Teorema del máximo

El teorema del máximo proporciona condiciones para la continuidad de una función optimizada y el conjunto de sus maximizadores con respecto a sus parámetros. El enunciado fue demostrado por primera vez por Claude Berge en 1959. ^{[ 1 ]} El teorema se utiliza principalmente en economía matemática y control óptimo .

Teorema del Máximo . ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]} Sean y espacios topológicos, una función continua en el producto , y una correspondencia de valores compactos tal que para todo . Definimos la función marginal (o función de valor ) mediante ${\displaystyle X}$${\displaystyle \Theta }$${\displaystyle f:X\times \Theta \to \mathbb {R} }$${\displaystyle X\times \Theta }$${\displaystyle C:\Theta \rightrightarrows X}$${\displaystyle C(\theta )\neq \emptyset }$${\displaystyle \theta \in \Theta }$${\displaystyle f^{*}:\Theta \to \mathbb {R} }$

${\displaystyle f^{*}(\theta )=\sup\{f(x,\theta ):x\in C(\theta )\}}$

y el conjunto de maximizadores por ${\displaystyle C^{*}:\Theta \rightrightarrows X}$

${\displaystyle C^{*}(\theta )=\mathrm {arg} \max\{f(x,\theta ):x\in C(\theta )\}=\{x\in C(\theta ):f(x,\theta )=f^{*}(\theta )\}}$.

Si es continua (es decir, hemicontinua superior e inferiormente ) en , entonces la función de valor es continua y el conjunto de maximizadores es hemicontinuo superior con valores no vacíos y compactos. En consecuencia, puede ser reemplazada por . ${\displaystyle C}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle f^{*}}$${\displaystyle C^{*}}$${\displaystyle \sup }$${\displaystyle \max }$

El teorema del máximo se puede utilizar para la minimización considerando la función en su lugar. ${\displaystyle -f}$

El teorema se interpreta típicamente como el que proporciona condiciones para que un problema de optimización paramétrica tenga soluciones continuas con respecto al parámetro. En este caso, es el espacio de parámetros, es la función que se va a maximizar y da el conjunto de restricciones sobre el que se maximiza. Entonces, es el valor maximizado de la función y es el conjunto de puntos que maximizan . ${\displaystyle \Theta }$${\displaystyle f(x,\theta )}$${\displaystyle C(\theta )}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f^{*}(\theta )}$${\displaystyle C^{*}}$${\displaystyle f}$

El resultado es que, si los elementos de un problema de optimización son suficientemente continuos, entonces parte de esa continuidad, pero no toda, se conserva en las soluciones.

A lo largo de esta demostración, utilizaremos el término vecindario para referirnos a un conjunto abierto que contiene un punto en particular. Comenzamos con un lema preliminar, que es un hecho general en el cálculo de correspondencias. Recordemos que una correspondencia es cerrada si su grafo es cerrado.

Lema . ^{[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]} Si son correspondencias, es hemicontinua superior y de valor compacto, y es cerrada, entonces definida por es hemicontinua superior.${\displaystyle A,B:\Theta \rightrightarrows X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A\cap B:\Theta \rightrightarrows X}$${\displaystyle (A\cap B)(\theta )=A(\theta )\cap B(\theta )}$

La continuidad en el teorema del máximo es el resultado de combinar dos teoremas independientes. ${\displaystyle f^{*}}$

Teorema 1. [ ^{9 ] [ 10 ] [ 11 ] Si} es semicontinua superiormente y es hemicontinua superiormente, no vacía y de valor compacto, entonces es semicontinua superiormente.${\displaystyle f}$${\displaystyle C}$${\displaystyle f^{*}}$

Teorema 2. [ ^{12 ] [ 13 ] [ 14 ] Si} es semicontinua inferiormente y es hemicontinua inferiormente, entonces es semicontinua inferiormente.${\displaystyle f}$${\displaystyle C}$${\displaystyle f^{*}}$

Bajo las hipótesis del teorema del máximo, es continua. Resta verificar que es una correspondencia hemicontinua superior con valores compactos. Sea . Para ver que no es vacío, observe que la función por es continua en el conjunto compacto . El teorema del valor extremo implica que no es vacío. Además, como es continua, se deduce que un subconjunto cerrado del conjunto compacto , lo que implica que es compacto. Finalmente, sea definida por . Como es una función continua, es una correspondencia cerrada. Además, como , el lema preliminar implica que es hemicontinua superior.${\displaystyle f^{*}}$${\displaystyle C^{*}}$${\displaystyle \theta \in \Theta }$${\displaystyle C^{*}(\theta )}$${\displaystyle f_{\theta }:C(\theta )\to \mathbb {R} }$${\displaystyle f_{\theta }(x)=f(x,\theta )}$${\displaystyle C(\theta )}$${\displaystyle C^{*}(\theta )}$${\displaystyle f_{\theta }}$${\displaystyle C^{*}(\theta )}$${\displaystyle C(\theta )}$${\displaystyle C^{*}(\theta )}$${\displaystyle D:\Theta \rightrightarrows X}$${\textstyle D(\theta )=\{x\in X:f(x,\theta )=f^{*}(\theta )\}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle D}$${\displaystyle C^{*}(\theta )=C(\theta )\cap D(\theta )}$${\displaystyle C^{*}}$${\displaystyle \square }$

