Función de utilidad indirecta

En economía , la función de utilidad indirecta del consumidor proporciona la utilidad máxima que puede obtener el consumidor frente a un vector de precios de bienes y una cantidad de ingresos . Refleja tanto las preferencias del consumidor como las condiciones del mercado. ${\displaystyle v(p,w)}$${\estilo de visualización p}$ ${\estilo de visualización w}$

Esta función se denomina indirecta porque los consumidores suelen pensar en sus preferencias en términos de lo que consumen en lugar de en términos de precios. La utilidad indirecta de un consumidor se puede calcular a partir de su función de utilidad definida sobre vectores de cantidades de bienes consumibles, calculando primero el paquete asequible más preferido, representado por el vector mediante la solución del problema de maximización de la utilidad , y segundo, calculando la utilidad que el consumidor obtiene de ese paquete. La función de utilidad indirecta resultante es ${\displaystyle v(p,w)}$${\displaystyle u(x),}$${\estilo de visualización x}$${\displaystyle x(p,w)}$${\displaystyle u(x(p,w))}$

${\displaystyle v(p,w)=u(x(p,w)).}$

La función de utilidad indirecta es:

• Continua en R ⁿ ₊ × R ₊ donde n es el número de bienes;
• Disminución de precios;
• Aumento estricto de los ingresos;
• Homogéneo con grado cero en precios e ingresos; si los precios y los ingresos se multiplican todos por una constante dada, el mismo paquete de consumo representa un máximo, por lo que la utilidad óptima no cambia;
• cuasi-convexo en ( p , w ).

Además, la identidad de Roy establece que si v ( p , w ) es diferenciable en y , entonces ${\estilo de visualización (p^{0},w^{0})}$${\displaystyle {\frac {\partial v(p,w)}{\partial w}}\neq 0}$

${\displaystyle -{\frac {\parcial v(p^{0},w^{0})/(\parcial p_{i})}{\parcial v(p^{0},w^{0})/\parcial w}}=x_{i}(p^{0},w^{0}),\cuadrado i=1,\puntos ,n.}$

La función de utilidad indirecta es la inversa de la función de gasto cuando los precios se mantienen constantes, es decir, para cada vector de precios y nivel de utilidad : ^{[1] : 106}${\estilo de visualización p}$${\estilo de visualización u}$

${\displaystyle v(p,e(p,u))\equiv u}$

Digamos que la función de utilidad es la función Cobb-Douglas que tiene las funciones de demanda marshallianas ^[2]${\displaystyle u(x_{1},x_{2})=x_{1}^{0.6}x_{2}^{0.4},}$

${\displaystyle x_{1}(p_{1},p_{2})={\frac {0,6w}{p_{1}}}\;\;\;\;{\rm {y}}\;\;\;x_{2}(p_{1},p_{2})={\frac {0,4w}{p_{2}}},}$

donde es el ingreso del consumidor. La función de utilidad indirecta se obtiene reemplazando las cantidades en la función de utilidad con las funciones de demanda, de esta manera: ${\estilo de visualización w}$${\ Displaystyle v (p_ {1}, p_ {2}, w)}$

${\displaystyle v(p_{1},p_{2},w)=u(x_{1}^{*},x_{2}^{*})=(x_{1}^{*})^{0.6}(x_{2}^{*})^{0.4}=\left({\frac {0.6w}{p_{1}}}\right)^{0.6}\left({\frac {0.4w}{p_{2}}}\right)^{0.4}=(0.6^{0.6}*.4^{.4})w^{0.6+0.4}p_{1}^{-0.6}p_{2}^{-0.4}=Kp_{1}^{-0.6}p_{2}^{-0.4}w,}$

donde Nótese que la función de utilidad muestra la utilidad para cualquier cantidad que sus argumentos cumplan, incluso si no son óptimos para el consumidor y no resuelven su problema de maximización de la utilidad. La función de utilidad indirecta, por el contrario, supone que el consumidor ha derivado sus funciones de demanda de manera óptima para precios e ingresos dados. ${\displaystyle K=(0,6^{0,6}*0,4^{0,4}).}$

• Forma polar de Gorman
• Función de demanda hicksiana
• Función de valor

• Cornes, Richard (1992). "Comportamiento del consumidor individual: funciones de utilidad directa e indirecta". Dualidad y economía moderna . Nueva York: Cambridge University Press. pp.  31– 62. ISBN 0-521-33601-5.
• Jehle, GA ; Reny, PJ (2011). Teoría microeconómica avanzada (tercera edición). Harlow: Prentice Hall. pp.  28– 33. ISBN 978-0-273-73191-7.
• Luenberger, David G. (1995). Teoría microeconómica . Nueva York: McGraw-Hill. pp.  103– 107. ISBN 0-07-049313-8.
• Mas-Colell, Andreu ; Whinston, Michael D. ; Green, Jerry R. (1995). Teoría microeconómica . Nueva York: Oxford University Press. pp.  56– 57. ISBN 0-19-507340-1.
• Nicholson, Walter (1978). Teoría microeconómica: principios básicos y extensiones (segunda edición). Hinsdale: Dryden Press. pp.  57– 59. ISBN 0-03-020831-9.