Función de gasto

En microeconomía , la función de gasto proporciona la cantidad mínima de dinero que un individuo necesita gastar para lograr cierto nivel de utilidad , dada una función de utilidad y los precios de los bienes disponibles.

Formalmente, si existe una función de utilidad que describe las preferencias sobre n productos, la función de gasto ${\estilo de visualización u}$

${\displaystyle e(p,u^{*}):{\textbf {R}}_{+}^{n}\times {\textbf {R}}\rightarrow {\textbf {R}}}$

indica qué cantidad de dinero se necesita para lograr una utilidad si los n precios están dados por el vector de precios . Esta función está definida por ${\displaystyle u^{*}}$${\estilo de visualización p}$

${\displaystyle e(p,u^{*})=\min _{x\in \geq (u^{*})}p\cdot x}$

dónde

${\displaystyle \geq (u^{*})=\{x\in {\textbf {R}}_{+}^{n}:u(x)\geq u^{*}\}}$

es el conjunto de todos los paquetes que proporcionan una utilidad al menos tan buena como . ${\displaystyle u^{*}}$

Expresado de manera equivalente, el individuo minimiza el gasto sujeto a la restricción de utilidad mínima que da cantidades óptimas para consumir de los diversos bienes como función de y de los precios; entonces la función de gasto es ${\displaystyle x_{1}p_{1}+\puntos +x_{n}p_{n}}$${\displaystyle u(x_{1},\puntos ,x_{n})\geq u^{*},}$${\displaystyle x_{1}^{*},\puntos x_{n}^{*}}$${\displaystyle u^{*}}$

${\displaystyle e(p_{1},\puntos ,p_{n};u^{*})=p_{1}x_{1}^{*}+\puntos +p_{n}x_{n}^{*}.}$

(Propiedades de la función de gasto) Supongamos que u es una función de utilidad continua que representa una relación de preferencia localmente no satisfecha º en Rn+. Entonces e(p, u) es

1. Homogéneo de grado uno en p: para todos y ,${\displaystyle \lambda >0}$${\displaystyle e(\lambda p,u)=\lambda e(p,u);}$

2. Continuo en y${\estilo de visualización p}$${\estilo de visualización u;}$

3. No decreciente en y estrictamente creciente en siempre que${\estilo de visualización p}$${\estilo de visualización u}$${\displaystyle p\gg 0;}$

4. Cóncava en${\estilo de visualización p}$

5. Si la función de utilidad es estrictamente cuasi-cóncava, existe el lema de Shephard

Prueba

(1) Como en la proposición anterior, nótese que

${\displaystyle e(\lambda p,u)=\min _{x\in \mathbb {R} _{+}^{n}:u(x)\geq u}}$ ${\displaystyle \lambda p\cdot x=\lambda \min _{x\in \mathbb {R} _{+}^{n}:u(x)\geq u}}$ ${\displaystyle p\cdot x=\lambda e(p,u)}$

(2) Continuar en el dominio :${\estilo de visualización e}$${\displaystyle {\textbf {R}}_{++}^{N}*{\textbf {R}}\rightarrow {\textbf {R}}}$

(3) Sea y supongamos . Entonces , y . Se sigue inmediatamente que . ${\displaystyle p^{\prime }>p}$${\displaystyle x\en h(p^{\prime },u)}$${\displaystyle u(h)\geq u}$${\displaystyle e(p^{\prime},u)=p^{\prime}\cdot x\geq p\cdot x}$${\displaystyle e(p,u)\leq e(p^{\prime },u)}$

Para la segunda afirmación, supongamos por el contrario que para algunos , Entonces, para algunos , lo que contradice la conclusión de que "no hay utilidad en exceso" de la proposición anterior. ${\displaystyle u^{\prime }>u}$${\displaystyle e(p,u^{\prime })\leq e(p,u)}$${\displaystyle x\en h(p,u)}$${\displaystyle u(x)=u^{\prime }>u}$

(4)Sea y supongamos . Entonces, y , por lo que . ${\displaystyle t\en (0,1)}$${\displaystyle x\in h(tp+(1-t)p^{\prime })}$${\displaystyle p\cdot x\geq e(p,u)}$${\displaystyle p^{\prime}\cdot x\geq e(p^{\prime},u)}$${\displaystyle e(tp+(1-t)p^{\prime},u)=(tp+(1-t)p^{\prime})\cdot x\geq}$${\displaystyle te(p,u)+(1-t)e(p^{\prime },u)}$

(5)${\displaystyle {\frac {\delta (p^{0},u^{0})}{\delta p_{i}}}=x_{i}^{h}(p^{0},u^{0})}$

