Axioma de numerabilidad

En matemáticas , un axioma de numerabilidad es una propiedad de ciertos objetos matemáticos que afirma la existencia de un conjunto numerable con ciertas propiedades. Sin dicho axioma, no sería posible demostrar la existencia de tal conjunto.

Los axiomas de numerabilidad importantes para espacios topológicos incluyen: ^{[ 1 ]}

• espacio secuencial : un conjunto es cerrado si y solo si toda sucesión convergente en el conjunto tiene su punto límite en el conjunto.
• Espacio de primer orden numerable : cada punto tiene una base de vecindad numerable (base local).
• espacio segundo numerable : la topología tiene una base numerable.
• espacio separable : existe un subconjunto denso numerable
• Espacio de Lindelöf : cada cubierta abierta tiene una subcubierta contable.
• Espacio σ-compacto : existe una cobertura numerable mediante espacios compactos.

Estos axiomas se relacionan entre sí de las siguientes maneras:

• Todo espacio numerable de primer orden es secuencial.
• Todo espacio segundo numerable es primero numerable, separable y Lindelöf.
• Todo espacio σ-compacto es Lindelöf.
• Todo espacio métrico es, en primer lugar, numerable.
• En los espacios métricos, la segunda numerabilidad, la separabilidad y la propiedad de Lindelöf son todas equivalentes.

Otros ejemplos de objetos matemáticos que obedecen axiomas de numerabilidad incluyen espacios de medida sigma-finitos y retículos de tipo numerable .