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Articulo de referencia

Operador de precierre

En topología , un operador de precierre o de cierre de Čech es una función que relaciona subconjuntos de un conjunto, similar a un operador de cierre topológico , con la salveda...

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En topología , un operador de precierre o de cierre de Čech es una función que relaciona subconjuntos de un conjunto, similar a un operador de cierre topológico , con la salvedad de que no es necesario que sea idempotente . Es decir, un operador de precierre solo cumple tres de los cuatro axiomas de cierre de Kuratowski .

Definición

Un operador de precierre en un conjuntoincógnita{\displaystyle X}es un mapa[  ]pag{\displaystyle [\ \ ]_{p}}

[  ]pag:PAG(incógnita)→PAG(incógnita){\displaystyle [\ \ ]_{p}:{\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(X)}

dóndePAG(incógnita){\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}es el conjunto de potencias deincógnita.{\displaystyle X.}

El operador de precierre debe satisfacer las siguientes propiedades:

  1. [∅]pag=∅{\displaystyle [\varnothing ]_{p}=\varnothing \!}(Preservación de las uniones nulas );
  2. A⊆[A]pag{\displaystyle A\subseteq [A]_{p}}(Extensividad);
  3. [A∪B]pag=[A]pag∪[B]pag{\displaystyle [A\cup B]_{p}=[A]_{p}\cup [B]_{p}}(Preservación de las uniones binarias).

El último axioma implica lo siguiente:

4.A⊆B{\displaystyle A\subsetequ B}implica[A]pag⊆[B]pag{\displaystyle [A]_{p}\subseteq [B]_{p}}.

Topología

Un conjuntoA{\displaystyle A}está cerrado (con respecto al precierre) si[A]pag=A{\displaystyle [A]_{p}=A}Un conjuntoU⊂incógnita{\displaystyle U\subset X}está abierto (con respecto al precierre) si su complementoA=incógnita∖U{\displaystyle A=X\setminus U}está cerrado. La colección de todos los conjuntos abiertos generados por el operador de precierre es una topología ; [ 1 ] sin embargo, la topología anterior no captura la noción de convergencia asociada al operador, se debería considerar una pretopología en su lugar. [ 2 ]

Ejemplos

Premétricas

Dadod{\displaystyle d}una premétrica enincógnita{\displaystyle X}, entonces

[A]pag={incógnita∈incógnita:d(incógnita,A)=0}{\displaystyle [A]_{p}=\{x\in X:d(x,A)=0\}}

es un cierre previo enincógnita.{\displaystyle X.}

Espacios secuenciales

El operador de cierre secuencial[  ]secuencia{\displaystyle [\ \ ]_{\text{seq}}}es un operador de precierre. Dada una topologíaT{\displaystyle {\mathcal {T}}}con respecto al cual se define el operador de cierre secuencial, el espacio topológico(incógnita,T){\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}es un espacio secuencial si y solo si la topologíaTsecuencia{\displaystyle {\mathcal {T}}_{\text{seq}}}generado por[  ]secuencia{\displaystyle [\ \ ]_{\text{seq}}}es igual aT,{\displaystyle {\mathcal {T}},}es decir, siTsecuencia=T.{\displaystyle {\mathcal {T}}_{\text{seq}}={\mathcal {T}}.}

Véase también

Referencias

  1. ↑ Eduard Čech, Zdeněk Frolík, Miroslav Katětov, Espacios topológicos Praga: Academia, Editorial de la Academia Checoslovaca de Ciencias, 1966, Teorema 14 A.9.
  2. ↑ S. Dolecki, Una iniciación a la teoría de la convergencia , en F. Mynard, E. Pearl (editores), Más allá de la topología , AMS, Matemáticas contemporáneas, 2009.
  • AV Arkhangelskii , LS Pontryagin , Topología general I , (1990) Springer-Verlag, Berlín. ISBN 3-540-18178-4.
  • B. Banaschewski, El lema del punto fijo de Bourbaki reconsiderado , Comment. Math. Univ. Carolinae 33 (1992), 303–309.