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Espacio paracompacto

En matemáticas , un espacio paracompacto es un espacio topológico en el que cada cubierta abierta tiene un refinamiento abierto localmente finito . Estos espacios fueron introdu...

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En matemáticas , un espacio paracompacto es un espacio topológico en el que cada cubierta abierta tiene un refinamiento abierto localmente finito . Estos espacios fueron introducidos por Dieudonné (1944) . Todo espacio compacto es paracompacto. [ 1 ] Todo espacio de Hausdorff paracompacto es normal , y un espacio de Hausdorff es paracompacto si [ 2 ] y solo si admite particiones de la unidad subordinadas a cualquier cubierta abierta. A veces, los espacios paracompactos se definen de manera que siempre sean de Hausdorff.

Todo subespacio cerrado de un espacio paracompacto es paracompacto. Si bien los subconjuntos compactos de los espacios de Hausdorff son siempre cerrados, esto no se cumple para los subconjuntos paracompactos. Un espacio tal que todos sus subespacios son paracompactos se denomina paracompacto hereditario . Esto equivale a exigir que todo subespacio abierto sea paracompacto.

La noción de espacio paracompacto también se estudia en topología sin sentido , donde se comporta de manera más regular. Por ejemplo, el producto de cualquier número de lugares paracompactos es un lugar paracompacto, pero el producto de dos espacios paracompactos puede no ser paracompacto. [ 3 ] [ 4 ] Compárese esto con el teorema de Tychonoff , que establece que el producto de cualquier colección de espacios topológicos compactos es compacto. Sin embargo, el producto de un espacio paracompacto y un espacio compacto siempre es paracompacto.

Todo espacio métrico es paracompacto. Un espacio topológico es metrizable si y solo si es un espacio de Hausdorff paracompacto y localmente metrizable .

Definición

Una cubierta de un conjunto es una colección de subconjuntos de cuya unión contiene . En símbolos, si es una familia indexada de subconjuntos de , entonces es una cubierta de siincógnita{\displaystyle X}incógnita{\displaystyle X}incógnita{\displaystyle X}U={Uα:α∈A}{\displaystyle U=\{U_{\alpha }:\alpha \in A\}}incógnita{\displaystyle X}U{\displaystyle U}incógnita{\displaystyle X}

incógnita⊆⋃α∈AUα.{\displaystyle X\subseteq \bigcup _{\alpha \in A}U_{\alpha }.}

Una cubierta de un espacio topológico es abierta si todos sus miembros son conjuntos abiertos . Un refinamiento de una cubierta de un espacio es una nueva cubierta del mismo espacio tal que cada conjunto en la nueva cubierta es un subconjunto de algún conjunto en la cubierta anterior. En símbolos, la cubierta es un refinamiento de la cubierta si y solo si, para cada en , existe algún en tal que .incógnita{\displaystyle X}incógnita{\displaystyle X}V={Vβ:β∈B}{\displaystyle V=\{V_{\beta}:\beta \en B\}}U={Uα:α∈A}{\displaystyle U=\{U_{\alpha }:\alpha \in A\}}Vβ{\displaystyle V_{\beta }}V{\displaystyle V}Uα{\displaystyle U_{\alpha }}U{\displaystyle U}Vβ⊆Uα{\displaystyle V_{\beta }\subseteq U_{\alpha }}

Una cubierta abierta de un espacio es localmente finita si cada punto del espacio tiene un entorno que interseca solo un número finito de conjuntos en la cubierta. En símbolos, es localmente finita si y solo si, para cualquier en , existe algún entorno de tal que el conjuntoincógnita{\displaystyle X}U={Uα:α∈A}{\displaystyle U=\{U_{\alpha }:\alpha \in A\}}incógnita{\displaystyle x}incógnita{\displaystyle X}V{\displaystyle V}incógnita{\displaystyle x}

{α∈A:Uα∩V≠∅}{\displaystyle \left\{\alpha \in A:U_{\alpha }\cap V\neq \varnothing \right\}}

es finito. Se dice que un espacio topológico es paracompacto si toda cubierta abierta tiene un refinamiento abierto localmente finito.incógnita{\displaystyle X}

Esta definición se extiende literalmente a los espacios locales, con la excepción de los espacios localmente finitos: una cubierta abierta de es localmente finita si y solo si el conjunto de espacios abiertos que intersecan solo un número finito de espacios abiertos en también forma una cubierta de . Nótese que una cubierta abierta en un espacio topológico es localmente finita si y solo si es una cubierta localmente finita del espacio local subyacente.U{\displaystyle U}incógnita{\displaystyle X}V{\displaystyle V}U{\displaystyle U}incógnita{\displaystyle X}

Ejemplos

Algunos ejemplos de espacios que no son paracompactos incluyen:

Propiedades

La paracompacidad es débilmente hereditaria, es decir, todo subespacio cerrado de un espacio paracompacto es paracompacto. Esto también se puede extender a los subespacios F-sigma . [ 10 ]

Aunque un producto de espacios paracompactos no tiene por qué ser paracompacto, se cumplen las siguientes condiciones:

Ambos resultados pueden demostrarse mediante el lema del tubo , que se utiliza en la prueba de que un producto de un número finito de espacios compactos es compacto.

