Teorema de la gaita

En matemáticas , el teorema de la gaita de Peter Nyikos describe la estructura de las superficies ω-acotadas conexas (pero posiblemente no paracompactas ) al demostrar que son "gaitas": la suma conexa de una "bolsa" compacta con varias "tubos largos". ^{[ 1 ]}

Un espacio se denomina ω-acotado si la clausura de cada conjunto numerable es compacta. La compacidad implica la ω-acotación, pero en general lo contrario no es cierto. Por ejemplo, el primer ordinal no numerable${\displaystyle \omega _{1}}$La topología del orden y la línea larga son ambas ω-acotadas pero no compactas. Sin embargo, para espacios métricos, ambos conceptos son equivalentes.

El teorema de la gaita establece que toda superficie conexa acotada por ω es la suma conexa de una superficie conexa compacta y un número finito de tubos largos (definidos más adelante).

Un espacio P se denomina tubería larga si existen subespacios.${\displaystyle \{U_{\alpha }:\alpha <\omega _{1}\}}$cada uno de los cuales es homeomorfo a${\displaystyle S^{1}\times \mathbb {R} }$de tal manera que para${\displaystyle n<m}$,${\displaystyle {\overline {U_{n}}}\subseteteq U_{m}}$y el límite de${\displaystyle U_{n}}$en${\displaystyle U_{m}}$es homeomorfo a${\displaystyle S^{1}}$El ejemplo más sencillo de una tubería larga es el producto${\displaystyle S^{1}\times L^{+}}$del círculo${\displaystyle S^{1}}$y el rayo largo cerrado${\displaystyle L^{+}}$, que es una unión cada vez mayor de${\displaystyle \omega _{1}}$copias del intervalo semiabierto${\displaystyle [0,1)}$, pegado junto con el orden lexicográfico. Se obtiene otro tubo largo quitando un solo punto del "plano largo".${\displaystyle L\times L}$, dónde${\displaystyle L}$es la larga fila. De hecho, hay${\displaystyle 2^{\aleph _ {1}}}$diferentes clases de isomorfismo de tuberías largas.

El teorema de la gaita no describe todas las superficies, ya que existen muchos ejemplos de superficies que no están acotadas por ω, como la variedad de Prüfer .

• Nyikos, Peter (1984). «La teoría de las variedades no metrizables». En Kunen, Kenneth ; Vaughan, Jerry E. (eds.). Manual de topología de conjuntos . North Holland. pp. 633–684 . doi : 10.1016/B978-0-444-86580-9.50017-3 . ISBN  978-0-444-86580-9. SR 0776633 .