Cobertura (topología)

En matemáticas , y más particularmente en teoría de conjuntos , una cubierta (o cubrimiento ) ^[1] de un conjunto es una familia de subconjuntos de cuya unión son todos los . Más formalmente, si es una familia indexada de subconjuntos (indexada por el conjunto ), entonces es una cubierta de si Por lo tanto, la colección es una cubierta de si cada elemento de pertenece al menos a uno de los subconjuntos . ${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización X}$${\displaystyle C=\lbrace U_{\alpha }:\alpha \en A\rbrace }$${\displaystyle U_{\alpha}\subconjunto X}$${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización C}$${\estilo de visualización X}$$${\displaystyle \bigcup _{\alpha \in A}U_{\alpha }\supseteq X.}$$${\displaystyle \lbrace U_{\alpha }:\alpha \en A\rbrace }$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización X}$${\displaystyle U_{\alpha}}$

Las coberturas se utilizan comúnmente en el contexto de la topología . Si el conjunto es un espacio topológico , entonces una cobertura de es una colección de subconjuntos de cuya unión es todo el espacio . En este caso se dice que cubre , o que los conjuntos cubren . ^[1]${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización C}$${\estilo de visualización X}$${\displaystyle \{U_{\alpha }\}_{\alpha \en A}}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización C}$${\estilo de visualización X}$${\displaystyle U_{\alpha}}$${\estilo de visualización X}$

Si es un subespacio (topológico) de , entonces una cobertura de es una colección de subconjuntos de cuya unión contiene . Es decir, es una cobertura de si Aquí, puede estar cubierto con conjuntos en sí mismo o con conjuntos en el espacio padre . ${\estilo de visualización Y}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización Y}$${\displaystyle C=\{U_{\alpha }\}_{\alpha \en A}}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización Y}$${\estilo de visualización C}$${\estilo de visualización Y}$$${\displaystyle Y\subseteq \bigcup _{\alpha \in A}U_{\alpha }.}$$${\estilo de visualización Y}$${\estilo de visualización Y}$${\estilo de visualización X}$

Se dice que una cubierta de es localmente finita si cada punto de tiene un entorno que interseca solo un número finito de conjuntos en la cubierta. Formalmente, es localmente finita si, para cualquier , existe algún entorno de tal que el conjunto es finito. Se dice que una cubierta de es puntualmente finita si cada punto de está contenido solo en un número finito de conjuntos en la cubierta. ^[1] Una cubierta es puntualmente finita si es localmente finita, aunque lo inverso no es necesariamente cierto. ${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización X}$${\displaystyle C=\{U_{\alpha }\}}$${\displaystyle x\en X}$${\estilo de visualización N(x)}$${\estilo de visualización x}$$${\displaystyle \left\{\alpha \in A:U_{\alpha }\cap N(x)\neq \varnothing \right\}}$$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización X}$

Sea una cubierta de un espacio topológico . Una subcubierta de es un subconjunto de que todavía cubre . Se dice que la cubierta es una${\estilo de visualización C}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización C}$${\estilo de visualización C}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización C}$cubierta abierta si cada uno de sus miembros es unconjunto abierto. Es decir, cada unoestá contenido en, dondees la topología enX).^[1]${\displaystyle U_{\alpha}}$${\estilo de visualización T}$${\estilo de visualización T}$

Una forma sencilla de obtener una subcobertura es omitir los conjuntos contenidos en otro conjunto de la cobertura. Consideremos específicamente coberturas abiertas. Sea una base topológica de y una cobertura abierta de . Primero, tomemos . Entonces es un refinamiento de . A continuación, para cada uno se puede seleccionar un que contenga (requiriendo el axioma de elección). Entonces es una subcobertura de Por lo tanto, la cardinalidad de una subcobertura de una cobertura abierta puede ser tan pequeña como la de cualquier base topológica. Por lo tanto, la segunda contabilidad implica que el espacio es Lindelöf . ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\estilo de visualización X}$${\displaystyle {\mathcal {O}}}$${\estilo de visualización X}$${\displaystyle {\mathcal {A}}=\{A\in {\mathcal {B}}:{\text{ existe }}U\in {\mathcal {O}}{\text{ tal que }}A\subseteq U\}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}}$${\displaystyle A\in {\mathcal {A}},}$${\displaystyle U_{A}\in {\mathcal {O}}}$${\estilo de visualización A}$${\displaystyle {\mathcal {C}}=\{U_{A}\in {\mathcal {O}}:A\in {\mathcal {A}}\}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}.}$