Espacios Hausdorff paracompactos

En ocasiones, los espacios paracompactos también deben ser Hausdorff para ampliar sus propiedades.

  • ( Teorema de Jean Dieudonné ) Todo espacio de Hausdorff paracompacto es normal .
  • Todo espacio de Hausdorff paracompacto es un espacio decreciente , es decir, toda cubierta abierta de un espacio de Hausdorff paracompacto tiene una contracción: otra cubierta abierta indexada por el mismo conjunto tal que la clausura de cada conjunto en la nueva cubierta se encuentra dentro del conjunto correspondiente en la cubierta anterior.
  • En los espacios de Hausdorff paracompactos, la cohomología de haces y la cohomología de Čech son iguales. [ 11 ]

Particiones de la unidad

La característica más importante de los espacios de Hausdorff paracompactos es que admiten particiones de la unidad subordinadas a cualquier cubierta abierta. Esto significa lo siguiente: si X es un espacio de Hausdorff paracompacto con una cubierta abierta dada, entonces existe una colección de funciones continuas en X con valores en el intervalo unitario [0, 1] tales que:

  • para cada función f : X → R de la colección, existe un conjunto abierto U de la cubierta tal que el soporte de f está contenido en U ;   
  • Para cada punto x en X , existe un entorno V de x tal que todas las funciones de la colección, salvo un número finito de ellas, son idénticamente 0 en V y la suma de las funciones no nulas es idénticamente 1 en V.

De hecho, un espacio T1 es Hausdorff y paracompacto si y solo si admite particiones de la unidad subordinadas a cualquier cubierta abierta (véase más adelante ). Esta propiedad se utiliza a veces para definir espacios paracompactos (al menos en el caso Hausdorff).

Las particiones de la unidad son útiles porque a menudo permiten extender construcciones locales a todo el espacio. Por ejemplo, la integral de formas diferenciales en variedades paracompactas se define primero localmente (donde la variedad se asemeja al espacio euclidiano y la integral es bien conocida), y esta definición se extiende luego a todo el espacio mediante una partición de la unidad.

Demostración de que los espacios de Hausdorff paracompactos admiten particiones de la unidad.

(Haz clic en "mostrar" a la derecha para ver la prueba o en "ocultar" para ocultarla).

Un espacio de Hausdorff es paracompacto si y solo si toda cubierta abierta admite una partición subordinada de la unidad. La condición "si" es sencilla. Ahora, para la condición "solo si" , lo hacemos en varias etapas.incógnita{\displaystyle X\,}

