Teorema de selección de Michael

En el análisis funcional , una rama de las matemáticas, el teorema de selección de Michael es un teorema de selección que lleva el nombre de Ernest Michael . En su forma más popular, establece lo siguiente: ^{[ 1 ]}

Por el contrario , si cualquier multimapa semicontinuo inferior del espacio topológico X a un espacio de Banach, con valores cerrados convexos no vacíos, admite una selección continua , entonces X es paracompacto. Esto proporciona otra caracterización de la paracompacidad .

El teorema de selección de Michael se puede aplicar para demostrar que la inclusión diferencial

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}(t)\in F(t,x(t)),\quad x(t_{0})=x_{0}}$

tiene una solución C ^{1 cuando} F es semicontinua inferiormente y F ( t , x ) es un conjunto cerrado y convexo no vacío para todo ( t , x ). Cuando F es unívoca, este es el clásico teorema de existencia de Peano .  

Un teorema debido a Deutsch y Kenderov generaliza el teorema de selección de Michel a una equivalencia que relaciona selecciones aproximadas con una hemicontinuidad casi inferior , donde${\displaystyle F}$Se dice que es casi hemicontinua inferior si en cada${\displaystyle x\in X}$todos los barrios${\displaystyle V}$de${\displaystyle 0}$existe un vecindario${\displaystyle U}$de${\displaystyle x}$de tal manera que${\displaystyle \cap _{u\in U}\{F(u)+V\}\neq \emptyset .}$

Precisamente, el teorema de Deutsch-Kenderov establece que si${\displaystyle X}$es paracompacto,${\displaystyle Y}$un espacio vectorial normado y${\displaystyle F(x)}$es convexa no vacía para cada${\displaystyle x\in X}$, entonces${\displaystyle F}$es casi hemicontinua inferior si y solo si${\displaystyle F}$tiene selecciones aproximadas continuas, es decir, para cada vecindario.${\displaystyle V}$de${\displaystyle 0}$en${\displaystyle Y}$Hay una función continua${\displaystyle f\colon X\mapsto Y}$de tal manera que para cada${\displaystyle x\in X}$,${\displaystyle f(x)\in F(X)+V}$. ^{[ 3 ]}

En una nota, Xu demostró que el teorema de Deutsch-Kenderov también es válido si${\displaystyle Y}$es un espacio vectorial topológico localmente convexo . ^{[ 4 ]}

• Teorema de selección de Michael de dimensión cero
• Teorema de selección
• Teorema del máximo

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