Una generalización natural de los resultados anteriores proporciona condiciones locales suficientes para que sea continua y no vacía, de valor compacto y semicontinua superiormente. ${\displaystyle f^{*}}$${\displaystyle C^{*}}$

Si, además de las condiciones anteriores, es cuasiconcava en para cada y es convexa, entonces también es convexa. Si es estrictamente cuasiconcava en para cada y es convexa, entonces es unívoca y, por lo tanto, es una función continua en lugar de una correspondencia. ^{[ 15 ]}${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle C}$${\displaystyle C^{*}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle C}$${\displaystyle C^{*}}$

Si es cóncava en y tiene una gráfica convexa , entonces es cóncava y tiene valores convexos. De forma similar a lo anterior, si es estrictamente cóncava, entonces es una función continua. ^{[ 15 ]}${\displaystyle f}$${\displaystyle X\times \Theta }$${\displaystyle C}$${\displaystyle f^{*}}$${\displaystyle C^{*}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle C^{*}}$

También es posible generalizar el teorema de Berge a correspondencias no compactas si la función objetivo es K-inf-compacta. ^{[ 16 ]}

Sea el espacio de parámetros y el espacio de elección . Consideremos la función objetivo continua ${\displaystyle \Theta =\mathbb {R} }$${\displaystyle X=\mathbb {R} }$

${\displaystyle f(x,\theta )=-(x-\theta )^{2},}$

junto con la correspondencia de restricción constante

${\displaystyle C(\theta )=[-1,1]\quad {\text{for all }}\theta \in \mathbb {R} ,}$

que es de valor compacto y continuo (no varía con ). ${\displaystyle \theta }$

La función de valor y el conjunto de maximizadores son

${\displaystyle f^{*}(\theta )=\max _{x\in [-1,1]}-(x-\theta )^{2},\qquad C^{*}(\theta )=\arg \max _{x\in [-1,1]}-(x-\theta )^{2}.}$

Dado que se maximiza tomando lo más cerca posible de como lo permite la restricción, el único maximizador es la proyección de sobre : ${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle [-1,1]}$

${\displaystyle C^{*}(\theta )={\begin{cases}-1&\theta <-1,\\\theta &-1\leq \theta \leq 1,\\1&\theta >1,\end{cases}}}$

y la función de valor correspondiente es

${\displaystyle f^{*}(\theta )={\begin{cases}-(\theta +1)^{2}&\theta <-1,\\0&-1\leq \theta \leq 1,\\-(\theta -1)^{2}&\theta >1.\end{cases}}}$

Como garantiza el teorema del máximo, es una función continua de , y la correspondencia del maximizador es semicontinua superiormente con valores compactos no vacíos. Dado que es estrictamente cóncava en , el maximizador es de hecho unívoco, por lo que es una función continua. ${\displaystyle f^{*}}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle C^{*}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle C^{*}}$

Consideremos un problema de maximización de la utilidad donde un consumidor toma una decisión de su conjunto presupuestario. Traduciendo de la notación anterior a la notación estándar de la teoría del consumidor,

• ${\displaystyle X=\mathbb {R} _{+}^{l}}$es el espacio de todos los conjuntos de mercancías,${\displaystyle l}$
• ${\displaystyle \Theta =\mathbb {R} _{++}^{l}\times \mathbb {R} _{++}}$representa el vector de precios de las mercancías y la riqueza del consumidor ,${\displaystyle p}$${\displaystyle w}$
• ${\displaystyle f(x,\theta )=u(x)}$es la función de utilidad del consumidor y
• ${\displaystyle C(\theta )=B(p,w)=\{x\,|\,px\leq w\}}$¿Está establecido el presupuesto del consumidor ?

Entonces,

• ${\displaystyle f^{*}(\theta )=v(p,w)}$es la función de utilidad indirecta y
• ${\displaystyle C^{*}(\theta )=x(p,w)}$es la exigencia marshalliana .

En las demostraciones de la teoría del equilibrio general, a menudo se aplican los teoremas de punto fijo de Brouwer o Kakutani a la demanda del consumidor, que requieren compacidad y continuidad, y el teorema del máximo proporciona las condiciones suficientes para hacerlo.

• Teorema de la envolvente
• Teorema del punto fijo de Brouwer
• Teorema del punto fijo de Kakutani para correspondencias
• Teorema de selección de Michael

• Claude Berge (1963). Espacios topológicos . Oliver and Boyd. págs.  115–117 .
• Charalambos D. Aliprantis; Kim C. Border (2006). Análisis de dimensión infinita: Guía del autoestopista . Springer. pp.  569-571 . ISBN 9783540295860.
• Shouchuan Hu; Nikolas S. Papageorgiou (1997). Manual de análisis multivaluado . Vol. 1: Teoría. Springer-Science + Business Media, BV, págs.  82–89 .