Lema 1: Si es una cubierta abierta localmente finita, entonces existen conjuntos abiertos para cada , tales que cada y es un refinamiento localmente finito.O{\displaystyle {\mathcal {O}}\,}WU{\displaystyle W_{U}\,}U∈O{\displaystyle U\in {\mathcal {O}}\,}WU¯⊆U{\displaystyle {\bar {W_{U}}}\subseteq U\,}{WU:U∈O}{\displaystyle \{W_{U}:U\in {\mathcal {O}}\}\,}
Lema 2: Si es una cubierta abierta localmente finita, entonces existen funciones continuas tales que y tales que es una función continua que siempre es distinta de cero y finita.O{\displaystyle {\mathcal {O}}\,}FU:incógnita→[0,1]{\displaystyle f_{U}:X\to [0,1]\,}suplemento⁡ FU⊆U{\displaystyle \operatorname {supp} ~f_{U}\subseteq U\,}F:=∑U∈OFU{\displaystyle f:=\sum _{U\in {\mathcal {O}}}f_{U}\,}
Teorema: En un espacio de Hausdorff paracompacto , si es una cubierta abierta, entonces existe una partición de la unidad subordinada a ella.incógnita{\displaystyle X\,}O{\displaystyle {\mathcal {O}}\,}
Demostración (Lema 1):
Sea la colección de conjuntos abiertos que intersecan solo un número finito de conjuntos en , y cuya clausura está contenida en un conjunto en . Se puede comprobar como ejercicio que esto proporciona un refinamiento abierto, ya que los espacios de Hausdorff paracompactos son regulares, y puesto que es localmente finito. Ahora sustituyamos por un refinamiento abierto localmente finito. Se puede comprobar fácilmente que cada conjunto en este refinamiento tiene la misma propiedad que la que caracterizaba la cubierta original.V{\displaystyle {\mathcal {V}}\,}O{\displaystyle {\mathcal {O}}\,}O{\displaystyle {\mathcal {O}}}O{\displaystyle {\mathcal {O}}\,}V{\displaystyle {\mathcal {V}}\,}
Ahora definimos . La propiedad de garantiza que cada está contenido en algún . Por lo tanto , es un refinamiento abierto de . Dado que tenemos , esta cubierta es inmediatamente localmente finita.WU=⋃{A∈V:A¯⊆U}{\displaystyle W_{U}=\bigcup \{A\in {\mathcal {V}}:{\bar {A}}\subseteq U\}\,}V{\displaystyle {\mathcal {V}}\,}A∈V{\displaystyle A\in {\mathcal {V}}}WU{\displaystyle W_{U}}{WU:U∈O}{\displaystyle \{W_{U}:U\in {\mathcal {O}}\}\,}O{\displaystyle {\mathcal {O}}\,}WU⊆U{\displaystyle W_{U}\subseteq U}
Ahora queremos demostrar que cada . Para cada , probaremos que . Dado que elegimos ser localmente finito, existe un entorno de tal que solo un número finito de conjuntos en tienen una intersección no vacía con , y los denotamos en la definición de . Por lo tanto, podemos descomponer en dos partes: los que intersecan , y el resto que no lo hacen, lo que significa que están contenidos en el conjunto cerrado . Ahora tenemos . Como y , tenemos para cada . Y como es el complemento de un entorno de , tampoco está en . Por lo tanto, tenemos .WU¯⊆U{\displaystyle {\bar {W_{U}}}\subseteq U\,}incógnita∉U{\displaystyle x\notin U}incógnita∉WU¯{\displaystyle x\notin {\bar {W_{U}}}}V{\displaystyle {\mathcal {V}}}V[incógnita]{\displaystyle V[x]}incógnita{\displaystyle x}V{\displaystyle {\mathcal {V}}}V[incógnita]{\displaystyle V[x]}A1,...,Anorte,...∈V{\displaystyle A_{1},...,A_{n},...\in {\mathcal {V}}}WU{\displaystyle W_{U}}WU{\displaystyle W_{U}}A1,...,Anorte∈V{\displaystyle A_{1},...,A_{n}\in {\mathcal {V}}}V[incógnita]{\displaystyle V[x]}A∈V{\displaystyle A\in {\mathcal {V}}}do:=incógnita∖V[incógnita]{\displaystyle C:=X\setminus V[x]}WU¯⊆A1¯∪...∪Anorte¯∪do{\displaystyle {\bar {W_{U}}}\subseteq {\bar {A_{1}}}\cup ...\cup {\bar {A_{n}}}\cup C}Ai¯⊆U{\displaystyle {\bar {A_{i}}}\subseteteq U}incógnita∉U{\displaystyle x\notin U}incógnita∉Ai¯{\displaystyle x\notin {\bar {A_{i}}}}i{\displaystyle i}do{\displaystyle C}incógnita{\displaystyle x}incógnita{\displaystyle x}do{\displaystyle C}incógnita∉WU¯{\displaystyle x\notin {\bar {W_{U}}}}
Demostración (Lema 2):
Aplicando el Lema 1, sean aplicaciones continuas con y (por el lema de Urysohn para conjuntos cerrados disjuntos en espacios normales, que es un espacio de Hausdorff paracompacto). Nótese que por soporte de una función, nos referimos aquí a los puntos que no se mapean a cero (y no a la clausura de este conjunto). Para demostrar que siempre es finito y distinto de cero, tomemos , y sea un entorno de que intersecta solo un número finito de conjuntos en ; por lo tanto, pertenece solo a un número finito de conjuntos en ; por lo tanto, para todos excepto un número finito de ; además, para algún , por lo tanto ; así que es finito y . Para establecer la continuidad, tomemos como antes, y sea , que es finito; entonces , que es una función continua; por lo tanto, la preimagen bajo de un entorno de será un entorno de .fU:X→[0,1]{\displaystyle f_{U}:X\to [0,1]\,}fU↾W¯U=1{\displaystyle f_{U}\upharpoonright {\bar {W}}_{U}=1\,}supp⁡ fU⊆U{\displaystyle \operatorname {supp} ~f_{U}\subseteq U\,}f=∑U∈OfU{\displaystyle f=\sum _{U\in {\mathcal {O}}}f_{U}\,}x∈X{\displaystyle x\in X\,}N{\displaystyle N\,}x{\displaystyle x\,}O{\displaystyle {\mathcal {O}}\,}x{\displaystyle x\,}O{\displaystyle {\mathcal {O}}\,}fU(x)=0{\displaystyle f_{U}(x)=0\,}U{\displaystyle U\,}x∈WU{\displaystyle x\in W_{U}\,}U{\displaystyle U\,}fU(x)=1{\displaystyle f_{U}(x)=1\,}f(x){\displaystyle f(x)\,}≥1{\displaystyle \geq 1\,}x,N{\displaystyle x,N\,}S={U∈O:N meets U}{\displaystyle S=\{U\in {\mathcal {O}}:N{\text{ meets }}U\}\,}f↾N=∑U∈SfU↾N{\displaystyle f\upharpoonright N=\sum _{U\in S}f_{U}\upharpoonright N\,}f{\displaystyle f\,}f(x){\displaystyle f(x)\,}x{\displaystyle x\,}
Demostración (Teorema):
Tomemos una subcubierta localmente finita de la cubierta de refinamiento: . Aplicando el Lema 2, obtenemos funciones continuas con (por lo tanto, la versión cerrada usual del soporte está contenida en algún , para cada ; para la cual su suma constituye una función continua que siempre es finita no nula (por lo tanto es continua positiva, de valor finito). Así que reemplazando cada por , ahora tenemos —manteniendo todo lo demás igual— que su suma es en todas partes . Finalmente, para , siendo un entorno de que intersecta solo un número finito de conjuntos en , tenemos para todos excepto un número finito ya que cada . Por lo tanto, tenemos una partición de la unidad subordinada a la cubierta abierta original.O∗{\displaystyle {\mathcal {O}}^{*}\,}{V open :(∃U∈O)V¯⊆U}{\displaystyle \{V{\text{ open }}:(\exists {U\in {\mathcal {O}}}){\bar {V}}\subseteq U\}\,}fW:X→[0,1]{\displaystyle f_{W}:X\to [0,1]\,}supp⁡ fW⊆W{\displaystyle \operatorname {supp} ~f_{W}\subseteq W\,}U∈O{\displaystyle U\in {\mathcal {O}}\,}W∈O∗{\displaystyle W\in {\mathcal {O}}^{*}\,}1/f{\displaystyle 1/f\,}fW{\displaystyle f_{W}\,}fW/f{\displaystyle f_{W}/f\,}1{\displaystyle 1\,}x∈X{\displaystyle x\in X\,}N{\displaystyle N\,}x{\displaystyle x\,}O∗{\displaystyle {\mathcal {O}}^{*}\,}fW↾N=0{\displaystyle f_{W}\upharpoonright N=0\,}W∈O∗{\displaystyle W\in {\mathcal {O}}^{*}\,}supp⁡ fW⊆W{\displaystyle \operatorname {supp} ~f_{W}\subseteq W\,}

