Refinamiento estelar

En matemáticas , específicamente en el estudio de la topología y las cubiertas abiertas de un espacio topológico X , un refinamiento estrellado es un tipo particular de refinamiento de una cubierta abierta de X. El término tiene dos usos similares pero distintos. Un término relacionado que a veces se usa para diferenciar la más débil de estas dos propiedades es la noción de refinamiento baricéntrico .

Los refinamientos de estrella se utilizan en la definición de un espacio completamente normal , en la definición de un espacio fuertemente paracompacto y en una de varias formulaciones equivalentes de un espacio uniforme .

La definición general tiene sentido para recubrimientos arbitrarios y no requiere una topología. Sea${\displaystyle X}$ser un conjunto y dejar${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ser una cubierta de${\displaystyle X,}$eso es,${\textstyle X=\bigcup {\mathcal {U}}.}$Dado un subconjunto${\displaystyle S}$de${\displaystyle X,}$la estrella de${\displaystyle S}$con respecto a${\displaystyle {\mathcal {U}}}$es la unión de todos los conjuntos${\displaystyle U\in {\mathcal {U}}}$que se cruzan${\displaystyle S,}$eso es, $${\displaystyle \operatorname {st} (S,{\mathcal {U}})=\bigcup {\big \{}U\in {\mathcal {U}}:S\cap U\neq \varnothing {\big \}}.}$$

Dado un punto${\displaystyle x\in X,}$escribimos${\displaystyle \operatorname {st} (x,{\mathcal {U}})}$en lugar de${\displaystyle \operatorname {st} (\{x\},{\mathcal {U}}).}$

Una cubierta${\displaystyle {\mathcal {U}}}$de${\displaystyle X}$es un refinamiento de una cubierta${\displaystyle {\mathcal {V}}}$de${\displaystyle X}$si cada${\displaystyle U\in {\mathcal {U}}}$está contenido en algunos${\displaystyle V\in {\mathcal {V}}.}$ A continuación se describen dos tipos especiales de refinamiento. El recubrimiento${\displaystyle {\mathcal {U}}}$se denomina refinamiento baricéntrico de${\displaystyle {\mathcal {V}}}$si por cada${\displaystyle x\in X}$la estrella${\displaystyle \operatorname {st} (x,{\mathcal {U}})}$está contenido en algunos${\displaystyle V\in {\mathcal {V}}.}$^{[ 1 ] [ 2 ]} La cubierta${\displaystyle {\mathcal {U}}}$se llama un refinamiento estelar de${\displaystyle {\mathcal {V}}}$si por cada${\displaystyle U\in {\mathcal {U}}}$la estrella${\displaystyle \operatorname {st} (U,{\mathcal {U}})}$está contenido en algunos${\displaystyle V\in {\mathcal {V}}.}$^{[ 3 ] [ 2 ]} Un espacio${\displaystyle X}$se denomina completamente normal si cada cubierta abierta de${\displaystyle X}$tiene un refinamiento abierto baricéntrico.

Existe otro concepto relacionado pero distinto. Una cubierta abierta es estrella finita si cada miembro de${\displaystyle U\in {\mathcal {U}}}$solo reúne a un número finito de miembros de${\displaystyle {\mathcal {U}}}$. Un espacio${\displaystyle X}$se denomina paracompacto fuerte si cada cubierta abierta de${\displaystyle X}$tiene un refinamiento abierto de tipo estrella finito.

Cada refinamiento estelar de una cubierta es un refinamiento baricéntrico de esa cubierta. Lo contrario no es cierto, pero un refinamiento baricéntrico de un refinamiento baricéntrico es un refinamiento estelar. ^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]}

Dado un espacio métrico${\displaystyle X,}$dejar${\displaystyle {\mathcal {V}}=\{B_{\epsilon }(x):x\in X\}}$ser la colección de todas las bolas abiertas${\displaystyle B_{\epsilon }(x)}$de radio fijo${\displaystyle \epsilon >0.}$ La colección${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{B_{\epsilon /2}(x):x\in X\}}$es un refinamiento baricéntrico de${\displaystyle {\mathcal {V}},}$y la colección${\displaystyle {\mathcal {W}}=\{B_{\epsilon /3}(x):x\in X\}}$es un refinamiento estelar de${\displaystyle {\mathcal {V}}.}$

Según un teorema de A. H. Stone, para un espacio T¹ _, ser completamente normal y ser paracompacto son equivalentes. Este fue un teorema fundamental y proporcionó la primera prueba de que los espacios métricos son paracompactos. La demostración es compleja, pero posteriormente se proporcionaron pruebas más sencillas de la paracompacidad de los espacios métricos.

Hay paracompactos${\displaystyle T_{1}}$espacios que no son fuertemente paracompactos. ^{[ 8 ]} Todo espacio métrico localmente separable es fuertemente paracompacto. Recíprocamente, todo espacio métrico conexo y fuertemente paracompacto es separable, por lo que los espacios de Banach no separables son un ejemplo típico de espacios métricos que no son fuertemente paracompactos.

• Familia de conjuntos : cualquier colección de conjuntos o subconjuntos de un conjunto. 

• Dugundji, James (1966). Topología . Boston: Allyn and Bacon. ISBN 978-0-697-06889-7OCLC 395340485​​ 
• Willard, Stephen (2004) [1970]. Topología general . Mineola, NY : Dover Publications . ISBN 978-0-486-43479-7OCLC 115240 .​