Un refinamiento de una cubierta de un espacio topológico es una nueva cubierta de tal que cada conjunto en está contenido en algún conjunto en . Formalmente, ${\estilo de visualización C}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización D}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización D}$${\estilo de visualización C}$

${\displaystyle D=\{V_{\beta }\}_{\beta \en B}}$es un refinamiento de si para todo existe tal que${\displaystyle C=\{U_{\alpha }\}_{\alpha \en A}}$${\displaystyle \beta \en B}$${\displaystyle \alpha \en A}$${\displaystyle V_{\beta }\subseteq U_{\alpha }.}$

En otras palabras, existe un mapa de refinamiento que satisface cada Este mapa se utiliza, por ejemplo, en la cohomología de Čech de . ^[2]${\displaystyle \phi :B\a A}$${\displaystyle V_{\beta }\subseteq U_{\phi (\beta )}}$${\displaystyle \beta \en B.}$${\estilo de visualización X}$

Cada subcubierta es también un refinamiento, pero no siempre ocurre lo contrario. Una subcubierta se crea a partir de los conjuntos que están en la cubierta, pero omitiendo algunos de ellos; mientras que un refinamiento se crea a partir de cualquier conjunto que sea subconjunto de los conjuntos de la cubierta.

La relación de refinamiento en el conjunto de cubiertas de es transitiva y reflexiva , es decir, un Preorden . Nunca es asimétrica para . ${\estilo de visualización X}$${\displaystyle X\neq \conjunto vacío}$

En términos generales, un refinamiento de una estructura dada es otro que en algún sentido la contiene. Se pueden encontrar ejemplos al particionar un intervalo (un refinamiento de es ), considerando topologías (la topología estándar en el espacio euclidiano es un refinamiento de la topología trivial ). Al subdividir complejos simpliciales (la primera subdivisión baricéntrica de un complejo simplicial es un refinamiento), la situación es ligeramente diferente: cada símplex en el complejo más fino es una cara de algún símplex en el más grueso, y ambos tienen poliedros subyacentes iguales. ${\displaystyle a_{0}<a_{1}<\cdots <a_{n}}$${\displaystyle a_{0}<b_{0}<a_{1}<a_{2}<\cdots <a_{n-1}<b_{1}<a_{n}}$

Otra noción de refinamiento es la de refinamiento estelar .

El lenguaje de las coberturas se utiliza a menudo para definir varias propiedades topológicas relacionadas con la compacidad. Se dice que un espacio topológico es: ${\estilo de visualización X}$

• compacto si cada cubierta abierta tiene una subcubierta finita (o equivalentemente, que cada cubierta abierta tiene un refinamiento finito);
• Lindelöf , si cada cubierta abierta tiene una subcubierta contable (o equivalentemente, que cada cubierta abierta tiene un refinamiento contable);
• metacompacto : si cada cubierta abierta tiene un refinamiento abierto finito en puntos; y
• paracompacto : si cada cubierta abierta admite un refinamiento abierto localmente finito.

Para conocer más variaciones, consulte los artículos anteriores.

Se dice que un espacio topológico X es de dimensión de cobertura n si cada cobertura abierta de X tiene un refinamiento abierto de punto finito tal que ningún punto de X está incluido en más de n+ 1 conjuntos en el refinamiento y si n es el valor mínimo para el cual esto es verdadero. ^[3] Si no existe tal n mínimo , se dice que el espacio es de dimensión de cobertura infinita.

• Atlas (topología)  : conjunto de gráficos que describen una variedad
• Bornología  – Generalización matemática de la acotación
• Espacio de cobertura  – Tipo de mapa continuo en topología
• Topología de Grothendieck  – Estructura sobre una categoría C que hace que los objetos de C actúen como los conjuntos abiertos de un espacio topológico
• Partición de un conjunto  – Formas matemáticas de agrupar elementos de un conjunto
• Problema de cobertura de conjuntos  : problema clásico en combinatoria
• Refinamiento de estrellas  – refinamiento matemáticoPáginas que muestran descripciones de wikidata como alternativa
• Subpavimento  – Objeto geométrico

• Introducción a la topología , segunda edición, Theodore W. Gamelin y Robert Everist Greene. Dover Publications 1999. ISBN 0-486-40680-6 
• Kelley, John L. (1975) [1955]. Topología general . Textos de posgrado en matemáticas . Vol. 27 (2.ª ed.). Nueva York: Springer-Verlag. ISBN. 978-0-387-90125-1.OCLC 1365153  .

• "Cobertura (de un conjunto)", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]