Relación con la compacidad

Existe una similitud entre las definiciones de compacidad y paracompacidad: en la paracompacidad, "subcubierta" se reemplaza por "refinamiento abierto" y "finito" por "localmente finito". Ambos cambios son significativos: si tomamos la definición de paracompacto y cambiamos "refinamiento abierto" por "subcubierta", o "localmente finito" por "finito", obtenemos espacios compactos en ambos casos.

La paracompacidad tiene poco que ver con la noción de compacidad, sino más bien con la división de entidades espaciales topológicas en partes manejables.

Comparación de propiedades con compacidad

La paracompacidad es similar a la compacidad en los siguientes aspectos:

Es diferente en estos aspectos:

  • Un subconjunto paracompacto de un espacio de Hausdorff no tiene por qué ser cerrado. De hecho, en los espacios métricos, todos los subconjuntos son paracompactos.
  • Un producto de espacios paracompactos no tiene por qué ser paracompacto. El cuadrado de la recta real R en la topología del límite inferior es un ejemplo clásico de esto.

Variaciones

Existen varias variantes del concepto de paracompacidad. Para definirlas, primero necesitamos ampliar la lista de términos anterior:

Un espacio topológico es:

  • metacompacto si cada cubierta abierta tiene un refinamiento finito de punto abierto.
  • ortocompacto si cada cubierta abierta tiene un refinamiento abierto tal que la intersección de todos los conjuntos abiertos alrededor de cualquier punto en este refinamiento es abierta.
  • completamente normal si cada cubierta abierta tiene un refinamiento de estrella abierta , y completamente T 4 si es completamente normal y T 1 (ver axiomas de separación ).

