Operador de precierre

En topología , un operador de preclausura u operador de clausura de Čech es una función entre subconjuntos de un conjunto, similar a un operador de clausura topológica , excepto que no se requiere que sea idempotente . Es decir, un operador de preclausura obedece solo a tres de los cuatro axiomas de clausura de Kuratowski .

Un operador de precierre en un conjunto es un mapa${\estilo de visualización X}$${\displaystyle [\ \ ]_{p}}$

${\displaystyle [\ \ ]_{p}:{\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(X)}$

¿Dónde está el conjunto potencia de${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$${\estilo de visualización X.}$

El operador de precierre debe satisfacer las siguientes propiedades:

1. ${\displaystyle [\varnothing ]_{p}=\varnothing \!}$(Preservación de las uniones nulas );
2. ${\displaystyle A\subseteq[A]_{p}}$(Extensividad);
3. ${\displaystyle [A\cup B]_{p}=[A]_{p}\cup [B]_{p}}$(Preservación de uniones binarias).

El último axioma implica lo siguiente:

4. implica .${\displaystyle A\subseteq B}$${\displaystyle [A]_{p}\subseteq [B]_{p}}$

Un conjunto es cerrado (con respecto a la preclausura) si . Un conjunto es abierto (con respecto a la preclausura) si su complemento es cerrado. La colección de todos los conjuntos abiertos generados por el operador de preclausura es una topología ; ^[1] sin embargo, la topología anterior no captura la noción de convergencia asociada al operador, en su lugar se debe considerar una pretopología . ^[2]${\estilo de visualización A}$${\displaystyle [A]_{p}=A}$${\displaystyle U\subconjunto X}$ ${\displaystyle A=X\setmenos U}$

Dado un premétrico en , entonces ${\estilo de visualización d}$${\estilo de visualización X}$

${\displaystyle [A]_{p}=\{x\en X:d(x,A)=0\}}$

es un cierre preventivo${\estilo de visualización X.}$

El operador de cierre secuencial es un operador de precierre. Dada una topología con respecto a la cual se define el operador de cierre secuencial, el espacio topológico es un espacio secuencial si y solo si la topología generada por es igual a , es decir, si${\displaystyle [\ \ ]_{\text{seq}}}$${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$${\displaystyle {\mathcal {T}}_{\text{seq}}}$${\displaystyle [\ \ ]_{\text{seq}}}$${\displaystyle {\mathcal {T}},}$${\displaystyle {\mathcal {T}}_{\text{seq}}={\mathcal {T}}.}$

• Eduard Čech

• AV Arkhangelskii, LSPontryagin, Topología general I , (1990) Springer-Verlag, Berlín. ISBN  3-540-18178-4 .
• B. Banascheski, Reconsideración del lema del punto fijo de Bourbaki, Comentario. Math. Univ. Carolinae 33 (1992), 303–309.