ya no es una biyección.

Un par de cierres Kuratowski${\displaystyle \mathbf {c} _{1},\mathbf {c} _{2}:{\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(X)}$de tal manera que${\displaystyle \mathbf {c} _{2}(A)\subseteq \mathbf {c} _{1}(A)}$a pesar de${\displaystyle A\in {\mathcal {P}}(X)}$inducir topologías${\displaystyle \tau _{1},\tau _{2}}$de tal manera que${\displaystyle \tau _{1}\subseteq \tau _{2}}$y viceversa. En otras palabras,${\displaystyle \mathbf {c} _{1}}$domina${\displaystyle \mathbf {c} _{2}}$si y solo si la topología inducida por esta última es un refinamiento de la topología inducida por la primera, o equivalentemente${\displaystyle {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} _{1}]\subseteq {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} _{2}]}$. ^{[ 13 ]} Por ejemplo, ${\displaystyle \mathbf {c} _{\top }}$claramente domina${\displaystyle \mathbf {c} _{\bot }}$(este último es simplemente la identidad en${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$). Dado que se puede llegar a la misma conclusión sustituyendo${\displaystyle \tau _{i}}$con la familia${\displaystyle \kappa _{i}}$que contiene los complementos de todos sus miembros, si${\displaystyle \mathrm {Cls} _{\text{K}}(X)}$está dotado del orden parcial${\displaystyle \mathbf {c} \leq \mathbf {c} '\iff \mathbf {c} (A)\subseteq \mathbf {c} '(A)}$a pesar de${\displaystyle A\in {\mathcal {P}}(X)}$y${\displaystyle \mathrm {Atp} (X)}$está dotado del orden de refinamiento, entonces podemos concluir que${\displaystyle {\mathfrak {S}}}$es una correspondencia antitónica entre conjuntos parcialmente ordenados.

En cualquier topología inducida (en relación con el subconjunto A ), los conjuntos cerrados inducen un nuevo operador de cierre que es simplemente el operador de cierre original restringido a A :${\displaystyle \mathbf {c} _{A}(B)=A\cap \mathbf {c} _{X}(B)}$, para todos${\displaystyle B\subseteq A}$. ^{[ 14 ]}

Una función${\displaystyle f:(X,\mathbf {c} )\to (Y,\mathbf {c} ')}$es continuo en un punto${\displaystyle p}$si y solo si${\displaystyle p\in \mathbf {c} (A)\Rightarrow f(p)\in \mathbf {c} '(f(A))}$y es continuo en todas partes si y solo si$${\displaystyle f(\mathbf {c} (A))\subseteq \mathbf {c} '(f(A))}$$para todos los subconjuntos${\displaystyle A\in {\mathcal {P}}(X)}$. ^{[ 15 ]} El mapeo${\displaystyle f}$es una aplicación cerrada si y solo si se cumple la inclusión inversa, ^{[ 16 ]} y es un homeomorfismo si y solo si es continua y cerrada, es decir, si y solo si se cumple la igualdad. ^{[ 17 ]}

Dejar${\displaystyle (X,\mathbf {c} )}$ser un espacio de cierre de Kuratowski. Entonces

• ${\displaystyle X}$es un espacio T ₀ si y solo si${\displaystyle x\neq y}$implica${\displaystyle \mathbf {c} (\{x\})\neq \mathbf {c} (\{y\})}$; ^{[ 18 ]}
• ${\displaystyle X}$es un espacio T ₁ si y solo si${\displaystyle \mathbf {c} (\{x\})=\{x\}}$a pesar de${\displaystyle x\in X}$; ^{[ 19 ]}
• ${\displaystyle X}$es un espacio T2 si _y solo si${\displaystyle x\neq y}$implica que existe un conjunto${\displaystyle A\in {\mathcal {P}}(X)}$de tal manera que ambos${\displaystyle x\notin \mathbf {c} (A)}$y${\displaystyle y\notin \mathbf {c} (\mathbf {n} (A))}$, dónde${\displaystyle \mathbf {n} }$es el operador de complemento de conjunto . ^{[ 20 ]}

Un punto${\displaystyle p}$está cerca de un subconjunto${\displaystyle A}$si${\displaystyle p\in \mathbf {c} (A).}$Esto puede utilizarse para definir una relación de proximidad en los puntos y subconjuntos de un conjunto. ^{[ 21 ]}

Dos conjuntos${\displaystyle A,B\in {\mathcal {P}}(X)}$están separados si y solo si${\displaystyle (A\cap \mathbf {c} (B))\cup (B\cap \mathbf {c} (A))=\varnothing }$El espacio${\displaystyle X}$está conectado si y solo si no puede escribirse como la unión de dos subconjuntos separados. ^{[ 22 ]}