El adverbio " contablemente " se puede agregar a cualquiera de los adjetivos "paracompacto", "metacompacto" y "totalmente normal" para que el requisito se aplique solo a las cubiertas abiertas contables .

Todo espacio paracompacto es metacompacto, y todo espacio metacompacto es ortocompacto.

Definición de términos relevantes para las variaciones

  • Dado un recubrimiento y un punto, la estrella del punto en el recubrimiento es la unión de todos los conjuntos en el recubrimiento que contienen el punto. En símbolos, la estrella de x en U = { U α  : α en A } es
U∗(x):=⋃Uα∋xUα.{\displaystyle \mathbf {U} ^{*}(x):=\bigcup _{U_{\alpha }\ni x}U_{\alpha }.}
La notación para la estrella no está estandarizada en la literatura, y esta es solo una posibilidad.
  • Un refinamiento estrella de una cubierta de un espacio X es una cubierta del mismo espacio tal que, dado cualquier punto en el espacio, la estrella del punto en la nueva cubierta es un subconjunto de algún conjunto en la cubierta antigua. En símbolos, V es un refinamiento estrella de U = { U α  : α en A } si para cualquier x en X , existe un U α en U tal que V * ( x ) está contenido en U α .
  • Una cubierta de un espacio X es puntualmente finita (o puntualmente finita ) si cada punto del espacio pertenece solo a un número finito de conjuntos en la cubierta. En símbolos, U es puntualmente finita si para cualquier x en X , el conjunto es finito.{α∈A:x∈Uα}{\displaystyle \left\{\alpha \in A:x\in U_{\alpha }\right\}}

Como su nombre lo indica, un espacio completamente normal es normal y un espacio completamente T⁴ es T⁴ . Todo espacio completamente T⁴ es paracompacto. De hecho, para los espacios de Hausdorff, la paracompacidad y la normalidad completa son equivalentes. Por lo tanto, un espacio completamente T⁴ es lo mismo que un espacio de Hausdorff paracompacto.

Sin la propiedad de Hausdorff, los espacios paracompactos no son necesariamente completamente normales. Cualquier espacio compacto que no sea regular sirve como ejemplo.

Nota histórica: los espacios completamente normales fueron definidos antes que los espacios paracompactos, en 1940, por John W. Tukey . [ 12 ] La prueba de que todos los espacios metrizables son completamente normales es sencilla. Cuando A. H. Stone demostró que para los espacios de Hausdorff la normalidad completa y la paracompacidad son equivalentes, demostró implícitamente que todos los espacios metrizables son paracompactos. Posteriormente, Ernest Michael dio una prueba directa de este último hecho y M. E. Rudin dio otra prueba elemental.

Véase también

Notas

  1. ↑ Munkres 2000 , págs. 252.
  2. ↑ Dugundji 1966 , págs. 170, Teorema 4.2.
  3. ↑ Johnstone, Peter T. (1983). "El punto de la topología sin sentido" (PDF) . Boletín de la Sociedad Matemática Americana . 8 (1): 41– 53. doi : 10.1090/S0273-0979-1983-15080-2 .
  4. ↑ Dugundji 1966 , págs. 165 Teorema 2.4.
  5. ↑ No es difícil dar una demostración directa que no utilice Hausdorff.
  6. ↑ Hatcher, Allen , Vector bundles and K-theory , versión preliminar disponible en la página web del autor.
  7. ↑ Stone, AH Paracompacidad y espacios producto . Bull. Amer. Math. Soc. 54 (1948), 977–982
  8. ↑ Rudin, Mary Ellen (febrero de 1969). "Una nueva prueba de que los espacios métricos son paracompactos" . Actas de la Sociedad Matemática Americana . 20 (2): 603. doi : 10.1090/S0002-9939-1969-0236876-3 .
  9. ↑ Good, C.; Tree, IJ; Watson, WS (abril de 1998). "Sobre el teorema de Stone y el axioma de elección" . Actas de la Sociedad Matemática Americana . 126 (4): 1211– 1218. doi : 10.1090/S0002-9939-98-04163-X .
  10. ^ Dugundji 1966 , págs.165, teorema 2.2. 
  11. ↑Brylinski, Jean-Luc (2007), Loop Spaces, Characteristic Classes and Geometric Quantization, Progress in Mathematics, vol. 107, Springer, p. 32, ISBN 9780817647308.
  12. ↑Tukey, John W. (1940). Convergence and Uniformity in Topology. Annals of Mathematics Studies. Vol. 2. Princeton University Press, Princeton, N. J. pp. ix+90. MR 0002515.

References

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