La función de gasto es la inversa de la función de utilidad indirecta cuando los precios se mantienen constantes, es decir, para cada vector de precios y nivel de ingresos : ^{[1] : 106}${\estilo de visualización p}$${\displaystyle I}$

${\displaystyle e(p,v(p,I))\equiv I}$

Existe una relación dual entre la función de gasto y la función de utilidad. Si se da una función de utilidad regular cuasi-cóncava específica, el precio correspondiente es homogéneo y la utilidad aumenta monótonamente; a la inversa, el precio dado es homogéneo y la utilidad aumenta monótonamente; la función de gasto generará la función de utilidad regular cuasi-cóncava. Además de la propiedad de que los precios son homogéneos y la utilidad aumenta monótonamente, la función de gasto generalmente asume

(1) es una función no negativa, es decir,${\displaystyle E(P\cdot u)>O;}$

(2) Para P, no es decreciente, es decir, ; ${\displaystyle E(p^{1}u)>E(p^{2}u),u>Op^{l}>p^{2}>O_{N}}$

(3)E(Pu) es una función cóncava. Es decir,${\displaystyle e(np^{l}+(1-n)p^{2})u)>\lambda E(p^{1}u)(1-n)E(p^{2}u)y>0}$ ${\displaystyle O<\lambda <1p^{l}\geq O_{N}p^{2}\geq O_{N}}$

La función de gasto es un método teórico importante para estudiar el comportamiento del consumidor. La función de gasto es muy similar a la función de costo en la teoría de la producción. El problema de minimización de costos es un problema dual al de maximización de la utilidad ^{[2] [3]}

Supongamos que la función de utilidad es la función Cobb-Douglas que genera las funciones de demanda ^[4]${\displaystyle u(x_{1},x_{2})=x_{1}^{.6}x_{2}^{.4},}$

${\displaystyle x_{1}(p_{1},p_{2},I)={\frac {.6I}{p_{1}}}\;\;\;\;{\rm {and}}\;\;\;x_{2}(p_{1},p_{2},I)={\frac {.4I}{p_{2}}},}$

donde es el ingreso del consumidor. Una forma de hallar la función de gasto es hallar primero la función de utilidad indirecta y luego invertirla. La función de utilidad indirecta se halla reemplazando las cantidades en la función de utilidad por las funciones de demanda, de la siguiente manera: ${\displaystyle I}$${\displaystyle v(p_{1},p_{2},I)}$

${\displaystyle v(p_{1},p_{2},I)=u(x_{1}^{*},x_{2}^{*})=(x_{1}^{*})^{.6}(x_{2}^{*})^{.4}=\left({\frac {.6I}{p_{1}}}\right)^{.6}\left({\frac {.4I}{p_{2}}}\right)^{.4}=(.6^{.6}\times .4^{.4})I^{.6+.4}p_{1}^{-.6}p_{2}^{-.4}=Kp_{1}^{-.6}p_{2}^{-.4}I,}$

donde Entonces, cuando el consumidor optimiza, podemos invertir la función de utilidad indirecta para encontrar la función de gasto: ${\displaystyle K=(.6^{.6}\times .4^{.4}).}$${\displaystyle e(p_{1},p_{2},u)=e(p_{1},p_{2},v(p_{1},p_{2},I))=I}$

${\displaystyle e(p_{1},p_{2},u)=(1/K)p_{1}^{.6}p_{2}^{.4}u,}$

Alternativamente, la función de gasto se puede encontrar resolviendo el problema de minimizar sujeto a la restricción. Esto produce funciones de demanda condicionales y y la función de gasto es entonces ${\displaystyle (p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2})}$${\displaystyle u(x_{1},x_{2})\geq u^{*}.}$${\displaystyle x_{1}^{*}(p_{1},p_{2},u^{*})}$${\displaystyle x_{2}^{*}(p_{1},p_{2},u^{*})}$

${\displaystyle e(p_{1},p_{2},u^{*})=p_{1}x_{1}^{*}+p_{2}x_{2}^{*}}$

• Problema de minimización de gastos
• Función de demanda hicksiana
• Ecuación de Slutsky
• Problema de maximización de utilidad
• Restricción presupuestaria
• Conjunto de consumo
• Lema de Shephard

• Mas-Colell, Andreu ; Whinston, Michael D.; Green, Jerry R. (2007). Teoría microeconómica . págs. 59–60. ISBN 978-0-19-510268-0.
• Mathis, Stephen A.; Koscianski, Janet (2002). Teoría microeconómica: un enfoque integrado . Upper Saddle River: Prentice Hall. págs. 132-133. ISBN 0-13-011418-9.
• Varian, Hal R. (1984). Análisis microeconómico (segunda edición). Nueva York: WW Norton. pp. 121–123. ISBN 0-393-95282-7.